2021高三数学北师大版(理)一轮教师用书：第9章 第7节 双曲线

第七节双曲线
[最新考纲] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．
1．双曲线的定义
(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，
其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2－
y2
b2＝1
(a>0，b>0)
y2
a2－
x2
b2＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±
b
a x y＝±
a
b x
离心率e＝c
a
，e∈(1，＋∞)
性质
实、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双
曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做
双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直
(位置关系)．
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2 a.
(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.
(6)双曲线的离心率公式可表示为e＝1＋b2 a2.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()
(2)方程x2
m－
y2
n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()
(3)双曲线x2
m2－
y2
n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是
x2
m2－
y2
n2＝0，即
x
m±
y
n＝0.()
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.() [答案](1)×(2)×(3)√(4)√
二、教材改编
1．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A ．5
B ．5
C ．2
D ．2
A [由题意可知b ＝2a ， ∴e ＝c a ＝
1＋b 2
a 2＝5，故选A.]
2．以椭圆x 24＋y 2
3＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ( ) A ．x 2
－y 2
3＝1
B ．x 23－y 2
＝1 C ．x 2
－y 2
2
＝1
D ．x 24－y 2
3
＝1
A [设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x 24＋y 2
3＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x 轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0). 所以a ＝1，c ＝2，所以b 2
＝c 2
－a 2
＝3，所以双曲线标准方程为x 2
－y 2
3＝1.]
3．若方程x 22＋m －y 2
m ＋1
＝1表示双曲线，则m 的取值范围是________．
(－∞，－2)∪(－1，＋∞) [因为方程x 22＋m －y 2
m ＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m )(m
＋1)＞0，即m ＞－1或m ＜－2.]
4．已知双曲线x 2
－y 2
16＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另
一个焦点的距离等于________．
6 [设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6.]
考点1 双曲线的定义及其应用
双曲线定义的主要应用
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．
(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
(2)已知F是双曲线x2
4－
y2
12＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|
＋|P A|的最小值为________．
(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
(1)x2－y2
8＝1(x≤－1)(2)9(3)
3
4
[(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－y2
8
＝1(x≤－1)．
(2)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|P A|最小时满足|PF|＋|P A|最小．由双曲线的图像，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|P A|最小，|AF1|即|PF1|＋|P A|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.
(3)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，所以|PF1|＝2|PF2|＝42，
所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1
|·|PF 2
|
＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝3
4.]
[母题探究]
1．将本例(3)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？
[解] 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1
|·|PF 2
|
＝12，
∴|PF 1|·|PF 2|＝8，
∴S △F 1PF 2＝1
2|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.
2．将本例(3)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？
[解] 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，
∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝4， ∴S △F 1PF 2＝1
2|PF 1|·|PF 2|＝2.
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝
2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．
1.虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交
双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )
A ．3
B ．16＋ 2
C ．12＋ 2
D ．24
B [由于2b ＝2，e ＝c
a ＝3，∴
b ＝1，
c ＝3a ， ∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝2
4.
由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2
2，① |BF 2|－|BF 1|＝2
2，②
①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，
则△ABF 2的周长为16＋2，故选B.]
2．(2019·洛阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝4，F 1是左焦点，P 1，P 2是右支上的两个动点，则|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是_______．
8 [设双曲线的右焦点为F 2，∵|F 1P 1|＝2a ＋|F 2P 1|，|F 1P 2|＝2a ＋|F 2P 2|，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|＝2a ＋|F 2P 1|＋2a ＋|F 2P 2|－|P 1P 2|＝8＋(|F 2P 1|＋|F 2P 2|－|P 1P 2|)≥8(当且仅当P 1，P 2，F 2三点共线时，取等号)，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是8.]
考点2 双曲线的标准方程
求双曲线标准方程的方法
(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，得双曲线方程． (2)待定系数法：即“先定位，后定量”． ①焦点位置不确定时，设Ax 2＋By 2＝1(AB <0)； ②与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的设为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0)；
③与x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的设为x 2a 2－k －y 2
b 2＋k
＝1(－b 2<k <a 2)．
(1)(2019·大连模拟)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、
右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( )
A.x 24－y 2
2＝1 B ．x 23－y 2
2＝1
C.x 24－y 2
8＝1
D ．x 2－y
22＝1
(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程： ①虚轴长为12，离心率为5
4； ②渐近线方程为y ＝±
1
2x ，焦距为10； ③经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)；
(1)D [(1)由题意可知|PF 1|＝43c 3，|PF 2|＝23c
3，2b ＝22，由双曲线的定义可得43c 3－23c 3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2
，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2
－y 2
2＝1，故选D.]
(2)[解] ① 设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)．
由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝5
4，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8. ∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 2
36＝1. ②设所求双曲线方程为x 24－y 2
＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，双曲线标准方程为x 24λ－y 2
λ＝1， ∴c ＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；
当λ<0时，双曲线标准方程为y 2－λ－x 2
－4λ＝1，
∴c ＝
－5λ.
