数学选修2-2知识导航 1.2.1常见函数的导数 含解析 精

1.2 导数的运算
1.2.1 常见函数的导数
知识梳理
(1)C′=_____________(C 为常数); (2)(x n )′=_____________;
(3)(sinx)′=_____________; (4)(cosx)′=_____________;
(5)(e x )′=_____________; (6)(a x )′=_____________;
(7)(lnx)′=_____________; (8)(log a x)=_____________;
(9)(x α)′=_____________.
知识导学
由导数定义给出了求导数的最基本方法,因为导数是由极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限运算.这显然比较麻烦,甚至困难,但是找到一些常用函数的导数将使求导工作大大简便,因此要熟记常见函数的导数.
疑难突破
通过几个实例归纳出y=x n 的导数的形式;熟记基本初等函数的求导公式.
剖析:通过对函数y=kx+b,y=x 2,y=x 3,y=x
1及y=x 几种函数导数的推导过程,总结出y=x n 的导数的形式，这是培养学生善于思考及善于归纳的好习惯.
正确记忆基本初等函数的求导公式是本节课的重点和难点,只有熟练记忆才能用起来方便.常用函数的导数公式是求导的基础,高考中经常涉及,但单独考查利用导数公式求导数的题目并不多,常与其他知识联系起来考查.
典题精讲
【例1】 (1)求曲线y=sinx 在点P(2
3,3π
)处切线的斜率k; (2)物体运动方程为s=34
14-t ,求当t=5时瞬时物体运动的速度v. 思路分析：本题是一道导数应用题,必须从导数的公式入手.
解:(1)(sinx)′=cosx,当x=
3π时,k=213cos =π. (2)s′=(34
14-t )′=t 3,当t=5时,v=125. 变式训练：已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x 2上的两点,求与直线PQ 平行的曲线y=x 2的切线方程.
思路分析：本题是已知斜率求点的坐标的问题.可先设出点的坐标，再代入方程求得切线方程.
解:y′=(x 2)′=2x,设切点坐标为M(x 0,y 0)，则
当x=x 0时，切线斜率k=2x 0,因为PQ 的斜率为1
214+-=1.又切线平行于直线PQ,所以k=2x 0=1，即x 0=
2
1. 所以切点M(41,21). 所求切线方程为2
141-=-x y ,即4x-4y-1=0.
【例2】 求曲线y=2x 2-1的斜率为4的切线方程.
思路分析：导数反映了函数在某一点处的变化率,它的几何意义就是相应曲线在该点处的切线的斜率.由于切线的斜率已知,只要确定切点的坐标,先利用导数求出切点的横坐标,再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标,从而可求出切线方程.
解:设切点为P(x 0,y 0)，则y′=(2x 2-1)′=4x.
当x=x 0时,4=4x 0,∴x 0=1;
当x 0=1时,y 0=1,∴切点P 的坐标为(1,1).
故所求切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.
绿色通道：联系实际，深刻理解导数的意义,在不同的区域代表的具体意义不一样,但本质上都是指事物在某过程中的变化率的极值.
变式训练：求过曲线y=cosx 上点P(2
1,3π),且与过这点的切线垂直的直线方程. 思路分析：首先要求切线的斜率.
解:因为y=cosx,所以y′=(cosx)′=-sinx.
曲线在点P(21,3π)处的切线斜率是2
33sin -=-π, 所以过点P 且与切线垂直的直线的斜率为
33232
=. 所以所求直线方程为)3
(33221π-=-x y , 即2
33232+--πy x =0. 【例3】 已知直线x+2y-4=0与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点.O 是坐标原点,试在抛物线的
上求一点P,使△ABP 面积最大.
思路分析：依题意|AB|为定值,只要P 点到AB 的距离最大,S △ABP 就最大,问题转化为在抛物线的上求一点P 到直线AB 的距离最大.由导数的几何意义,知P 为抛物线上与AB 平行的切线的切点,求出P 点坐标即可,也可用解析几何知识求解.
解法一:如图1-2-1所示，|AB|是定值,△PAB 的面积最大.只需P 到AB 的距离最大,即只需点P 是抛物线上平行于AB 的切线的切点.设P(x,y)，由图知点P 在x 轴下方的图象上,所以x y 2-=.所以y′=x
1-.
图1-2-1
因为k AB =21-,所以211-=-x
,x=4. 又y 2=4x(y ＜0)时,y=-4，所以P(4,-4).
解法二:设P(02
0,4
y y ).因为|AB|为定值,要使△PAB 的面积最大,只需P 到直线AB:x+2y-4=0的距离最大.
设距离为d,则 d=|8)4(41|515|4241|
20020-+=-+y y y , y 0∈(424,244---).
当y 0=-4时,d 最大.
此时△PAB 的面积最大,所以P(4,-4).
绿色通道：解法一是利用导数的几何意义解题,注意数形结合思想的运用;解法二是用函数的方法求P 点的坐标,注意配方法的运用.
变式训练：已知抛物线c 1：y=x 2+2x 和c 2：y=-x 2+a.如果直线l 同时是c 1和c 2的切线,称l 是c 1和c 2的公切线.公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.
(1)a 取什么值时,c 1和c 2有且仅有一条公切线?写出此公切线方程.
(2)若c 1和c 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.
(1)解:函数y=x 2+2x 的导数y′=2x+2,曲线c 1在点P(x 1,x 12+2x 1)的切线方程是y-(x 12+2x 1)= (2x 1+2) (x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12. ①
函数y=-x 2+a 的导数为y′=-2x,曲线c 2在点Q(x 2,-x 22+a)处的切线方程是y-(-x 22+a)=-2x 2(x-x 2),即y=-2x 2x+x 22+a. ②
如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，所以⎩⎨⎧+=--=+.
,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0.
若判别式Δ=4-4×2(1+a)=0,即a=21-
,解得x 1=21-.此时点P 与Q 重合，即当a=2
1-时，c 1和c 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为4
1-=x y . (2)证明：由(1)知，当a ＜21-时，c 1和c 2有两条公切线.设一条公切线上的切点为P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2),其中P 在c 1上，Q 在c 2上，则有x 1+x 2=-1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a= -1+a,线段PQ 的中点坐标为(2
1,21a +--). 同理，另一条公切线段P′Q′的中点坐标也是(21,21a +--
),所以公切线段PQ 和P′Q′互相平分.
问题探究
问题：函数y=f(x)在x 0处的导数是如何定义的?若x 0∈(a,b),y=f(x)在x 0处可导,则y=f(x)在(a,b)内处处可导吗?
导思：函数y=f(x)在x 0处可导即当x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导.与y=f(x)在(a,b)内处处可导是两码事.函数y=f(x)在(a,b)内处处可导,必须满足对任意的x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导. 探究：自变量x 在x 0处有增量Δx,那么相应地函数y 也有增量Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).若Δx 趋近于0时,x
y ∆∆存在,则这个值就是y=f(x)在x=x 0处的导数,x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导,只能说明在(a,b)内某一点x 0处可导,而不能说明在(a,b)内处处可导.。