2019_2019学年高中数学第四章定积分4.1.1定积分的背景_面积和路程问题4.1.2定积分课件北师大版选修
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＝3，y＝0 围成的直角梯形 OABC 的面积，如图(2)． 其面积为 S＝12(1＋7)×3＝12. 根据定积分的几何意义知3(2x＋1)dx＝12.
0
(3)∵y＝x3＋3x 在区间[－1，1]上为奇函数，图像关于原点对称， ∴曲边梯形在 x 轴上方部分面积与 x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何 意义知1 (x3＋3x)dx＝0.
＝2＋13＝73.
由极限法求曲边梯形的面积的步骤 第一步：分割．在区间[a，b]中等间隔地插入 n－1 个分点，将其等分成 n
个小区间[xi－1，xi](i＝1，2，…，n)，小区间的长度Δxi＝xi－xi－1.
第二步：近似代替，“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面 积，求出小曲边梯形面积的近似值．
设此面积为 S，则 S＝2( x－0)dx＝2 xdx.
0
0
(1)
(2)
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示．
设面积为 S，则 S＝A1＋A2.
因为 A1 由 y＝ x，y＝－ x，x＝1 围成，
A2 由 y＝ x，y＝x－2，x＝1 和 x＝4 围成，
所以 A1＝1[ x－(－ x)]dx＝12 xdx，
定积分的几何意义
利用定积分的几何意义求下列定积分．
(1)3 9－x2dx；(2)3(2x＋1)dx；
－3
0
(3)1 (x3＋3x)dx. －1
【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，
然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的
第三步：求和．将 n 个小矩形的面积进行求和得 Sn. 第四步：取极限．当 n→∞时，Sn→S，S 即为所求．
[再练一题] 1．求由曲线 y＝12x2 与直线 x＝1，x＝2，y＝0 所围成的平面图形面积时，把 区间 5 等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 【解析】 将区间 5 等分所得的小区间为1，65，65，75，75，85，85，95， 95，2，于是所求平面图形的面积近似等于1101＋3265＋4295＋6245＋8215＝110×22555＝ 1.02. 【答案】 1.02
a
a
c1
cn
＋)．)
[再练一题]
3．已知exdx＝e22，ex2dx＝e33，求下列定积分的值．
0
0
(1)e(2x＋x2)dx；(2)e(2x2－x＋1)dx.
取极限：
可以看到，当 n 趋向于无穷大时，即Δx 趋向于 0 时，Sn＝2＋1n＋131＋1n
1＋21n趋向于 S，
从而有 S＝lni→m∞Sn＝lni→m∞i＝n1fn＋n i·1n
＝lim
n→∞
2＋1n＋131＋1n1＋21n＝2＋0＋13(1＋0)(1＋0)
奇偶性求解．
【自主解答】 (1)曲线 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半
径的上半圆如图(1)所示．
其面积为 S＝12·π·32＝92π.
由定积分的几何意义知3
9－x2dx＝92π.
－3
(2)曲线 f(x)＝2x＋1 为一条直线.3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x 0
3．定积分的性质
(1)b1dx＝b－a； a
(2)bkf(x)dx＝kbf(x)dx(k 为常数)；
a
a
(3)b[f(x)±g(x)]dx＝bf(x)dx±bg(x)dx；
a
a
a
(4)bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
求曲边梯形的面积
[小组合作型]
求直线 y＝0，x＝1，x＝2，曲线 y＝x2 围成的曲边梯形的面积． 【精彩点拨】 按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．
【自主解答】 分割： 在区间[1，2]上等间隔地插入 n－1 个点，将区间[1，2]等分成 n 个小区间： 1，n＋n 1，n＋n 1，n＋n 2，…，n＋nn－1，2nn.
2.奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分
(1)若奇函数 y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则 a f(x)dx)＝0. －a
(2)若偶函数 y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则 a f(x)dx)＝2af(x)dx.
－a
0
[再练一题] 2．根据定积分的几何意义求下列定积分的值． (1)1 xdx；
－1
(2)2πcos xdx； 0
(3)1 |x|dx. －1
【解】 (1)如图(1)，1 xdx＝－A1＋A1＝0. －1
(2)如图(2)，2πcos xdx＝A1－A2＋A3＝0. 0
(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴1
|x|dx＝2A1＝2×12＝1.
