2020-2021学年广东省揭阳市高二(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年广东省揭阳市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知全集U={0,1，2，3，4}，集合A={1,2，3}，B={2,4}，则B∩(∁U A)=()
A. {4}
B. {2}
C. {0,2，4}
D. {0,2，3，4}
2.设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()
A. 若l//α，l//β，则α//β
B. 若α⊥β，l//α，则l⊥β
C. 若l⊥α，l⊥β，则α//β
D. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
3.复数z=i
2−i
(i是虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点是()
A. (1
5,−2
5
) B. (−1
5
,−2
5
) C. (1
5
,2
5
) D. (−1
5
,2
5
)
4.2020年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报
业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对2000头生猪的体重(单位：kg)进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是()
A. 这2000头生猪体重的众数为160kg
B. 这2000头生猪体重的中位数落在区间[160,180)内
C. 这2000头生猪中体重不低于200kg的有40头
D. 这2000头生猪体重的平均数为152.8kg
5.已知双曲线y2
a2−x2
b2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线斜率分别为k1，k2，若k1⋅k2=
−4，则该双曲线的离心率为()
A. 5
B. √5
C. 5
2D. √5
2
6.设变量x，y满足约束条件{x−y≥0
x+y≥0
2x+y≤1
，则2
x
4y
的最大值是()
A. 3
B. −1
3
C. 1
D. 8
7. 已知函数y =a x−2+1(a >0，且a ≠1)过定点P ，若点P 在直线2mx +ny −6=
0(mn >0)上，则1
m +2
n 的最小值为( )
A. 2
B. 8
3
C. 8
D. 5
3
8. 已知y =f(x)为R 上的奇函数，y =f(x +1)为偶函数，若当x ∈[0,1]时，f(x)=
log 2(x +a)，则f(2023)等于( )
A. −1
B. 1
C. 0
D. 2
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知函数g(x)=cos(x −π
3)+1，则下列结论正确的是( )
A. g(x)的图象关于直线x =π
3对称 B. g(x)的图象关于点(5π
6,0)对称 C. g(x)在区间(−π6,π
6)上单调递增
D. g(x)在区间(0,7π
6)上有两个零点
10. 已知(x −1)8=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a 8x 8，则下列结论错误的是( )
A. a 0=1
B. a 1+a 2+a 3+⋯+a 8=1
C. a 3=−56
D.
a 12
+
a 22
2+
a 32
3+⋯+
a 828
=
255256
11. 下列命题中，真命题的是( )
A. ∃x 0∈R ，sinx 0+cosx 0=√2
B. 已知α，β∈R ，则“α+β<0”是“α+β<sinα+sinβ”的充要条件
C. 命题P ：“∃x 0∈R ，e x 0≥x 0+1”的否命题为¬p ：“∀x ∈R ，e x <x +1”
D. 已知函数f(x)={lnx,(x >0)
e x ,(x ≤0)，且关于x 的方程f(x)=−x +a 恰有两个互异的
实数解的充要条件是a <1
12. 如图点M 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中的侧面ADD 1A 1
上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 若点M 为线段AD 1的中点，则CM ⊥AD 1
B. 不存在点M 到直线AD 和直线C 1D 1的距离相等
C. 若正方体的棱长为1，则三棱锥M −BCC 1的体积为1
6
D. 在线段AD 1上不存在点M ，使异面直线B 1M 与CD 所成的角是30°
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 都为单位向量，|2a ⃗ −b ⃗ |=√7，则向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为______．
14.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的
图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之
气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长
秋收冬藏，一年不过如此”，如图是来氏太极图，其大圆
半径为5，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案
是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______．
.
