2018-2019学年辽宁省辽南协作校高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2018-2019学年辽宁省辽南协作校高二（上）期末数学试卷（理
科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程为（）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝1D．x＝﹣1
2．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若a4+a8＝10，则a6＝（）
A．5B．10C．﹣5D．
3．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（）
A．B．C．ab＞b2D．a2＞ab
4．（5分）如果存在三个不全为0的实数x、y、z，使得向量，则关于叙述正确的是（）
A．两两互相垂直
B．中只有两个向量互相垂直
C．共面
D．中有两个向量互相平行
5．（5分）平面内到点F1（6，0）、F2（﹣6，0）的距离之差等于12的点的集合是（）A．双曲线B．双曲线的一支
C．两条射线D．一条射线
6．（5分）“n＞m”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
7．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值是（）A．0B．6C．﹣10D．12
8．（5分）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）
A．36B．16C．20D．24
9．（5分）两个正实数x、y满足x+2y＝1，且恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）
C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）
10．（5分）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为（）A．150°B．45°C．60°D．120°
11．（5分）如图，A，F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过F 的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是（）
A．B．C．D．
12．（5分）数列{a n}满足a1＝1，对任意的m，n∈N*都有a m+n＝a m+a n+mn，则++……
+＝（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）命题：“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的否命题是命题．（填“真”或“假”
之一）
14．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1＝2，E为棱CC1的中点，则AE与平面ADD1A1所成的角的正切值为．
15．（5分）直线l经过点A（t，0），且与曲线y＝x2相切，若直线l的倾斜角为45°，则t ＝．
16．（5分）设a、b、c是正实数满足a+b≥c，则的最小值为．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤）
17．（10分）在等比数列{a n}中，．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，且数列{b n}为递减数列，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°．
（1）求AC1的长；
（2）求BD1与AC夹角的余弦值．
19．（12分）已知椭圆的方程为，点P的坐标为（2，1），求过点P且与椭圆相切的直线方程．
20．（12分）已知抛物线C：y2＝4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过点M的直线l 与抛线C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）若m＝1，且直线l的斜率为1，求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切；
（2）是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动，恒为定值？
若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为边长为2对的菱形，P A⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；
（2）若P A＝2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴、y 轴上滑动，M在线段AB上，且．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设点M（x0，y0）是轨迹C上一点，从原点O向圆作两条切线分别与轨迹C交于点P、Q，直线OP、OQ的斜率分别记为k1、k2．
①求证：；
②求|OP|•|OQ|的最大值．
2018-2019学年辽宁省辽南协作校高二（上）期末数学试
卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且，
∴抛物线的准线方程是x＝﹣1．
故选：D．
2．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中，有a4+a8＝2a6，
若a4+a8＝10，
则a6＝5；
故选：A．
3．【解答】解：∵a＞b＞0，
∴ab＞b2，a2＞ab，即为，因此A，C，D正确，而B不正确．
故选：B．
4．【解答】解：根据题意得，x，y，z不全为零，由平面向量基本定理知，，共面，故选：C．
5．【解答】解：∵到两定点F1（6，0）、F2（﹣6，0）的距离之差的绝对值等于12，而|F1F2|＝12，
∴满足条件的点的轨迹为两条射线．
故选：C．
6．【解答】解：方程表示焦点在y轴上的双曲线⇔，∵n＞m推不出，⇒n＞m，
∴n＞m是的必要而不充分条件，
故选：B．
7．【解答】解：从满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得A（2，6），
由z＝x﹣2y得：y＝x﹣，
结合图象得直线过A（2，6）时，z的值最小，
z的最小值是：﹣10，
故选：C．
8．【解答】解：∵椭圆的方程：，则a＝6，b＝4，c＝＝2．由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|＝2a＝12，由勾股定理可知：|PF1|2+|PF2|2＝（2c）2＝80，∴|PF1||PF2|＝32．
∴△PF1F2的面积＝|PF1||PF2|＝16．
△PF1F2的面积为16，
故选：B．
9．【解答】解：由题意可知，，
由基本不等式可得，
当且仅当，即当x＝2y时，等号成立，
所以m2+2m＜8，即m2+2m﹣8＜0，解得﹣4＜m＜2．
故选：D．
10．【解答】解析：由条件，知．
∴
＝62+42+82+2×6×8cos，
∴cos，即＝120°，
所以二面角的大小为60°，
故选：C．
11．【解答】解：∵A，F分别是双曲线的左顶点、右焦点，∴A（﹣a，0）F（c，0），
∵过F的直线l与C的一条渐近线垂直，
