福州市三牧中学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试卷(答案解析)

一、选择题
1．已知函数()()
2log 2x
f x m =+，则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实
数m 构成的集合为 （ ） A ．{}|0m m =
B ．{}0|m m ≤
C ．{}|0m m ≥
D ．{}|1m m =
2．若函数()()
2
3log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a
的取值范围为（ ） A ．[]3,2--
B ．[)3,2--
C ．(],2-∞-
D ．(),2-∞-
3．已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增的函数，且满足对任意的实数x 都有
[()3]4x f f x -=，则()()f x f x +-的最小值等于（ ）.
A ．2
B ．4
C ．8
D ．12
4．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
5．已知函数 ()lg 2
x x
e e
f x --=，则f (x )是（ ）
A ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增
B ．奇函数，且在R 上单调递增
C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减
D ．偶函数，且在R 上单调递减
6．已知()243,1log 2,1
a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有
()()
12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）
A ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．2,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
7．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c
B ．log c a ＜log c b
C ．a c ＜b c
D ．c a ＞c b
8．若函数()()
2
12
log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取
值范围为（ ） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
9．已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14
a f <，则a 的取值范围为（ ）
A ．34
a >
B ．304
a <<
或43a >
C ．3
04
a <<
或1a > D ．1a >
10．函数()log 1a f x x =+（且
）．当(1,0)x ∈-时，恒有()0f x >，有
（ ）．
A ．()f x 在(,0)-∞+上是减函数
B ．()f x 在(,1)-∞-上是减函数
C ．()f x 在(0,)+∞上是增函数
D ．()f x 在(,1)-∞-上是增函数
11．若1a b >>，lg lg P a b ⋅，1(lg lg )2Q a b =+，lg()2
a b R +=，则（ ） A ．R P Q <<
B ．P Q R <<
C ．Q P R <<
D ．P R Q <<
12．实数,a b 满足2510a b ==，则下列关系正确的是（ ） A ．
212a b
+= B ．
111a b
+= C ．12
2a b
+= D ．
1212
a b += 二、填空题
13．已知0a >，函数()y f x =，其中21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对任意1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，函数
()y f x =在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，则a 的取值范围为_______．
14．已知()f x 是定义在[0,)+∞的函数，满足(1)()f x f x +=-，当[0,1)x ∈时，
()3x f x =，则3(log 30)f =________.
15．已知函数1
(2)1,2
(),2
x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是_______． 16．若函数1
1x y a
+=+()0,1a a >≠恒过点(,)P m n ，则函数()11142x
x
f x ⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在
[],m n 上的最小值是_____.
17．已知函数2,0
()ln(1),0
x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是
________．
18．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ . 19．下列结论正确的是____________
①1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图像经过定点(1,3)； ②已知28
log 3,43
y
x ==
，则2x y +的值为3； ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则(2)18f =； ④11
()(
)122
x f x x =--为偶函数；
⑤已知集合{}{}1,1,|1A B x mx =-==；且B A ⊆，则m 的值为1或-1. 20．函数(
)
2
12
log 2y x x =-的定义域是______，单调递减区间是______.
三、解答题
21．化简下列各式 （1
）
()16
2
0.251648202049-
⎛⎫-⋅- ⎪
⎝⎭
（2
）)
1
142
0,0a b a b >>⎛
⎫ ⎪⎝⎭
22．计算下列各式： （1
）
)
2 （2）92log 2
66
3log 4log 3.2
++ 23．设函数()()22()log 4log 2f x x x =⋅的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
（1）求()y f x =的最大值和最小值，并求出最值时对应的x 值； （2）解不等式()60f x ->. 24．求下列各式的值.
（1）7log 23
log lg 25lg 473
+++.
（2
）
()146
2
3
0.2516248201249-
⎛⎫⨯
+
-⨯+- ⎪
⎝⎭
.
25．已知：2256x ≤且21log 2
x ≥ （1）求x 的取值范围；
（2）求函数f （x
）＝2log 22x ⎛⎛⎫
⎪ ⎝⎭
⎝⎭
的最大值和最小值. 26．化简计算： （1
）
16
0.253
61.5
87-⎛⎫
⨯-+ ⎪⎝⎭
（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
若定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，可得0m ≥，若值域为实数集
R ，令2x t m =+，则2log y t = 此时需满足2x t m =+的值域包括()0,∞+，可得
0m ≤，再求交集即可. 【详解】
若()()
2log 2x
f x m =+定义域为实数集R ，
则20x m +>对于x ∈R 恒成立，即2x m >-对于x ∈R 恒成立， 因为20x >，所以20x -<，所以0m ≥， 令2x t m =+，则2log y t =
若()()
2log 2x
f x m =+值域为实数集R ，
则2x t m =+的值域包括()0,∞+， 因为t m >，所以0m ≤， 所以0m =， 故选：A 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立，分离参数m 求其范围，值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数，由t m >，所以0m ≤，再求交集.