15.已知函数f(x)=log2x，给出三个条件：①f(a n)=2n；②f(a n)=n；③f(a n)=1
n 从中选出一个能使数列{a n}成等比数列的条件，在这个条件下，数列{a n}的前n项和S n=______．
x2上的一个动点，则点P到直线l1：4x−3y−12=0和l2：16.已知点P是地物线y=1
4
y+1=0的距离之和的最小值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
)．
17.已知函数f(x)=2sin(2x+π
6
(1)将f(x)的图象向右平移π
个单位得到g(x)的图象，求函数g(x)的解析式和最小正
6
周期；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=1，a=√7，
b=2，求△ABC的面积．
18.已知等比数列{a n}各项都是正数，且a1=1，a2+a3=12；数列{b n}的前n项和S n
满足S n=n2．
(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；
(2)设c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和T n．
19.如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD为正三角形，四
边形ABCD为梯形，二面角P−AD−C为直二面角，且
DC，F为PC的中
AB//DC，AB⊥AD，AD=AB=1
2
点．
(1)求证：BF//平面PAD；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值．
20.为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销
售额数据y(单位：十亿元)，绘制如表：
年份2010201120122013201420152016201720182019编号x12345678910
销售额
0.98.722.4416594132.5172.5218268
y
根据以上数据绘制散点图，如图所示：
(1)根据散点图判断，ŷ=â+b̂x与ŷ=ĉx2+d̂哪一个适宜作为销售额y关于x的
回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及如表中的数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测2021年天猫双十一销售额；(注：数据保留小数点后一位)
(3)把销售额不超过150(十亿元)的年份叫“平销年“，把销售额低于30(十亿元)的年份叫“试销年”，从2010年到2019年这十年的“平销年”中任取3个，ξ表示取到“试销年”的个数，求ξ的分布列和数学期望． 参考数据：t i =x i 2．
参考公式：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，⋯，(u n ,v n )，其回归直线v ̂=α̂
+β̂
u 的
斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β̂
=∑u i n i=1v i −nu −v
−
∑u i 2n i=1−nu
−
2，α̂
=v −−β̂
u −．
21. 已知椭圆E ：x 2
a 2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e =√
3
2
，
过左焦点F 1作直线l 1交椭圆E 于A ，B 两点，△ABF 2的周长为8． (1)求椭圆E 的方程；
(2)若直线l 2：y =kx +m(km <0)与圆O ：x 2+y 2=1相切，且与椭圆E 交于M ，N 两点，|MF 2|+|NF 2|是否存在最小值？若存在，求出|MF 2|+|NF 2|的最小值和此时直线l 2的方程．
22.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x+1．
(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为10，求此切线方程；
−1．
(2)当a<0时，证明：f(x)≤−3
4a
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵U ={0,1，2，3，4}，A ={1,2，3}，B ={2,4}， ∴∁U A ={0,4}，B ∩(∁U A)={4}． 故选：A ．
进行补集和交集的运算即可．
本题考查了集合的列举法的定义，补集和交集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：若l//α，l//β，则α//β或α与β相交，故A 错误；
若α⊥β，l//α，则l ⊂β或l//β或l 与β相交，相交也不一定垂直，故B 错误； 若l ⊥α，l ⊥β，由直线与平面垂直的性质，可得α//β，故C 正确； 若α⊥β，l ⊥α，则l ⊂β或l//β，故D 错误． 故选：C ．
由平行于同一直线的两平面的位置关系判定A ；由平面与平面垂直、直线与平面平行的位置关系分析B ；由直线与平面垂直的性质判断C ；由平面与平面垂直、直线与平面垂直的关系分析D ．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由z =i
