2021届新高考数学一轮课件：第四章+第1讲+平面向量及其线性运算

考点 3 共线向量定理 考向 1 共线向量定理的应用
答案：2
(2)(2017 年山东济南模拟)已知向量a，b 不共线，且 c＝ λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 共线反向，则实数λ的值为 ()
解析：由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 c＝kd(k<0)， 于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]， 整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
(2)(2017 年新课标Ⅱ)设非零向量a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，
则( )
A.a⊥b
B.|a|＝|b|
C.a∥b
D.|a|>|b|
解析：方法一，由|a＋b|＝|a－b|，得 |a＋b|2＝|a－b|2，得a·b
＝0⇒a⊥b.故选 A.
方法二，由|a＋b|＝|a－b|得平行四边形为矩形，∴a⊥b.故
的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
(续表)
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)|λa|＝___|λ_|_|a_|__；
(2)当λ>0 时，λa 的
求实数λ与向量 数乘
a 的积的运算
方向与 a 的方向相 λ(μa)＝___λ_μ_a___； 同；当λ<0 时，λa 的(λ＋μ)a＝λa＋μa； 方向与 a 的方向相 λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
难点突破 ⊙ 利用向量加法的几何意义解决三角形的四心问题 例题：(1)已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心
答案：D
A.外心
B.内心
图 4-1-5 C.重心
D.垂心
∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 答案：B
既有大小又有方向的量；向 量的大小叫做向量的长度 平面向量是自由向量
(或称模)
长度为零的向量；其方向是 零向量
任意的
记作 0
(续表) 名称
定义
备注
单位向量
非零向量 a 的单位向 长度等于 1 个单位的向向相同或相反的非零向量
(平行向量)
行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量
反；当λ＝0 时，λa
＝____0____
3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ， 使得 b＝λa.
D A
量的个数为( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：结果为零向量的是①④，故选 B.
(D )
图 4-1-1
考点 1 平面向量的基本概念
答案：BC
选 A.
答案：A
【规律方法】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也 具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，
考点 2 平面向量的线性运算 答案：A
解析：由题意可知 答案：D
图 4-1-2
答案：C
【规律方法】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等 向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本 向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结 果.
【跟踪训练】 1.(2015 年新课标Ⅱ)设向量 a，b 不平行，向量λa＋b 与
a＋2b 平行，则实数λ＝______.
答案：A
考向 2 三点共线的充要条件
【跟踪训练】 图 4-1-3
图 4-1-4
∴m＋n＝2. 方法二，绕 O 旋转 MN，N 与 C 重合时，M 与 B 重合，此 时 m＝n＝1，∴m＋n＝2. 答案：2
答案：B
【规律方法】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决， 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且 有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b 共线是指存在不 全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当 且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.
第四章 平面向量
第1讲 平面向量及其线性运算
课标要求
考情风向标
从近几年的高考试题看，向量的线性
1.通过力和力的分析等实例， 运算、共线问题是高考的热点，尤其
了解向量的实际背景，理解平
是向量的线性运算出现的频率最高，
面向量和向量相等的含义，理
多以选择题、填空题的形式出现，属
解2法.通向的过量运实的算例几，，何 并掌表 理握示 解向.其量几加何、意减义.中预算低计、档向20题量21目的年.基高本考概仍念将为以主向要量考的点线，性也运
记作 a＝b
2.向量的线性运算
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
求两个向量和 加法
的运算
(1)交换律：
三角形法则
a＋b＝b＋a. (2)结合律：
(a＋b)＋c
平行四边形法则 ＝a＋(b＋c)
(续表) 向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
求 a 与 b 的相反
向量－b 的和的 减法
运算叫做 a 与 b
A.内心 C.重心
B.外心 D.垂心
答案：C
④内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆 的圆心)；
【跟踪训练】
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
答案：C
6.若 P 为△ABC 所在平面内一点.
∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. ∴P 必过△ABC 的外心.
答案：(1)垂心 (2)外心
1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量 的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否 也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多 联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可 多记忆一些有关的结论.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺 序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.
3.对于两个向量平行的充要条件：a∥b⇔a＝λb，只有 b≠0 才是正确的.而当 b＝0 时，a∥b 是 a＝λb 的必要不充分条件.
3.通过实例，掌握向量数乘的 可与向量加、减的三角形法则和平行
运算，并理解其几何意义，以
及两个向量共线的含义.
四边形法则交汇命题. 透彻理解平面向量的有关概念及运算
4.了解向量的线性运算性质及 是学好本节的基础，因此复习时应注
其几何意义
意运用概念分析和求解相关问题
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量