2．A
解析：A 【分析】
判断复合函数的单调性，首先要分清楚内外层函数，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求即可. 【详解】
由题意知，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数， 由()()
2
3log 5f x x ax a =+++可知，
此复合函数外层函数为：()3log f x x =，在定义域上为增函数， 内层函数为()2
5h x x ax a =+++，
要使()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，
根据复合函数“同增异减”原则，
内层函数为()h x 在区间(),1-∞上必须是递减函数， 同时须保证最大值()10h ≥，
所以()1210a h ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩
，
解得32a --≤≤. 故选：A. 【点睛】
易错点睛：判断复合函数的单调性，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求.
3．B
解析：B 【分析】
根据()3x f x -为定值，可假设()3x
f x m =+，然后计算()()f x f x +-，并计算m 的
值，然后使用基本不等式，可得结果. 【详解】
由题可知：()3x
f x -为定值
故设()3x
f x m -=，即()3x
f x m =+
又[()3]4x
f f x -=，
所以()341m
f m m m =+=⇒= 则()31x
f x =+
()()3131x x f x f x -+-=+++
则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当1
33x
x
=
时，取等号 所以()()f x f x +-的最小值为：4
故选：B 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于()3x
f x -为定值，审清题意，细心计算，属中档题.
4．A
解析：A 【分析】
由5
51112
,2332log -<<<，81
52
log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】
52
112243--<=<，11325551152532log log log =<<=，1
2881
582
log log >=，
a b c ∴<<.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
5．A
解析：A 【分析】
本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定. 【详解】
要使函数有意义，需使0,2
x x e e -->即21,1,x x
x e e e >∴>解得0;x >
所以函数()f x 的为(0,);+∞定义域不关于原点对称，所以函数()f x 是非奇非偶函数；
因为1,x
x
x y e y e
e
-==-=-是增函数，所以2x x
e e y --=是增函数，
又lg y x =是增函数，所以函数()lg 2
x x
e e
f x --=在定义域(0,)+∞上单调递增.
故选：A 【点睛】
本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.
6．C
解析：C 【分析】
判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可． 【详解】
解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩
（）满足对任意12x x ≠，都有
()()
12120f x f x x x --＜成立， 所以分段函数是减函数，
所以：0121442a a a a
<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩
，解得12,23a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦． 故选C ． 【点睛】
本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc
log c ,log c lg a lg b
=
=，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、
的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c =
=,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1
lg c
改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c
y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x
y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
8．C
解析：C 【分析】
求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】
解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，
内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 而外层函数
12
log y u =在定义域上为减函数，
由复合函数法可知，函数()()
2
12
log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，
由于函数
()()2
12
log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，322
32225
m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩
，解得4
23m ≤<.
因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.
9．C
解析：C 【分析】 先判断
1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，原不等式等价于3log 14
a <，分类讨论，利
用对数函数的单调性求解即可. 【详解】 因为1
x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数，
所以
1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，
又因为11
(1)441f e -=+-=
所以()3(log )114a
f f <=等价于3
log 14
a <， 由1log a a =，知3
log log 4
a a a <,
当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故3
4a <
，从而304
a <<； 当1a >时，log a
y x =在()0,∞+上单调递增，故3
4
a >
，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是3
04
a <<或1a >，故选C. 【点睛】
解决抽象不等式()()f a f b <时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数()f x 的单调性．若函数()f x 为增函数，则a b <；若函数()f x 为减函数，则a b >．
10．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据题意，当(1,0)x ∈-时，1(0,1)x +∈，而此时log 10a x +>，所以有
01a <<，从而能够确定函数在(,1)-∞-上是增函数，在区间(1,)-+∞上是减函数，故选
D ．
考点：函数的单调性．
11．B
解析：B 【分析】
利用对数函数lg y x =，结合基本不等式即可确定P 、Q 、R 的大小关系 【详解】
由于函数lg y x =在(0,)+∞上是增函数
1a b >>，则lg lg 0a b >>
由基本不等式可得
11
(lg lg )lg()lg 222
a b
P a b ab R +=<+==<=
因此，P Q R <<
故选：B 【点睛】
本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小
12．B
解析：B 【分析】
根据指数式与对数的互化公式，求得11
lg2,lg5a b
==，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】
因为2510a b ==，可得25log 10,log 10a b ==，所以
11
lg2,lg5a b
==， 则
11
lg 2lg5lg101a b +=+==. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
二、填空题
13．【分析】由函数单调性可得在区间上的最大值最小值则可得对任意恒成立利用二次函数的性质即可求出【详解】因为在区间内单调递减所以函数在区间上的最大值与最小值分别为则得整理得对任意恒成立令则的图象是开口向上
解析：23⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
， 【分析】
由函数单调性可得()f x 在区间[1]t t ，
+上的最大值()f t ，最小值(1)f t +，则可得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，利用二次函数的性质即可求出.