2−i =i(2+i)
(2−i)(2+i)=−1+2i 4−i 2
=−15+2
5i ，
得z −
=−1
5−2
5i ，
∴z −
在复平面内对应点的坐标为(−1
5,−2
5)， 故选：B ．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z −
，则答案可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由频率分布直方图可得，[140,160)这一组数据对应的小长方形最高，所以这2000头生猪的体重的众数为150kg，故A错误；
因为生猪的体重在[80,140)内的频率为(0.001+0.004+0.01)×20=0.3，
在[140,160)内的频率为0.016×20=0.32，且0.3+0.32=0.62>0.5，
所以这2000头生猪体重的中位数落在区间[140,160)内，故B错误；
这2000头生猪的体重不低于200kg的有0.002×20×2000=80头，故C错误；
这2000头生猪的体重的平均数为(0.001×90+0.004×110+0.01×130+0.016×150+0.012×170+0.005×190+0.002×210)×20=152.8kg，故D正确．
故选：D．
由众数的概念，结合频率分布直方图可判断A；由中位数的概念和图象，可判断B；由图象找出体重不低于200kg的那段，计算可判断C；由平均数的概念，结合图象计算可判断D．
本题考查频率分布直方图的应用，考查读图能力、运算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：双曲线y2
a −x2
b
=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程分别为y=b
a
x，y=−b
a
x，
不妨取k1=b
a ，k2=−b
a
，
由k1⋅k2=−4，得−b2
a2
=−4，即b2=4a2，
∴c2−a2=4a2，解得e=c
a
=√5(e>1)．
故选：B．
写出双曲线的渐近线方程，求得k1，k2的值，代入k1⋅k2=−4，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率．
本题考查双曲线的几何性质，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立{x +y =02x +y =1
，A(1,−1)，
令z =x −2y ，得y =x
2−z
2，由图可知，当直线y =x
2−z
2过A 时，直线在y 轴上的截距最小，
z 有最大值为3，则2x 4y
=2x−2y =8．
故选：D ．
由约束条件作出可行域，令z =x −2y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入求得z 的最大值，再由有理指数幂的运算性质求2x
4y 的最大值．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
7.【答案】B
【解析】解：由已知可得点P 的坐标为(2,2)， 代入直线方程：2mx +ny −6=0可得：2m +n =3， 所以1
m +2
n =1
3(1
m +2
n )(2m +n)=1
3(4+n
m +4m n
)
≥1
3(4+2√n
m ×4m n
)=13(4+4)=8
3，
当且仅当n
m =4m
n
时取等号，此时1
m +2
n 的最小值为8
3；
故选：B ．
先求出点P 的坐标，然后代入直线方程，利用1的代换以及基本不等式即可求解． 本题考查了函数过定点问题以及1的代换，基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，y=f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)．
y=f(x+1)为偶函数，则f(1−x)=f(1+x)，变形可得f(−x)=f(2+x)，
则有f(x+2)=−f(x)，
则有f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即函数是周期为4的周期函数，
则f(2023)=f(−1+506×4)=f(−1)=−f(1)，
y=f(x)为奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)=log2(x+a)，则f(0)=log2a=0，必有a=1，则当x∈[0,1]时，f(x)=log2(x+1)，f(1)=log2(1+1)=1，
故f(2023)=−f(1)=−1；
故选：A．
根据题意，由函数的奇偶性和对称性分析可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即函数是周期为4的周期函数，由此可得f(2023)=−f(1)，又由函数的解析式和奇函数的定义可得a的值，即可得f(1)的值，分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期，属于中档题．9.【答案】AC
【解析】解：A选项，g(π
3)=cos(π
3
−π
3
)+1=2，取到最大值，A选项说法正确．
B选项，g(x)的图象为y=cos(x−π
3
