2021-2022学年浙江省杭州市余杭中学高二数学理期末试卷含解析

2021-2022学年浙江省杭州市余杭中学高二数学理期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知两点、，在直线上有一点P，使，则P点的坐标是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
2. 设，则的值为（）
A. 1
B. 16
C. -15
D. 15
参考答案：
C
【分析】
令，可解得的值，再求出的系数的值，从而可得结果. 【详解】解：令，
可得，
即，
含有的项为，
所以，
所以，
故选C.
【点睛】本题考查了二项式定理的知识，赋值法是常见的解题方法.
3. 若函数满足,且，则（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
4. 若△ABC顶点B, C的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC, AB边上的中线长之30则
△ABC的重心G的轨迹方程为( )
A． B．
C． D．6
参考答案：
B
5. 为了解某校高三学生的视力状况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力状况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频率成等比数列，设视力在到之间的学生数为，最大频率为，则的值分
别为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
6. 已知命题椭圆、双曲线、抛物线和圆统称为圆锥曲线。

命题微积分是由牛顿和莱布尼茨于17世纪中叶创立的。

则以下命题中为真命题的一个是（）A．B． C.
D．
参考答案：
A
略
7. (理)在等差数列{a n}中，已知a5=3，a9=6，则a13=
A．9 B．12 C．15 D．18
参考答案：
A
8. 某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（）A. 8种B. 12种 C. 16种 D. 20种
参考答案：
C
【分析】
分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.
【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合；
若一名学生物理和历史都选，则有种组合；
因此共有种组合.
故选C
【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.
9. 已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|0,3,9}，则M∪N＝( )
A．{0} B．{0，3} C．{1，3，9} D．{0，1，3，9}
参考答案：
D
略
10. 已知且关于的方程有实根，则的夹角的取值范围是（）
A. B. C.
D.
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式：
根据上述分解规律，则，若的分解中最小的数是91，则的值为。

参考答案：
10
12. 记不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=a（x+1）与D没有公共点，则实数a的取值范围是．
参考答案：
（﹣∞，）∪（4，+∞）
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．
【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：
∵y=a（x+1）过定点（﹣1，0），
∴当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，
当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．
又∵直线y=a（x+1）与平面区域D没有公共点．
∴a或a＞4．
故答案为：（﹣∞，）∪（4，+∞）．
【点评】在解决线性规划的问题时，常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，然后将坐标逐一代入目标函数，最后验证求出最优解，该题是中档题．
13. (4分)已知，那么等于_________
参考答案：
15
14. 若半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是．
参考答案：
15. 近两年来，以《中国诗词大会》为代表的中国文化类电视节目带动了一股中国文化热潮.某台举办闯关答题比赛，共分两轮，每轮共有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘汰，若全部回答正确，就能获得一枚复活币并进行下一轮答题，两轮都通过就可以获得最终奖金.选手在第一轮闯关获得的复活币，系统会在下一轮答题中自动使用，即下一轮重新进行闯关答题时，在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答
对该类题型.若某选手每轮的4类题型的通过率均分别为、、、，则该选手进入第二轮答题的概率为_________；该选手最终获得奖金的概率为_________.
参考答案：
；.
【分析】
选手要进入第二轮答题，则第一轮要全部回答正确，根据相互独立同时发生的概率，即可求出其概率；该选手要获得奖金，须两轮都要过关，获得奖金的概率为两轮过关的概率乘积，第二轮通过，答题中可能全部答对四道题，或答错其中一道题，分别求出概率相加，即可得出结论.
【详解】选手进入第二轮答题，则第一轮中答题全部正确，
概率为，
第二轮通过的概率为
，
该选手最终获得奖金的概率为.
故答案为:；.
【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率以及互斥事件的概率，考查计算求解能力，属于中档题.
16. 命题“”的否定是．
参考答案：
17. 已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若a＞b，则＜，给出下列四个命题：①p∧q；②p∨q；③￢p；④￢q．
其中真命题是．
参考答案：
②④
【考点】2E：复合命题的真假．
【分析】根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．
【解答】解：命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0正确，则命题p为真命题，
命题q：若a＞b，则＜错误，当a＞0，b＜0时，不等式就不成立，则命题q为假命题，
∴p∨q与￢q为真命题，故正确的命题为②④．
故答案为：②④
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－y)．
(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先
后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；
(2)若x，y∈[1,6]，求满足a·b＞0的概率．
参考答案：
略
19. (本题12分)某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，比赛得
分情况记录如下（单位：分）：
甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33
乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46
（1）根据得分情况记录，作出两名篮球运动员得分的茎叶图，并根据茎叶图，对甲、乙两运动员得分作比较，写出两个统计结论；
（2）设甲篮球运动员10场比赛得分平均值，将10场比赛得分依次输入如图所示的程序框图进行运算，问输出的大小为多少？
并就说明的统计学意义；
参考答案：
解：（1）茎叶图如下图
统计结论：①甲运动员得分的平均值小于乙运动员得分的平均值；
②甲运动员得分比乙运动员得分比较集中；
③甲运动员得分的中位数为27，乙运动员得分的中位数为28.5；
④甲运动员得分基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近．乙运动员得分分布较为分散．（给分说明：写出的结论中，1个正确得2分）………………（6分）
（2）．…………………（11分）
表示10场比赛得分的方差，是描述比赛得分离散程度的量，值越小，表示比赛得分比较集中，值越大，表示比赛得分越参差不齐．………（13分）
略
20. 已知点，椭圆的离心率，是椭圆的右焦点，直线
的斜率为，为坐标原点．
（）求椭圆的方程．
（）设过点的动直线与相交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程．
参考答案：
见解析．
解：（）设，
由直线的斜率为得，解得，
又离心率，得，
∴，
故椭圆的方程为．
（）当直线轴时，不符合题意，
当直线斜率存在时，设直线，，，
联立，得，
由，得，即或，
，，
∴
，
又点到直线的距离，
∴的面积，
设，则，
∴，当且仅当，即时，等号成立，且，
∴直线的方程为：或．
21. （本小题满分12分）
已知：，：，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

参考答案：
解：由p：可得………………………（3分）
由q：可得……（6分）
因为是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件。

………………（8分）
因为p是q的充分不必要条件，所以，……………………………（10分）
所以………………………………………………………………………（12分）
22. 已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐近线为，
过椭圆C的右焦点F作直线，使，又与交于P，
设与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）．
（1）当与的夹角为，且△POF的面积为时，求椭圆C的方程；
（2）当时，求当取到最大值时椭圆的离心率．
参考答案：
解：
（1）的斜率为，的斜率为，由与的夹角为，得．整理，得．①
由得．由，得．
∴．②
由①②，解得，．∴椭圆C方程为：．
（2）由，及，得．
将A点坐标代入椭圆方程，得．
整理，得，
∴的最大值为，此时．
略。