【详解】
因为()f x 在区间[1]t t ，
+内单调递减， 所以函数()f x 在区间[1]t t ，
+上的最大值与最小值分别为()f t ，(1)f t +， 则221
1()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫
-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
， 得1
121a a t
t ⎛⎫+≤+
⎪+⎝⎭
，整理得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦恒成立．
令2
()(1)1h t at a t =++-，则()h t 的图象是开口向上，对称轴为11022t a
=-
-<的抛物线，
所以()h t 在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数，2
(1)10at a t ++-≥等价于102h ⎛⎫
≥
⎪⎝⎭
， 即2
11(1)1022a a ⎛⎫⨯++⨯-≥ ⎪⎝⎭
，解得23a ≥，
所以a 的取值范围为2
3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，． 故答案为：23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，
. 【点睛】
关键点睛：由单调性判断出最大值和最小值，从而转化为2
(1)10at a t ++-≥对任意
1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，根据二次函数性质求解. 14．【分析】利用对数的运算性质得出结合周期性即可得出的值【详解】且则则函数的周期为2故答案为：【点睛】本题主要考查了由抽象函数的周期求函数值涉及了对数的运算属于中档题 解析：109
-
【分析】
利用对数的运算性质得出3310
log 303log 9
=+，结合周期性，即可得出3(log 30)f 的值. 【详解】
33333101010log 30log 27log 27log 3log 999⎛⎫
=⨯=+=+ ⎪⎝⎭
，且
33
310
0log log log 9
131=<<= (1)()f x f x +=-，(11)(1)()f x f x f x ∴++=-+=，则(2)()f x f x +=，则函数
()f x 的周期为2
310
log 3
333310101010(log 30)21log 1log log 39999f f f f
⎛⎫⎛
⎫⎛⎫∴=++=+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭ 故答案为：10
9
- 【点睛】
本题主要考查了由抽象函数的周期求函数值，涉及了对数的运算，属于中档题.
15．【分析】根据分段函数单调性列出各段为增函数的条件并注意两段分界处的关系即可求解【详解】函数在R 上单调递增则需满足（1）当时函数单调递增；则（2）当时函数单调递增；则(3)函数在两段分界处满足即所以满 解析：23a <≤
【分析】
根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】
函数1(2)1,2
(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩
，在R 上单调递增
则需满足（1）当2x <时，函数()f x 单调递增；则2a > （2）当2x ≥时，函数()f x 单调递增；则1a >
(3)函数()f x 在两段分界处2x =，满足()21
221a a --⨯+≤，即3a ≤
所以满足条件的实数a 的范围是23a <≤ 故答案为：23a <≤ 【点睛】
关键点睛：本题考查由函数的单调性求参数范围，解答本题的关键是分段函数在上单调递
增，从图象上分析可得从左到右函数图象呈上升趋势，即函数()f x 在[)2+∞，
上的最小值大于等于函数在(),2-∞上的最大值.则()21
221a a --⨯+≤，这是容易忽略的地方，属于
中档题.
16．【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点得到换元令利用二次函数的单调性即可求解【详解】函数恒过点则区间变为由函数令则利用二次函数的单调性当时则函数在上的最小值是故答案为：【点睛】关键点睛：把指数型
解析：3
4
【分析】
先利用指数型函数恒过定点问题求定点，得到1,2m n =-=，换元，令
11
,224x
t t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，利用二次函数的单调性，即可求解. 【详解】
函数1
1x y a
+=+()0,1a a >≠恒过点()1,2-，
则1,2m n =-=，
区间[],x m n ∈变为[]1,2x ∈-，
由函数()11142x x
f x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 令11,224
x
t t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭， 则()2
213124
f t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 利用二次函数的单调性， 当12
t =
时，()min 34f t =，
则函数()11142x
x
f x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在[],m n 上的最小值是34.