且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点，
∴直线l的方程为：y＝﹣x+，
直线l：y＝﹣x+与y＝﹣x联立：
，解得P点（，）
将x＝0带入直线l：y＝﹣x+，得Q（0，），
∵AP⊥AQ，∴k AP•k AQ＝×＝﹣1，
化简得b2﹣ac﹣a2＝﹣c2，
把b2＝c2﹣a2代入，得2c2﹣2a2﹣ac＝0
同除a2得2e2﹣2﹣e＝0，
∴e＝，或e＝（舍）．
故选：D．
12．【解答】解：根据题意得，数列{a n}满足a1＝1，对任意的m，n∈N*都有a m+n＝a m+a n+mn ∴a n+1﹣a n＝n+1
∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
＝n+n﹣1+…+2+1
＝
∴＝2（﹣）
∴++…+＝2（1﹣++…+﹣）＝2（1﹣）＝．故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【解答】解：∵“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的否命题为：“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”，显然是真命题．
故答案为：真．
14．【解答】解：取DD1中点F，连结EF，AF，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1＝2，E为棱CC1的中点，
∴EF⊥平面ADD1A1，
∴∠EAF是AE与平面ADD1A1所成的角，
∵EF＝2，AF＝＝，
∴tan∠EAF＝＝＝，
∴AE与平面ADD1A1所成的角的正切值为．
故答案为：．
15．【解答】解：设切点为（m，m2），
y＝x2的导数为y′＝2x，
即有切线l的斜率为k＝2m＝tan45°＝1，
解得m＝，可得切点为（，），
由1＝，解得t＝．
故答案为：．
16．【解答】解：∵a，b，c是正实数，满足a+b≥c，
∴a+2b≥b+c，
∴≥+＝+＝（+1）+﹣≥﹣
（当且仅当a+b＝c时取等号）
故答案为：﹣．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤）17．【解答】解：（1）等比数列{a n}的公比设为q，，可得a1q2＝，a1+a1q+a1q2＝，
解得a1＝，q＝1，或a1＝6，q＝﹣，
则a n＝或a n＝6•（﹣）n﹣1；
（2）若a n＝，不满足数列{b n}为递减数列，
则＝log2（﹣）2n＝﹣2n，
数列{b n}的前n项和T n＝n（﹣2﹣2n）＝﹣n2﹣n．
18．【解答】解：设＝，＝，＝，则两两夹角为60°，且模均为1．
（1）＝+＝++＝++．
∴||2＝（++）2＝||2+||2+||2+2•+2•+2•
＝3+6×1×1×＝6，
∴||＝，即AC1的长为．
（2）＝+＝﹣+＝﹣+．
∴•＝（﹣+）•（+）
＝•﹣2+•+2﹣•+•
＝1．
||＝＝，||＝＝，
∴cos＜，＞＝＝＝．
∴BD1与AC夹角的余弦值为．
19．【解答】解：椭圆的方程为，可得﹣2≤x≤2，
点P的坐标为（2，1），过点P且与椭圆相切的直线方程之一是x＝2，
另一条切线为：y﹣1＝k（x﹣2）．
由：可得：（3+4k2）x2﹣（8k2﹣16k）x+16k2﹣16k﹣8＝0，
△＝（8k2﹣16k）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣16k﹣8）＝0，
解得k＝1．
过点P且与椭圆相切的直线方程：y＝x﹣1或x＝2．
20．【解答】解：（1）当m＝1时，且直线l的斜率为1时，直线l的方程为y＝x﹣1，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），
将直线l的方程代入抛物线C的方程，消去y得，x2﹣6x+1＝0，
由韦达定理可得x1+x2＝6，x1x2＝1，
由弦长公式可得＝＝
，
线段AB的中点的横坐标为3，所以，线段AB的中点到抛物线准线x＝﹣1的距离为4，因此，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切；
（2）设直线l的方程为x＝ty+m，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），
将直线l的方程代入抛物线方程并化简得y2﹣4ty﹣4m＝0，
由韦达定理可得y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4m，
，同理可得，
所以，＝
＝为定值，所以，，即m＝2时，恒为定值．
此时，定点M的坐标为（2，0）．
21．【解答】解：（1）垂直．
证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为P A⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
所以P A⊥AE．
而P A⊂平面P AD，AD⊂平面P AD且P A∩AD＝A，
所以AE⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，
所以AE⊥PD．（6分）
（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0），
，，D（0，2，0），P（0，0，2），，
，
所以，．
设平面AEF的一个法向量为，则，
因此，取z1＝﹣1，则．（9分）
因为BD⊥AC，BD⊥P A，P A∩AC＝A，
所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一个法向量．
又，所以．（11分）
因为二面角E﹣AF﹣C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．（12分）
22．【解答】解：（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y），
∵．
∴（x﹣x1，y）＝（﹣x，y1﹣y），
∴x﹣x1＝﹣x，y＝（y1﹣y），
∴x1＝x，y1＝3y，
∵|AB|＝3，
∴（x）2+（3y）2＝9，
即+y2＝1，
证明：（2）①∵直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，与圆相切，
∴直线OP：y＝k1x与圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝联立，
可得（1+k12）x2﹣（2x0+2k1y0）x+x02+y02﹣＝0
同理（1+k22）x2﹣（2x0+2k2y0）x+x02+y02﹣＝0，
由判别式为0，可得k1，k2是方程（x02﹣）k2﹣2x0y0k+y02﹣＝0的两个不相等的实数根，
∴k1k2＝，
∵点M（x0，y0）在椭圆C上，所以y0＝1﹣，
∴k1k2＝＝﹣；
②（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵4k1k2+1＝0，
∴+1＝0，即y12y22＝x12x22，
∵P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，
∴y12y22＝（1﹣）（1﹣）＝x12x22，
整理得x12+x22＝4，
∴y12+y22＝1
∴OP2+OQ2＝5．
（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2＝5，
综上：OP2+OQ2＝5
∴OP•OQ≤（OP2+OQ2）＝2.5，
∴OP•OQ的最大值为2.5．。