∴－5λ＝5，λ＝－5.
∴所求双曲线方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 2
20＝1. ③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1.(mn >0) ∴⎩⎪⎨⎪⎧
9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－1
75，
n ＝－125.
∴双曲线方程为y 225－x 2
75＝1.
(1)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②
2a ＜|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．(2)求双曲线标准方程时，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论．
1.(2019·荆州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且
实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( )
A ．x 212
－y 2
＝1
B ．x 29－y 2
3＝1 C ．x 2－y
23＝1
D ．x 223－y 2
32
＝1
C [由双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，可得⎩⎪⎨⎪⎧
2a 2－3b 2＝1，
b
a ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝3，
∴双曲线C 的
标准方程是x 2－y
2
3＝1，故选C.]
2．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，焦点坐标为(±5,0)，则双曲线的方程为__________．
x 216－y 29＝1 [将3x ±4y ＝0化为x 4±
y 3＝0，设以x 4±y 3＝0为渐近线的双曲线方程为x 2
16－
y 2
9＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点坐标为(±5,0)，所以16λ＋9λ＝25，解得λ＝1，即双
曲线的方程为x 216－y 2
9＝1.]
考点3 双曲线的几何性质
双曲线的渐近线 求双曲线的渐近线的方法
求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±a
b x .反之，已知渐近线方程为y ＝±
b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．
1.(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线
方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±3x
C ．y ＝±22x
D ．y ＝±3
2x
A [法一：(直接法)由题意知，e ＝c
a ＝3，所以c ＝3a ，所以
b ＝
c 2－a 2＝2a ，
即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±
b a x ＝±2x .
法二：(公式法)由e ＝c
a ＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±
b
a x ＝±2x .]
2．(2019·揭阳一模)已知双曲线mx 2＋y 2＝1的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，则m 的值为( )
A ．－14
B ．－1
C ．－2
D ．－4
D [因为m ＜0，则双曲线为：y 2－x
2－1m
＝1，渐近线方程为：±－mx ＋y ＝0，
所以－m ＝2，解得m ＝－4，故选D.]
3．(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )
A ．x ±2y ＝0
B ．2x ±y ＝0
C ．x ±2y ＝0
D ．2x ±y ＝0
B [假设点P 在双曲线的右支上，
则⎩⎪⎨⎪⎧
|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . ∵|F 1F 2|＝2c ＞2a ，∴△PF 1F 2最短的边是PF 2， ∴△PF 1F 2的最小内角为∠PF 1F 2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得
4a 2＝16a 2＋4c 2－2×4a ×2c ×cos 30°， ∴c 2－23ac ＋3a 2＝0，
∴e 2－23e ＋3＝0，∴e ＝3，∴c
a ＝3， ∴c 2＝3a 2，∴a 2＋
b 2＝3a 2，∴b 2＝2a 2，∴b
a ＝2， ∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，故选B.]
4．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2
－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，
则该双曲线的渐近线方程是________．
y ＝±2x [∵双曲线x 2
－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，∴32－16
b 2＝1，
解得b 2＝2，即b ＝ 2. 又a ＝1，
∴该双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .]
双曲线的离心率
求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2
a 2直接求e .
(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．
(1)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1,2)
C ．(2,1＋2)
D ．(1,1＋2)
(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，
则C 的离心率为________．
(1)B (2)2 [(1)若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，则e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B.
(2)如图，由F 1A →＝AB →，得F 1A ＝AB .
又OF 1＝OF 2，所以OA 是三角形F 1F 2B 的中位线，
即BF 2//OA ，
BF 2＝2OA .
由F 1B →·F 2B →＝0，得F 1B ⊥F 2B ，OA ⊥F 1A ，
则OB ＝OF 1，所以∠AOB ＝∠AOF 1，
又OA 与OB 都是渐近线，
得∠BOF 2＝∠AOF 1，
又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝π，
得∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°，
又渐近线OB 的斜率为b a ＝tan 60°＝3，
所以该双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋(b a )2＝1＋(3)2＝2.]
双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝b a ＝
c 2－a 2
a ＝c 2a 2－1＝e 2－1.
1.(2019·衡水模拟)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( )
A ．⎝
⎛⎭⎪⎫1，233 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C ．(1,2) D ．(2，＋∞)
A [由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a
x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得
|ab |
a 2＋
b 2<12a ，即
c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，
即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，
又知e >1，
所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫1，233.] 2．(2019·济南模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．
2[由已知得|AB|＝|CD|＝2b2
a
，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.
因为2|AB|＝3|BC|，
所以4b2
a
＝6c，
又b2＝c2－a2，
所以2e2－3e－2＝0，
解得e＝2，或e＝－1
2(舍去)．]。