新教材高中数学第10章三角恒等变换章末综合提升课件苏教版必修第二册

[解] 因为 α，β 均为锐角， 所以 0＜α＋β＜π，又 cos(α＋β)＝－1114， 所以π2＜α＋β＜π， 且 sin(α＋β)＝5143.因为 tan α＝4 3， 所以 sin α＝47 3，cos α＝17. 所以 cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.
第10章 三角恒等变换
章末综合提升
巩固 层知 识整 合
提升 层题 型探 究
求值问题
【例 1】 已知 tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α，β 均为锐角， 求 cos β 的值．
[思路点拨] 由 tan α 求 sin α，由 cos(α＋β)求 sin(α＋β)，再利用 cos β＝cos[(α＋β)－α]展开求解．
2x＋12＝sin2x－6π＋12，
当 x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值 1.
所以 f(x)的最大值为32.
1．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤 其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
2．把形如 y＝asin x＋bcos x 化为 y＝ a2＋b2sin(x＋φ)，可进一 步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
10°＋
3 2 sin
10°
2|cos 5°|
＝2sin 50°＋2sin30°＋10° 2cos 5°
＝2sin45°＋5°＋sin45°－5° 2cos 5°
＝2sin 45°cos 5°＋cos 45°sin 5°＋sin 45°cos 5°－cos 45°sin 5° 2cos 5°
＝4sin 24c5o°·sc5o°s 5°＝2.
三角恒等变换的综合应用
【例 3】 设向量 a＝( 3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈0，2π. (1)若|a|＝|b|，求 x 的值； (2)设函数 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值． [思路点拨] 分别表示两向量的模，利用相等求解 x 的值；利用 数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解．
又 α∈π2，π，∴2α∈(π，2π)，
∴sin 2α＝－ 1－cos22α＝－
1－132＝－2
3
2 .
∴1＋sinco4sα2α＝12＋sin12＋αcc2ooss 22αα＝2×1－＋21＋32213×13＝－4152.
化简与证明
【例 2】
求证：1＋sin24taθn－θcos
4θ＝1＋si1n－4θta＋n2cθos
[解] (1)由|a|2＝( 3sin x)2＋sin2 x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得 4sin2x＝1. 又 x∈0，π2，从而 sin x＝12，所以 x＝π6.
(2)f(x)＝a·b＝ 3sin xcos x＋sin2x
＝
3 2 sin
2x－12cos
[跟进训练] 3．已知函数 f(x)＝cos22x－sin2xcos2x－12. (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域； (2)若 f(α)＝3102，求 sin 2α 的值．
[解]
(1)f(x)＝cos22x－sin2xcos2x－12＝12(1＋cos
x)－12sin
x－12＝
2 2
cosx＋π4.
所以
f(x)的最小正周期为
2π，值域为－
22，
22.
(2)由(1)知 f(α)＝ 22cosα＋π4＝3102，所以 cosα＋π4＝35. 所以 sin 2α＝－cosπ2＋2α ＝－cos2α＋π4 ＝1－2cos2α＋π4 ＝1－1285＝275.
转化与化归思想在三角变换中的应用 【例 4】 已知 tan α＝13，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)，求 2α －β 的值．
4θ .
[思路点拨] 先对原式进行等价变形，同时注意应用“二倍角” 的正弦、余弦、正切公式．
[证明] 证明原不等式成立，即证明
1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)成立．
∵tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)
＝csoins 22θθ(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)
三角函数求值主要三种类型： (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中 的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱 导公式． (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一 些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合 理拆、配角，要注意角的范围．
[跟进训练]
2．化简：2sin
130°＋sin 100°1＋ 1＋cos 10°
3tan
370° .
[解]
原式＝2sin
50°＋sin 80°1＋ 3tan 1＋cos 10°
10°
2sin ＝
50°＋cos
10°×cos
10°＋ cos
2cos25°
3sin 10°
10°
2sin ＝
50°＋212cos
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出 的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要 时还要讨论角的范围．
[跟进训练]
1．已知 sinπ4＋αsinπ4－α＝16，α∈π2，π，求1＋sinco4sα2α的值． [解] ∵sinπ4＋αsinπ4－α＝16， ∴sinπ4＋αcosπ4＋α＝16， sinπ2＋2α＝13，即 cos 2α＝13.
[思路点拨] 先求 tan(2α－β)的值，再结合 2α－β 的范围求 2α－ β 的值．
[解] ∵tan α＝13＞0， ∴α∈0，π2，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×13132＝34＞0， ∴2α∈0，2π，
＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)
＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ
＝sin 4θ＋1－cos 4θ.
∴1＋sin24taθn－θcos
4θ＝1＋si1n－4θta＋n2“三看”原则 (1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的 拆分，从而正确使用公式． (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用 的公式，常见的有“切化弦”． (3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．