)向上平移1个单位，故对称中心的纵坐标为1，B 选项说法错误．
C选项，当x∈(−π
6,π
6
)时，x−π
3
∈(−π
2
,−π
6
)，又y=cosx在(−π
2
,0)上单调递增，所以
g(x)单调递增，C选项说法正确．
D选项，令g(x)=0，得x−π
3=π+2kπ,k∈Z，即x=4π
3
+2kπ，故在区间(0,7π
6
)上没
有零点，D选项说法错误．
故选：AC．
利用对称轴处有最值判断A选项；从图象的平移角度判断B选项；C选项，通过x−π
3
的范围判断单调性；D选项，求出g(x)的零点判断．
本题考查余弦函数的图象与性质，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：∵(x −1)8=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a 8x 8， 令x =0，可得a 0=1，故A 正确；
∴令x =1，可得1+a 1+a 2+a 3+⋯+a 8=0，故a 1+a 2+a 3+⋯+a 8=−1，故B 错误；
∵a 3=C 85
⋅(−1)3=−56，故C 正确；
令x =1
2，可得1+a 12
+a 222+⋅⋅⋅+a 8
28=128=1
256，
∴
a 12
+
a 22
2+⋅⋅⋅+
a 828
=
12
8−1=−
255256
，故D 错误，
故选：BD ．
注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案．
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于A ：sinx 0+cosx 0=√2(√2
2sinx 0+√2
2cosx 0)
=√2(sinx 0cos π
4+cosx 0sin π
4)=√2sin(x 0+π4)， 所以要使sinx 0+cosx 0=√2， 令√2sin(x 0+π4)=√2， 所以sin(x 0+π4)=1，
所以x 0+π
4=2kπ+π
2，k ∈Z ， 所以x 0=2kπ+π
4，k ∈Z ，
所以∃x 0∈R ，sinx 0+cosx 0=√2，故A 正确； 对于B ：设函数ℎ(x)=x −sinx ， ℎ′(x)=1−cosx ， 因为−1≤cosx ≤1， 所以ℎ′(x)=1−cosx ≥0，
所以函数ℎ(x)在(−∞,+∞)上单调递增， 若α+β<0，则α<−β， 所以f(α)<f(−β)，
所以α−sinα<(−β)−sin(−β)=sinβ−β， 所以α+β<sinα+sinβ，
所以若α+β<0，则α+β<sinα+sinβ，
所以α，β∈R ，“α+β<0“是“α+β<sinα+sinβ“的充分条件， 若α+β<sinα+sinβ，则α−sinα<sinβ−β=(−β)−sin(−β)， 所以f(α)<f(−β)，
所以函数ℎ(x)在(−∞,+∞)上单调递增， 所以α<−β，即α+β<0，
所以若α+β<sinα+sinβ，则α+β<0，
所以α，β∈R ，“α+β<0“是“α+β<sinα+sinβ“的必要条件，故B 正确； 对于C ：命题P ：“∃x 0∈R ，e x 0≥x 0+1“的否命题为“∀x 0∈R ，e x 0<x 0+1“，故C 正确；
对于D ：设g(x)=f(x)+x −a ={lnx +x −a,x >0
e x +x −a,x ≤0，
若关于x 的方程f(x)=−x −a 恰有两个互异的实数解， 则函数g(x)有两个零点，
当a =1时，函数g(x)表达式可化为g(x)={lnx +x −1,x >0
e x +x −1,x ≤0，
所以当x ≤0时，g′(x)=e x +1>0，g(x)单调递增， 当x >0时，g′(x)=1
x +1>0，g(x)单调递增， 因为g(0)=e 0+0−1=0，g(1)=ln1+1−1=0， 所以此时函数g(x)有两个零点，
所以当a =1时，关于x 的方程f(x)=−x −a 恰有两个互异的实数解成立，
所以“a <1”不是“关于x 的方程f(x)=−x −a 恰有两个互异的实数解”的必要条件，故D 错误． 故选：ABC ．
对于A ：利用三角函数辅助角公式可得√2sin(x 0+π
4)=√2，解得x 0，即可判断A 是否正确；
对于B ：由充要条件的定义判断，即可判断B 是否正确； 对于C ：由特称命题的否定，可得¬p ，即可判断C 是否正确；
对于D：由充要条件的定义判断，即可判断D是否正确；
本题考查命题的真假，充分必要条件，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：A选项，CM在平面ADD1A1的射影为DM，当M为AD1的中点时，DM⊥AD1，所以CM⊥AD1，故A说法正确．
B选项，当M为DD1为中点时，M到直线AD为MD，M到直线C1D1的距离为MD1，MD= MD1，故B说法错误．
C选项，V M−BCC
1=V D−BCC
1
=1
3
×DC×(1
2
×BC×CC1)=1
6
，故C说法正确．
D选项，A1到平面AB1D1的距离为d=1
3A1C=√3
3
，所以直线A1B1与平面AB1D1所成角的
正弦值为d
A1B1=√3
3
．
所以直线A1B1与B1M所成角的正弦值不小于√3
3
，所成角大于30°．
因为A1B1//CD，所以异面直线B1M与CD所成角大于30°，故D说法正确．
故选：ACD．