积ΔS′i 近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有 ΔSi≈ΔS′i＝fn＋n i·Δx＝n＋n i2·1n＝n13(n2＋2ni＋i2)(i＝1，2，…，n)，①
求和： 由①可推知
＝n13n3＋2n·n（n＋ 2 1）＋n（n＋1）6（2n＋1） ＝2＋1n＋131＋1n1＋21n， 从而得到 S 的近似值 S≈Sn＝2＋1n＋131＋1n1＋21n.
－1
(A1，A2，A3 分别表示图中相 Nhomakorabea各处面积)
定积分性质的应用
[探究共研型]
探究 1 怎样求分段函数的定积分？
【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加．
探究 2 怎样求奇(偶)函数在区间[－a，a]上的定积分？
【提示】 (1)若奇函数 y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则a f(x)dx＝0； －a
阶
阶
段
段
一
三
§4.1 定积分的概念
4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题
学
阶 段 二
业
4.1.2 定积分
分
层
测
评
1．了解定积分的实际背景及定积分的概念． 2．理解定积分的几何意义及性质．(难点) 3．能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题．(重点)
[基础·初探]
教材整理 1 曲边梯形的面积
记第 i 个区间为 n＋ni－1，n＋n i(i＝1，2，…，n)，其长度为Δx＝n＋n i－
n＋ni－1＝1n.分别过上述 n－1 个分点作 x 轴的垂线，从而得到 n 个小曲边梯形， 它们的面积分别记作：
ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，显然，S＝iΣ＝n 1ΔSi.
近似代替：
记 f(x)＝x2，当 n 很大，即Δx 很小时，在区间n＋ni－1，n＋n i上，可以认为
在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：
(1)b[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx,＝bf1(x)dx±bf2(x)dx±…±bfn(x)dx；
a
a
a
a
(2)bf(x)dx＝c1f(x)dx＋c2f(x)dx＋…＋b f(x)dx)(其中a<c1<c2<…<cn<b，n∈N
a
a
c
已知bf(x)dx＝6，则b6f(x)dx＝________．
a
a
【解析】 b6f(x)dx＝6bf(x)dx＝6×6＝36.
a
a
【答案】 36
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
在这个小区间上取一点 ζi，使 f(ζi)在区间[xi－1，xi]上的值最小，设 s＝f(ζ1)
Δ x1＋f(ζ2)Δ x2＋…＋f(ζi)Δ xi＋…＋f(ζn)Δ xn.如果每次分割后，最大的小区间的
长度趋于 0，S 与 s 的差也趋于 0，此时，S 与 s 同时趋于某一个固定的常数 A，
我们就称 A是函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的 定积分，记作bf(x)dx，即bf(x)dx＝A．其
0
0
A2＝4[ x－(x－2)]dx＝4( x－x＋2)dx.
1
1
故 S＝12 x dx＋4( x－x＋2)dx.
0
1
利用定积分的性质求定积分的技巧
灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，
把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，
a
a
中∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数．
2．定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0 ，那么定积分bf(x)dx 表示
a
由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，x 轴和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
(2)若偶函数 y＝g(x)的图像在[－a，a]上连续，则a g(x)dx＝2ag(x)dx.
－a
0
利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2.
【精彩点拨】 由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示．
【自主解答】 (1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示．
阅读教材 P75～P78“练习 2”以上部分，完成下列问题．
1．曲边梯形的概念 由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线y＝f(x) 所围
成的图形称为曲边梯形(如图 4-1-1 所示)．
2．求曲边梯形面积的步骤 ① 分割，②近似替代 ，③ 求和，④逼近．
图 4-1-1
在计算由曲线 y＝－x2 以及直线 x＝－1，x＝1，y＝0 所围成的图形面积时， 若将区间[－1，1]n 等分，则每个小区间的长度为__________．
－1
1.定积分的几何意义的应用 (1))利用定积分的几何意义求bf(x)dx 的值的关键是确定由曲线 y＝f(x)，直线
a
x＝a，x＝b 及 y＝0 所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、 矩形、圆等可求面积的平面图形．
(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面 积，要注意分割点要确定准确．
【解析】 每个小区间长度为1－（n－1）＝2n.
【答案】
2 n
教材整理 2 定积分 阅读教材 P78“练习 2”以下至 P80“练习”以上部分，完成下列问题． 1．定积分的定义 一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数 y＝f(x)，将[a，b]区间分成 n 份， 分点为：a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b.第 i 个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δ xi， 在这个小区间上取一点 ξi，使 f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设 S＝f(ξ1)Δ x1＋ f(ξ2)Δ x2＋…＋f(ξi)Δ xi＋…＋f(ξn)Δ xn.