故答案为：3
4
. 【点睛】
关键点睛：把指数型复合函数求最值问题转化为二次函数求最值问题是解决本题的关键.
17．【分析】分两种情况讨论当时结合图象可知；当时再分两种情况讨论分离参数后化为函数的最值可解得结果【详解】当时则恒成立等价于恒成立函数的图象如图：由图可知；当时所以恒成立等价于恒成立若则若则恒成立所以综 解析：10a -≤≤
【分析】
分0x >，0x ≤两种情况讨论，当0x >时，结合图象可知0a ≤；当0x ≤时，再分
0x =，0x <两种情况讨论，分离参数后化为函数的最值可解得结果. 【详解】
当0x >时，()ln(1)0f x x =+>，则|()|f x ax ≥恒成立等价于ln(1)x ax +≥恒成立， 函数ln(1)y x =+的图象如图：
由图可知0a ≤；
当0x ≤时，2
()0f x x x =-+≤，所以|()|f x ax ≥恒成立等价于2x x ax -≥恒成立，
若0x =，则a R ∈，若0x <，则1a x ≥-恒成立，所以1a ≥-， 综上所述：10a -≤≤. 故答案为：10a -≤≤ 【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；
18．【解析】由于对数函数y=lnx 在区间(0＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x 所以函数y ＝x2比函数y ＝xlnx 在区间(0＋∞)上增长较快填 解析：2y
x
【解析】
由于对数函数y=lnx 在区间(0，＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x ，所以函数y ＝x 2比函
数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快，填2
y x =.
19．①②④【分析】①根据指数函数的性质进行判断②根据对数的运算法则进行判断③根据函数的运算性质进行运算④根据偶函数的定义进行判断⑤根据集合关系利用排除法进行判断【详解】①当时（1）则函数的图象经过定点；
解析：①②④ 【分析】
①根据指数函数的性质进行判断，②根据对数的运算法则进行判断，③根据函数的运算性质进行运算，④根据偶函数的定义进行判断，⑤根据集合关系，利用排除法进行判断． 【详解】
①当1x =时，f （1）02123a =+=+=，则函数的图象经过定点(1,3)；故①正确， ②已知2log 3x =，843y
=
，则2823y
=，282log 3
y =， 则22
2288
2log 3log log (3)log 8333
x y +=+=⨯==；故②正确， ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则32266a ---=，即10a =-， 则f （2）32210618=-⨯-=-，故③错误；
④函数的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，1112()()?1222(12)
x
x x f x x x +=-=--，
则122112()?··()2(12)2(21)2(12)
x x x
x x x
f x x x x f x --+++-=-=-==---， 即()f x 为偶函数，故④正确，
⑤已知集合{1A =-，1}，{|1}B x mx ==，且B A ⊆，当0m =时，B =∅，也满足条件，故⑤错误， 故正确的是①②④， 故答案为：①②④ 【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及指数函数的性质，函数奇偶性的判断，以及对数的运算法则，综合性较强，涉及的知识点较多．
20．【分析】由表达式可知解出对应即可求解定义域再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间【详解】由题可知可看作在定义域内为减函数根据复合函数增减性当内层函数为增函数则在对应区间为减函数故函数的定义域是
解析：()(),02,-∞+∞ ()2,+∞
【分析】
由表达式可知220x x ->，解出对应x ，即可求解定义域，再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间 【详解】
由题可知，()
()2
20,02,x x x ->⇒∈-∞+∞，
()2
12
log 2y x x =-可看作12
log y t =，22t x x =-，
12
log y t =在定义域内为减函数，根据复合函数增减性，当()2,x ∈+∞，内
层函数为增函数，则()212
log 2y x x =-在对应区间为减函数，故函数
()2
12
log 2y x x =-的定义域是()(),02,-∞+∞，单调递减区间是()2,+∞
故答案为：()(),02,-∞+∞；()2,+∞
【点睛】
本题考查对数型函数具体定义域和对应增减区间，属于基础题
三、解答题
21．（1）98；（2）a b
. 【分析】
（1）首先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则化简求值；（2）将根式化简为分数指数幂，再按照分数指数幂的运算公式化简. 【详解】
（1）原式1111
32447
2342814⎛⎫=⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭
()1
4
4277281=⨯--⨯-
10872198=---=； （2）原式()1110812
2
32233
3
543311
2727
233
3333
a b a b ab a b a b
ab b a a b a b -
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦====⋅⋅ 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是第二问，理解根式如何化简为分数指数幂的形式.