A选项，CM在平面ADD1A1的射影为DM，利用三垂线定理证明CM⊥AD1；B选项，M 为DD1为中点时，M到直线AD和直线C1D1的距离相等；
C选项，利用等体积法求体积；D选项，因为A1B1//CD，所以异面直线B1M与CD所成角等于直线A1B1与B1M所成角，利用线面角最小判断．
本题考查空间几何体的体积，异面直线所成角，属于中档题．
13.【答案】2π
3
【解析】解：∵a⃗，b⃗ 都为单位向量，
∴|a⃗|=|b⃗ |=1，
∵|2a⃗−b⃗ |=√7，
∴4|a⃗|2+|b⃗ |2−4a⃗⋅b⃗ =7，即a⃗⋅b⃗ =−1
2
，
∴cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗
|a⃗ |⋅|b⃗|=−
1
2
1×1
=−1
2
，
∵<a⃗,b⃗ >∈[0,π]，
∴向量a⃗，b⃗ 的夹角为2π
3
．
故答案为：2π
3
．
根据已知条件，结合向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查向量的夹角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
14.【答案】21
50
【解析】解：根据题意，大圆半径为5，其面积S=π×52=25π，
大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，则黑色区域的面积S1=
1 2(π×52−π×22)=21π
2
，
则该点落在黑色区域的概率P=S1
S =
21π
2
25π
=21
50
；
故答案为：21
50
．
根据题意，计算大圆的面积和黑色区域的面积，由几何概型公式计算可得答案．本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．
15.【答案】2n+1−2
【解析】解：若选①f(a n)=2n，即有log2a n=2n，
则a n=22n，
a n+1
a n
=22n+1−2n不为常数，
所以①不满足题意；
若选②f(a n)=n，即有log2a n=n，
即a n=2n，
由a n+1
a n =2n+1
2
=2为常数，
可得②满足题意，则S n=2(1−2n)
1−2
=2n+1−2．
若选③f(a n)=1
n
，
即有log2a n=1
n
，
即a
n
=21n，
由a n+1
a n =2
1
n+1
2
1
n
不为常数，
所以③不满足题意．
故答案为：2n+1−2．
对三个条件分别考虑，结合对数的运算性质、等比数列的定义和求和公式，可得所求．本题考查函数与数列的综合，以及等比数列的定义和求和公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】3
【解析】解：抛物线y=1
4
x2，即x2=4y的焦点坐标为(0,1)，准线方程为：l2：y+1=0，由抛物线的定义，可知抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等，
所以抛物线上的点P到直线l1：4x−3y−12=0和l2：y+1=0的距离之和的最小值，转化为焦点(0,1)到直线l1：4x−3y−12=0的最小值，
d=
√16+9
=3，
故答案为：3．
求出抛物线的焦点坐标，准线方程，利用抛物线的定义转化为焦点到直线的距离求解即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的定义的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
17.【答案】：(1)∵f(x)=2sin(2x+π
6)，则将f(x)的图象向右平移π
6
个单位得到g(x)=
2sin(2x−π
6
)的图象，
∴函数g(x)的最小正周期是2π
2
=π．
(2)∵f(A)=1，∴2sin(2A+π
6)=1，又角A为锐角，∴A=π
3
．
∵a=√7，b=2，在△ABC中由余弦定理得：7=22+c2−2×2c×cosπ
3
=4+c2−2c，即c2−2c−3=0，解得c=3或c=−1(舍去)．
∴S△ABC=1
2bcsinA=1
2
×2×3×sinπ
3
=3√3
2
．
∴△ABC的面积为3√3
2
．
【解析】(1)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．
bcsinA的值．
(2)由题意利用余弦定理求得c的值，从而求得S△ABC=1
2
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，
由a1=1，a2+a3=12，得q+q2=12，解得q=3或q=−4(舍去)，所以a n=
1×3n−1=3n−1；
∵数列{b n}的前n项和S n满足S n=n2①，
∴当n=1时，b1=1，当n≥2时，S n−1=(n−1)2(n≥2)②，
①−②得：b n=2n−1(n≥2)，又b1=1满足上式，∴b n=2n−1(n∈N∗)．
(2)由(1)得c n=a n b n=3n−1⋅(2n−1)，
∴T n=1×30+3×31+5×32+7×33+⋯+(2n−1)⋅3n−1；
3T n=1×31+3×32+5×33+⋯+(2n−3)⋅3n−1+(2n−1)3n，
∴T n−3T n=−2T n=1+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−(2n−1)⋅3n，