函数 f(x)＝x2 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端 点处的函数值 fn＋n i＝n＋n i2，从图形(图略)上看，就是用平行于 x 轴的直线段 近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间n＋ni－1，n＋n i上，用小矩形的面
0
(3)∵y＝x3＋3x 在区间[－1，1]上为奇函数，图像关于原点对称， ∴曲边梯形在 x 轴上方部分面积与 x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何 意义知1 (x3＋3x)dx＝0.
＝2＋13＝73.
由极限法求曲边梯形的面积的步骤 第一步：分割．在区间[a，b]中等间隔地插入 n－1 个分点，将其等分成 n
个小区间[xi－1，xi](i＝1，2，…，n)，小区间的长度Δxi＝xi－xi－1.
第二步：近似代替，“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面 积，求出小曲边梯形面积的近似值．
设此面积为 S，则 S＝2( x－0)dx＝2 xdx.
0
0
(1)
(2)
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示．
设面积为 S，则 S＝A1＋A2.
因为 A1 由 y＝ x，y＝－ x，x＝1 围成，
A2 由 y＝ x，y＝x－2，x＝1 和 x＝4 围成，
所以 A1＝1[ x－(－ x)]dx＝12 xdx，
定积分的几何意义
利用定积分的几何意义求下列定积分．
(1)3 9－x2dx；(2)3(2x＋1)dx；
－3
0
(3)1 (x3＋3x)dx. －1
【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，
然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的
第三步：求和．将 n 个小矩形的面积进行求和得 Sn. 第四步：取极限．当 n→∞时，Sn→S，S 即为所求．
[再练一题] 1．求由曲线 y＝12x2 与直线 x＝1，x＝2，y＝0 所围成的平面图形面积时，把 区间 5 等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 【解析】 将区间 5 等分所得的小区间为1，65，65，75，75，85，85，95， 95，2，于是所求平面图形的面积近似等于1101＋3265＋4295＋6245＋8215＝110×22555＝ 1.02. 【答案】 1.02
a
a
c1
cn
＋)．)
[再练一题]
3．已知exdx＝e22，ex2dx＝e33，求下列定积分的值．
0
0
(1)e(2x＋x2)dx；(2)e(2x2－x＋1)dx.
取极限：
可以看到，当 n 趋向于无穷大时，即Δx 趋向于 0 时，Sn＝2＋1n＋131＋1n
1＋21n趋向于 S，
从而有 S＝lni→m∞Sn＝lni→m∞i＝n1fn＋n i·1n
＝lim
n→∞
2＋1n＋131＋1n1＋21n＝2＋0＋13(1＋0)(1＋0)
奇偶性求解．
【自主解答】 (1)曲线 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半
径的上半圆如图(1)所示．
其面积为 S＝12·π·32＝92π.
由定积分的几何意义知3
9－x2dx＝92π.
－3
(2)曲线 f(x)＝2x＋1 为一条直线.3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x 0
3．定积分的性质
(1)b1dx＝b－a； a
(2)bkf(x)dx＝kbf(x)dx(k 为常数)；
a
a
(3)b[f(x)±g(x)]dx＝bf(x)dx±bg(x)dx；
a
a
a
(4)bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
求曲边梯形的面积
[小组合作型]
求直线 y＝0，x＝1，x＝2，曲线 y＝x2 围成的曲边梯形的面积． 【精彩点拨】 按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．
【自主解答】 分割： 在区间[1，2]上等间隔地插入 n－1 个点，将区间[1，2]等分成 n 个小区间： 1，n＋n 1，n＋n 1，n＋n 2，…，n＋nn－1，2nn.
2.奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分
(1)若奇函数 y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则 a f(x)dx)＝0. －a
(2)若偶函数 y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则 a f(x)dx)＝2af(x)dx.
－a
0
[再练一题] 2．根据定积分的几何意义求下列定积分的值． (1)1 xdx；
－1
(2)2πcos xdx； 0
(3)1 |x|dx. －1
【解】 (1)如图(1)，1 xdx＝－A1＋A1＝0. －1
(2)如图(2)，2πcos xdx＝A1－A2＋A3＝0. 0
(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴1
|x|dx＝2A1＝2×12＝1.
积ΔS′i 近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有 ΔSi≈ΔS′i＝fn＋n i·Δx＝n＋n i2·1n＝n13(n2＋2ni＋i2)(i＝1，2，…，n)，①
求和： 由①可推知
＝n13n3＋2n·n（n＋ 2 1）＋n（n＋1）6（2n＋1） ＝2＋1n＋131＋1n1＋21n， 从而得到 S 的近似值 S≈Sn＝2＋1n＋131＋1n1＋21n.
