吉林省辽源五中2017-2018学年高一下学期期中考试数学(理)试卷

付出总有回报 2017－2018学年度下学期（高一） 人间自有公道 期中考试数学(理)试卷
2018.5.3
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．若0a b >>， 0c <，则 （ ） A.
c c a b < B. bc ac > C. 11
ac bc
< D. 22ac bc > 2．已知的三边
满足
，则
的内角C 为（ ）
A.
B. C.
D.
3．下列说法中正
确
的
是
（ ）
A. 在正三棱锥中,斜高大于侧棱
B. 有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
C. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥
D. 有一个面是多边形,其余各面均为三角形的几何体是棱锥
4. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ，若1,7,120a b B ==，则c =（ ） A.
2 B.
3 C. 2 D. 3
5．已知,x y 都是正数 , 且
21
1x y
+=则x y +的最小值等于 （ ）
A. 6
B. 42
C. 322+
D. 422+6．函数2
cos2sin y x x =+，R ∈x 的值域是( )
A ．]1,0[
B ．]1,
2
1
[ C ．]2,1[- D ．]2,0[
7．在下列函数中，最小值时
的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知等差数列{}n a 中， π2019111021=+++a a a a ，则()6cos a -=（ ）
A.
22 B. 22- C. 2
2
± D. 0
9．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°(如图所示)，若将△ABC 绕BC 边所在直线旋转一周， 则所形成的旋转体的体积是( )
A. 4π
B.
34π C. 3π D. 32
π 10．已知数列{a n }是等差数列，若
12
11
10a a +<，且它的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的n 的最大值为（ ）
A. 11
B. 12
C. 21
D. 22
11．当(]
,1x ∈-∞-时，不等式()
2420x x
m m -⋅-<恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A. ()1,2-
B. ()4,3-
C. ()3,4-
D. ()2,1-
12．已知数列{}n a 是各项均不为0的正项数列， n S 为前n 项和，且满足+1n a =，
*n N ∈()1281n
n a +≤+-对任意的*n N ∈恒成立，求实数λ的最大值为
A. 21-
B. 15-
C. 9-
D. 2-
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．已知1
tan ,2
α=
则cos2α=_____________ 14．设等比数列{a n }的前项和S n =2n -1（n ∈N *）,则a 12+a 22+…+a n 2=__________
15．当[]
1,1a ∈-时,不等式()2
4420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为__________
16.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ，A=
6
π
,且(
)
22513a bc -=-，则
ABC ∆面积的最大值_______________
三、解答题：
17．（本题10分）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,且.
（1）确定角的大小；
（2）若，且的面积为
，求a b +的值.
18．（本题12分）已知数列{}n a 满足12a =，且1122n n n a a ++=+， *N n ∈.
（1）设2n
n n
a b =
，证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
19. （本题12分）
已知ABC ∆,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且
//m n .
（1）求角A 的值；
（2）已知ABC ∆
的外接圆半径为3
，求ABC ∆周长的取值范围. 20. （本题12分）
(1)已知关于x 的不等式2
0x ax b -++>，(),a b R ∈的解集为{}|13,A x x x R =-<<∈．
求a b +的值.
(2)求解关于x 的不等式()2
2140mx m x -++>，其中m 为常数.
21. （本题12分） 已知数列{}n a 满足n n n a a a a 22
22123
21=++++- ,*N n ∈. (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2)设)
1)(1(1--=
+n n n
n a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
22. （本题12分）已知数列{}n a 满足01=a ，1)
1(1
1+++
=+n n a a n n
（1）证明数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+
n a n 1 是等差数列， 并求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n a n 的前前n 项和为n S ，证明12+<n n S n
1.D
2.C
3.B
4. C.
5. C.
6.A
7.D 8.B 9. D 10.C 11.A 12. D 【解析】
由+1n a =得1
14({
4(n
n a n a n S S --==,()()22
1411n n n a a a -∴=+-+,整理得
()()1120n n n n a a a a --+--=,数列{}n a 是各项均不为0的正项数列, 12n n a a -∴-=,
由+1n a =,令1n =可得()1112121n a a n n =∴=
+-=-， 2n S n ∴=,不等式()
1281n n a +≤+-即()8124n
n n
λ-≤++
,当n 为偶数时， 104n λ≤+， 10
44n
+
>, 4λ≤,当n 为奇数时， 64n λ≤-
， 6
4n
-单调递增， 1n =取最小2-， 2λ∴≤-，综上可得2λ≤-，所以实数λ的最大值为2-.
13．3
5 14. 413
n - 15. 1x <或3x >16. 2512
17.(1)
,由正弦定理得
又，， 又
（2)由已知得，
在中，由余弦定理得
即，
又
，
18.（1）把2n n n a b =代入到1122n n n a a ++=+， 得1111222n n n n n b b ++++=+， 两边同除以1
2
n +，
得11n n b b +=+，
∴{}n b 为等差数列，首项1
112
a b =
=，公差为1， ∴()
*
N n b n n =∈.
（2）由22
n
n n n n a b n a n ==
⇒=⨯，
∴1331222322n n S n =⨯+⨯+⨯+
+⨯
2342122232n S ⇒=⨯+⨯+⨯ ()1122n n n n ++
+-⨯+⨯，
两式相减，得1232222n n S -=+++
+- ()112122n n n n ++⨯=-⨯-
()()
1*122N n n S n n +⇒=-⨯+∈.
19.（1）由//m n ，得(2)0b c cosA acosB -+=. 由正弦定理，
得2sin sin cos 0sinBcosA CcosA A B -+=， 即()2sin CcosA sin A B sinC =+=. 在ABC ∆中，由0sinC >， 得1cos 2
A =
. 又()0,A π∈，所以3
A π
=
.
（2）根据题意，得2sin 2a R A ===. 由余弦定理，
得()2
222
2cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，
即()2
2
3432b c bc b c +⎛⎫
=+-≤ ⎪⎝⎭
，
整理得()2
16b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号， 所以b c +的最大值为4.
又2b c a +>=，所以24b c <+≤， 所以46a b c <++≤.
所以ABC ∆的周长的取值范围为(]
4,6.
20.（1）【解析】易知11x =-和23x =是2
0x ax b --=的两个根，
∵根据韦达定理可知1212{
x x a x x b
+==-，
∴132a =-+=， 12133b x x =-=⨯=， ∴5a b +=．
21.
22.。