2016高考_一中一轮-数理-作业4 (3)

第3讲 两角和与差的正弦、余弦、正切
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2014·皖南八校联考)若tan θ＝3，则sin 2θ
1＋cos 2θ＝
( )
A. 3 B ．－ 3 C.3
3
D ．－3
3
解析 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ
1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3.
答案 A
2．(2015·东北三省三校联考)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4－α＝ ( )
A.118
B.1718
C.89
D.29
解析 由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－8
9，
所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋
892＝1718，故选B.
答案 B
3．(2014·杭州调研)已知α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于 ( )
A ．7 B.1
7
C ．－1
7 D ．－7
解析 因α∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，所以sin α＜0，即sin α＝－35，
所以tan α＝34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α
1＋tan α＝
1－3
41＋34
＝17.
答案 B
4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－10
10，α，β均为锐角，则角β等于 ( )
A.5π12
B.π3
C.π4
D.π6
解析 ∵α，β均为锐角，∴－π2<α－β<π
2.
又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝310
10.
又sin α＝55，∴cos α＝25
5， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－
1010＝22. ∴β＝π4. 答案 C
5．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，
则
( )
A ．3α－β＝π
2 B ．2α－β＝π
2 C ．3α＋β＝π
2
D ．2α＋β＝π
2
解析 由条件得
sin αcos α＝1＋sin β
cos β
，即sin α cos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－α，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以
α－β＝π2－α，所以2α－β＝π
2，故选B. 答案 B 二、填空题
6．若sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋θ＝3
5，则cos 2θ＝________．
解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋θ＝cos θ＝35，
∴cos 2θ＝2cos 2
θ－1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫352
－1＝－725. 答案 －7
25
7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．
解析 ∵f (x )＝22sin 2x －2
2cos 2x －2(1－cos 2x )
＝22sin 2x ＋2
2cos 2x －2＝sin(2x ＋π4
)－2， ∴最小正周期T ＝2π
2＝π. 答案 π
8．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫2α＋π3＝________．
解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝2
3，
又α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，
∴2α∈(0，π)，
∴sin 2α＝1－cos 22α＝5
3， ∴cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α
＝12×23－32×53＝2－15
6. 答案
2－156
三、解答题
9．(2014·江苏卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，sin α＝55.
(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α的值；
(2)求cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π6－2α
的值．
解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，sin α＝55，
所以cos α＝－1－sin 2α＝－25
5.
故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α
＝22×⎝
⎛⎭⎪⎫－
255＋22×55＝－10
10. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－
255＝－4
5， cos 2α＝1－2sin 2
α＝1－2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫552＝3
5，
所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－45＝－4＋3310.
10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，求cos β的值．
解 (1)因为sin α2＋cos α2＝6
2，
两边同时平方，得sin α＝1
2. 又π2＜α＜π，所以cos α＝－1－sin 2
α＝－32.
(2)因为π2＜α＜π，π
2＜β＜π，
所以－π2＜α－β＜π2.
又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝4
5. cos β＝cos []α－（α－β） ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－35＝－43＋310. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)
11．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于 ( ) A.π3
B.2π3
C.π
6
D.π4
解析 由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝
tan A ＋tan B
1－tan A tan B
＝－3，
又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝2
3π，∴C ＝π3. 答案 A
12．(2014·云南统一检测)cos π9·cos 2π9·cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
－23π9＝ ( ) A ．－18 B ．－116 C.116 D.18
解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－239π＝cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
sin 20°
＝－1
2sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°
＝－1
4sin 80°·cos 80°sin 20°
＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.
答案 A
13．设f (x )＝
1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝
________．
解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4
＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
x ＋π4
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4
＝(2＋a 2
)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.
依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3. 答案 ±3
14．(2014·惠州模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6的值；
(2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α2＋π24.
解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1
2×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝
1＋cos 2x 2
＋1
2sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4.
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝1
2＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4
＝12＋22sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π3
＝12＋22⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin α＋3
2cos α.
又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，
所以cos α＝－4
5，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫
12×35－32×45
＝10＋32－46
20
.。