－1
(A1，A2，A3 分别表示图中相 Nhomakorabea各处面积)
定积分性质的应用
[探究共研型]
探究 1 怎样求分段函数的定积分？
【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加．
探究 2 怎样求奇(偶)函数在区间[－a，a]上的定积分？
【提示】 (1)若奇函数 y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则a f(x)dx＝0； －a
阶
阶
段
段
一
三
§4.1 定积分的概念
4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题
学
阶 段 二
业
4.1.2 定积分
分
层
测
评
1．了解定积分的实际背景及定积分的概念． 2．理解定积分的几何意义及性质．(难点) 3．能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题．(重点)
[基础·初探]
教材整理 1 曲边梯形的面积
记第 i 个区间为 n＋ni－1，n＋n i(i＝1，2，…，n)，其长度为Δx＝n＋n i－
n＋ni－1＝1n.分别过上述 n－1 个分点作 x 轴的垂线，从而得到 n 个小曲边梯形， 它们的面积分别记作：
ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，显然，S＝iΣ＝n 1ΔSi.
近似代替：
记 f(x)＝x2，当 n 很大，即Δx 很小时，在区间n＋ni－1，n＋n i上，可以认为
在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：
(1)b[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx,＝bf1(x)dx±bf2(x)dx±…±bfn(x)dx；
a
a
a
a
(2)bf(x)dx＝c1f(x)dx＋c2f(x)dx＋…＋b f(x)dx)(其中a<c1<c2<…<cn<b，n∈N
a
a
c
已知bf(x)dx＝6，则b6f(x)dx＝________．
a
a
【解析】 b6f(x)dx＝6bf(x)dx＝6×6＝36.
a
a
【答案】 36
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
在这个小区间上取一点 ζi，使 f(ζi)在区间[xi－1，xi]上的值最小，设 s＝f(ζ1)
Δ x1＋f(ζ2)Δ x2＋…＋f(ζi)Δ xi＋…＋f(ζn)Δ xn.如果每次分割后，最大的小区间的
长度趋于 0，S 与 s 的差也趋于 0，此时，S 与 s 同时趋于某一个固定的常数 A，
我们就称 A是函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的 定积分，记作bf(x)dx，即bf(x)dx＝A．其
0
0
A2＝4[ x－(x－2)]dx＝4( x－x＋2)dx.
1
1
故 S＝12 x dx＋4( x－x＋2)dx.
0
1
利用定积分的性质求定积分的技巧
灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，
把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，
a
a
中∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数．
2．定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0 ，那么定积分bf(x)dx 表示
a
由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，x 轴和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
(2)若偶函数 y＝g(x)的图像在[－a，a]上连续，则a g(x)dx＝2ag(x)dx.
－a
0
利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2.
【精彩点拨】 由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示．
【自主解答】 (1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示．
阅读教材 P75～P78“练习 2”以上部分，完成下列问题．
1．曲边梯形的概念 由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线y＝f(x) 所围
成的图形称为曲边梯形(如图 4-1-1 所示)．
2．求曲边梯形面积的步骤 ① 分割，②近似替代 ，③ 求和，④逼近．
图 4-1-1
在计算由曲线 y＝－x2 以及直线 x＝－1，x＝1，y＝0 所围成的图形面积时， 若将区间[－1，1]n 等分，则每个小区间的长度为__________．
－1
1.定积分的几何意义的应用 (1))利用定积分的几何意义求bf(x)dx 的值的关键是确定由曲线 y＝f(x)，直线
a
x＝a，x＝b 及 y＝0 所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、 矩形、圆等可求面积的平面图形．
(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面 积，要注意分割点要确定准确．
【解析】 每个小区间长度为1－（n－1）＝2n.
【答案】
2 n
教材整理 2 定积分 阅读教材 P78“练习 2”以下至 P80“练习”以上部分，完成下列问题． 1．定积分的定义 一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数 y＝f(x)，将[a，b]区间分成 n 份， 分点为：a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b.第 i 个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δ xi， 在这个小区间上取一点 ξi，使 f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设 S＝f(ξ1)Δ x1＋ f(ξ2)Δ x2＋…＋f(ξi)Δ xi＋…＋f(ξn)Δ xn.
函数 f(x)＝x2 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端 点处的函数值 fn＋n i＝n＋n i2，从图形(图略)上看，就是用平行于 x 轴的直线段 近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间n＋ni－1，n＋n i上，用小矩形的面