−(2n−1)⋅3n=(2−2n)⋅3n−2，
即−2T n=1+2×3(1−3n−1)
1−3
∴T n=(n−1)⋅3n+1．
【解析】(1)可设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，结合a1=1，a2+a3=12即可求出q值从而得出a n；由S n=n2可得S n−1=(n−1)2(n≥2)，从而利用a n=S n−S n−1(n≥2)计算出b n后再检验b1的值是否满足改式即可确定b n．
(2)易知c n=a n b n=3n−1⋅(2n−1)，从而利用错位相减求和法即可求出数列{c n}的前n 项和T n．
本题考查等比数列的通项公式、数列的递推公式以及错位相减求和法；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
19.【答案】(1)证明：如图所示，取PD的中点G，连接GF，AG．
DC．
∵F为PC的中点，∴GF//DC,GF=1
2
DC，∴GF//AB且CF=AB．
又∵AB//DC,AB=1
2
∴四边形ABFG为平行四边形．∴BF//AG．
又∵AG ⊂平面PAD ，BF ⊄平面PAD ，∴BF//平面PAD.………………(4分)
(2)解：取AD 的中点O ，连接OP ，由△PAD 为正三角形，∴PO ⊥AD ． 取BC 的中点E ，连接OE ，∵四边形ABCD 为梯形，
∴OE//AB.∴OE ⊥AD.∴∠POE 为二面角P −AD −C 的平面角．………………(6分) 又二面角P −AD −C 为直二面角，∴∠POE =90°.PO ⊥OE.………………(7分) 以O 为坐标原点，OA ，OE ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
设AB =2，则P(0,0,√3)，A(1,0，0)，B(1,2，0)，C(−1,4，0)， 故BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,4,−√3).………………(8分) 设平面PAB 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −2y +√3z =0
m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0
则可取m ⃗⃗⃗ =(√3,0,1).………………(9分) 设直线PC 与平面PAB 所成的角为θ．
∴sinθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗
||m ⃗⃗⃗ ||PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+0−√3|2√
1+16+3=√1510
.………………(10分) ∵θ∈(0,π
2
],∴cosθ=√1−sin 2θ=
√85
10
． 故直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为√85
10.……………………(12分)
【解析】(1)取PD 的中点G ，连接GF ，AG.证明四边形ABFG 为平行四边形．推出BF//AG.然后证明BF//平面PAD ．
(2)取AD 的中点O ，连接OP ，说明∠POE 为二面角P −AD −C 的平面角．以O 为坐标原点，OA ，OE ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PAB 的一个法向量，设直线PC 与平面PAB 所成的角为θ.利用空间向量的
数量积求解即可．
本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)由散点图的走势可得，y ̂=c ̂
x 2+d ̂
适宜作为销售额y 关于x 的回归
方程类型．
(2)令t =x 2，则y ̂=c ̂
t +d ̂
，根据题中数据可得： ∵t −
=110∑t i 10i=1=38510
=38.5，y −
=110∑y i 10i=1=
102010
=102，
c =
∑t i 10i=1y 1−10t −y
−
∑t i 210i=1−10t
−2≈
67770−10×38.5×10225380−10×38.52
≈2.7，
∴d ̂
=y −
−c ̂t −
=102−2.7×38.5≈−2.0， ∴y ̂
=2.7t −2.0，
∴y 关于x 的回归方程为y ̂
=2.7x 2−2.0，
当x =11时，y ̂
=2.7×121−2=324.7(十亿元)， 故2021年天猫双十一销售额预计为324.7(十亿元)．
(3)由题意，2010年到2019年这十年的“平销年”的个数为7个，其中“试销年”为3个，
因此从2010年到2019年这十年的“平销年”中任取3个，取到“试销年”的个数ξ能取的值为0，1，2，3， 则P(ξ=0)=C 43C 30C 7
3=4
35，P(ξ=1)=
C 42C 31C 7
3=18
35，
P(ξ=2)=
C 41C 32C 7
3=12
35，P(ξ=3)=
C 40C 33
C 7
3=1
35．
故ξ的分布列如下：
∴数学期望为E(ξ)=0×4
35+1×18
35+2×12
35+3×1
35=45
35=9
7．
【解析】(1)由散点图的走势，即可判断．