22．（1）2；（2）3. 【分析】
（1）直接利用指数幂的运算法则化简求解； （2）直接利用对数的运算法则和性质化简求解. 【详解】 （1
）
)
2
()13|2|ππ=+-+-42ππ=-+-=2
（2）92log 266
3log 4log 32
++ 2
32log
2
6662log 2log 3log 23
=+-+3log 266log 2log 33=++=6log (23)2123⨯+=+=.
【点睛】
(a n =
是奇数||(a n =是偶数).使用上面的公式时，一定要注意n 的奇偶性，再化简. 23．
（1）当4
x =
时，()f x 取得最小值14-；当4x =时，()f x 取得最大值12；（2）
{}24x x <≤
【分析】
（1）令2log t x =，可得[]2,2t ∈-，从而()()22log 4log 2x x ⋅232t t =++，结合二次函数的性质，可求出最大值和最小值，及取得最值时对应的x 值；
（2）由（1）知，2
()32f x t t =++，[]2,2t ∈-，则不等式可化为2340t t +->，可求
出t 的范围，结合2log t x =，可求出x 的范围. 【详解】 （1）由题意，
()()()()222222log 4log 2log 4log log 2log x x x x ⋅=+⋅+=()()222log 1log x x +⋅+，
令2log t x =，∵1
,44x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
，∴[]2log 2,2t x =∈-
则()()2
2132y t t t t =++=++，
根据二次函数的性质，可得当32t =-
，即322x -==2
32y t t =++取得最小值，
最小值为2
33132224⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； 当2t =时，即224x ==时，232y t t =++取得最大值，最大值为2232212+⨯+=.
（2）由（1）知，2
()32f x t t =++，[]2,2t ∈-，
则()60f x ->可化为2340t t +->，解得1t >或4t <-， 因为[]2,2t ∈-，所以12t <≤， 则222log 2log log 4x <≤，即24x <≤， 故不等式()60f x ->的解集为{}
24x x <≤. 【点睛】
关键点点睛：本题考查求复合函数的最值，及函数不等式的解.解决本题的关键是利用换元
法，令2log t x =，可将()f x 转化为关于t 的二次函数2
32y t t =++，进而可求出最
值，并解不等式即可，注意不要漏掉[]2,2t ∈-.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题. 24．（1）15
4
；（2）210 【分析】
（1）根据对数的运算法则运算求值即可（2）根据指数的运算法则化简求值. 【详解】
（1
）7log 23
log lg 25lg 47++ 14
3log 3
lg1002-
=++
1
224=-++
154
= （2
）
()146
2
3
0.2516248201249-
⎛⎫⨯
+
-⨯+- ⎪
⎝⎭
4313
2
3
3
4447
223(2)42214
=⨯⨯+-⨯-⨯+
2162721=+--+
210=
【点睛】
本题主要考查了对数的运算，指数的运算，属于中档题.
25．（18x ；（2）min max 1(),()24
f x f x =-= 【分析】
（1）利用指数与对数不等式求出x 的范围，求出交集即可．
（2）通过x 的范围求出log 2x 的范围，化简函数表达式，通过二次函数的最值求出函数的最值即可． 【详解】
（1）由2x ≤256得x≤8，21log 2
x >得2,28x x ∴.
（2）由（18x 得21
log 32
x ，
f （x ）＝2
log 22x ⎛⎛⎫
⎪ ⎝⎭
⎝⎭
＝（log 2x ﹣log 22）(
)
2
=（log 2x ﹣1）（log 2x ﹣2）＝2
231log 24x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
当log 2x ＝
32，f （x ）min ＝﹣1
4
； 当log 2x ＝3，f （x ）max ＝2． 【点睛】
本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查换元，配方法，考查学生的计算能力，属于中档题．
26．（1）110；（2）-1 【分析】
（1）原式化简为分数指数幂，计算结果；（2）根据对数运算公式化简求值. 【详解】 （1）原式11313
3
23
44
32222323-
⎛⎫
⎛⎫=+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11
3
3
22210833⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
110=
（2）原式()
()2
2
lg5lg 25lg 2lg 510lg5=⨯⨯-⋅⨯-
()()lg52lg2lg5lg2lg512lg5=⨯+-⋅+-
()2
2lg 2lg5lg5lg 2lg5lg 22lg5=⋅+-⋅--
()()2
lg 2lg5lg5lg 2lg5lg5=⋅+-+-
()lg5lg2lg51lg5=⋅+--
lg51lg51=--=-
【点睛】
本题考查指数幂和对数运算，重点考查计算能力，转化与变形，属于基础题型.。