(2)通过已知条件，结合线性回归方程公式，可得y 关于x 的回归方程，将x =11代入该方程，即可求解．
(3)从2010年到2019年这十年的“平销年”中任取3个，取到“试销年”的个数ξ能取的值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得ξ的分布列，并结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，以及线性回归方程的求解，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由△ABF2的周长为8，椭圆的定义可得4a=8，即a=2．
又椭圆的离心率为e=c
a =√3
2
，得c=√3，
故b2=a2−c2=1，
∴椭圆E的方程为x2
4
+y2=1．
(2)由直线l2：y=kx+m(km<0)与圆O：x2+y2=1相切，
则
√k2+1
=1，即m2=k2+1①，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，(|x1|≤2,|x2|≤2)
由于点M在椭圆E上，则x12
4
+y12=1，
可得y12=1−x12
4
，
又F2(√3,0)，
∴|MF2|=√(x1−√3)2+y12=√(x1−√3)2+1−x12
4
=√3x12
4−2√3x1+4=|√3
2
x1−2|=2−√3
2
x1．
同理|NF2|=2−√3
2
x2，
∴|MF2|+|NF2|=4−√3
2
(x1+x2)，
联立得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0．
显然Δ>0成立，则x1+x2=−8km
1+4k2
，
又km<0，由①得：x1+x2=8|km|
1+4k2=8√k2(k2+1)
4k2+1
，
令t=4k2+1≥1，则x1+x2=2√1+2
t −3
t2
=2√−3(1
t
−1
3
)2+4
3
≤4√3
3
，
当且仅当“1
t =1
3
”即“t=3”时等号成立，
∴|MF2|+|NF2|存在最小值，且|MF2|+|NF2|=4−√3
2
(x1+x2)≥2，∴|MF2|+|NF2|的最小值为2，
∴所求直线l2的方程为y=√2
2x−√6
2
或y=−√2
2
x+√6
2
，
即x−√2y−√3=0或x+√2y−√3=0．
【解析】(1)离心率为e=√3
2
，△ABF2的周长为8，列方程组，解得a，b，c，即可得出答案．
(2)由直线l2：y=kx+m(km<0)与圆O：x2+y2=1相切，得m2=k2+1①，设
M(x1,y1)，N(x2,y2)，(|x1|≤2,|x2|≤2)由于点M在椭圆E上，则y12=1−x12
4
，计算出|MF2|，|NF2|，再利用基本不等式得|MF2|+|NF2|的最小值，进而可得答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x+1，∴f′(x)=1
x
+2ax+(2a+1)．∵f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为10，
∴f′(1)=10，即1+2a+(2a+1)=10，解得a=2，
∴f(x)=lnx+2x2+5x+1，
∴f(1)=ln1+2+5+1=8，切点坐标为(1,8)，
∴切线方程为y−8=10(x−1)，即10x−y−2=0．
(2)∵f′(x)=2ax2+(2a+1)x+1
x =(2ax+1)(x+1)
x
(x>0)，
∵a<0，当x=−1
2a
时，f′(x)=0；
当x∈(0,−1
2a )时，f′(x)>0；当x∈(−1
2a
,+∞)时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0,−1
2a )上单调递增，在(−1
2a
,+∞)上单调递减．
∴当x=−1
2a 时，f(x)取得极大值，也是最大值，且f(x)max=f(−1
2a
)．
∵f(−1
2a )−(−3
4a
−1)=ln(−1
2a
)+1
2a
+1，
令ℎ(t)=lnt−t+1(t=−1
2a
>0)．
解ℎ′(t)=1
t
−1=0，得t=1；
解ℎ′(t)=1
t −1>0，得0<t<1；解ℎ′(t)=1
t
−1<0，得t>1，
∴ℎ(t)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)单调递减．
∴当t=1时，ℎ(t)取得极大值，也是最大值，且ℎ(t)max=ℎ(1)=0．
∴ℎ(t)≤0，∴f(x)−(−3
4a −1)≤0，即f(x)≤−3
4a
−1．
∴当a<0时，f(x)≤−3
4a
−1．
【解析】(1)由f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为10，列方程求出a，然后求出切线的方程即可；
(2)对f(x)求导，判断f(x)的单调性，求出f(x)的最大值，然后构造函数ℎ(t)=lnt−t+
1(t=−1
2a >0)，求出ℎ(t)的最大值，进一步得到f(x)≤−3
4a
−1．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、切线方程与最值，利用综合法证明不等式，考查了函数思想和转化思想，属难题．
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