黑龙江省鸡西市2022年数学高一上期末质量跟踪监视试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最合适的是（） x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.51 4.04 7.51 12.03 18.01
A.22y x =-
B.()2112y x =-
C.2log y x =
D.x y e =
2．已知函数()()2122
x x f x g x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，，，在R 上是单调函数，则()g x 的解析式可能为（ ） A.21x +
B.()ln 3x -
C.21x -
D.12x
⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3． “22log log a b >”是“22a b >”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分且不必要条件
D.既不充分也不必要条件
4．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫+>< ⎝=⎪⎭的部分图象如图所示，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值为（ ）
A.
C.2
D.-5．设0,2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos tan 1sin βαβ=
-，则
A.2αβπ-=
B.2
C.22π
αβ-= D.22π
αβ+=
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]2.13-=-， []3.13=，已知函数
()121123
x x f x +=-+，则函数[()]y f x =的值域是 A.{}0,1
B.{}1,1-
C.{}1,0-
D.{}1,0,1-
7．在下列区间中函数3()232x f x x =-
+的零点所在的区间为（） A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.()1,2 8．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=
A.{}1,0,1,2-
B.{}2,1,0,1--
C.{}0,1
D.{}1,0-
9．设{}{}{}1
234512145U A B ===，，，，，，，，，，则U A B ⋃（ ）
A.{}1
B.{}2
C.{}123，，
D.{}1
245，，， 10．已知角α的终边在第三象限，则点(tan ,cos )P αα在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝
⎭的部分图像如图所示，BC x ∥轴，则ω=_________，ϕ=_________
12．已知圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是__．(请填写：相切、相交、相离)
13．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且3log (1),0()(),0x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩，则[(8)]g f -=___________ 14．已知幂函数的图象经过点，那么α=___________.
15．已知0,0x y >>，且2x y +=，则21y x y
+的最小值为____________. 三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．我们知道，指数函数()x
f x a =（0a >，且1a ≠）与对数函数()lo
g a g x x =（0a >，且1a ≠）互为反函数.已知函数()2x
f x =，其反函数为()
g x . （1）求函数()()()2
23F x g x tg x =-+⎡⎤⎣⎦，[]2,8x ∈的最小值； （2）对于函数()x ϕ，若定义域内存在实数0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则称()x ϕ为“L 函数”.已知函数
()()()223,1,3,1f x mf x x h x x ⎧⎡⎤--≥-⎪⎣
⎦=⎨-<-⎪⎩
为其定义域上的“L 函数”，求实数m 的取值范围. 17．已知函数22()cos sin 32f x x x x =-+
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）求函数()f x 图象的对称中心的坐标和对称轴方程
18．函数2()22f x x x =--
（1）当[2,2]x ∈-时，求函数()f x 的值域；
（2）当[,1]x t t ∈+时，求函数()f x 的最小值
19．化简计算：
（1）计算：()623
01log 10334++2log 2log 3639.60.189-⎛⎫---⎪⎝- ⎭； （2）化简：9sin()cos sin 22cos(+)sin(3)tan(2)
ππααααππαπα⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅-⋅-
20．已知函数()121
x a f x =++为奇函数. （1）求实数a 的值，并用定义证明()f x 是R 上的增函数；
（2）若关于t 的不等式22
(2)(2)0f t t f t k -+-<的解集非空，求实数k 的取值范围. 21．已知0a >，函数()2
f x ax bx c =++. （1）若()f x 有两个零点(),αβαβ<，且()f x 的最小值为4a -，当102
a <≤
时，判断函数()()22g x ax b x c =+-+在(),αβ上的单调性，并说明理由； （2）设2b a =，记()h t 为集合(){}
()11f x t x t t -≤≤+∈R 中元素的最大者与最小者之差.若对t ∀∈R ，()2h t a a >-恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、B
【解析】由题中表格可知函数在()0,∞+上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，逐一判断，选择与实际数据接近的函数得选项.
【详解】解：由题中表格可知函数在()0,∞+上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，
对于A ，函数22y x =-是线性增加的函数，与表中的数据增加趋势不符合，故A 不正确；
对于C ，函数2log y x =，当2log 4,42x y ===，与表中数据7.5的误差很大，不符合要求，故C 不正确；
对于D ，函数x y e =，当3203,y x e =≈=，与表中数据4.04的误差很大，不符合要求，故D 不正确；
对于B ，当()2121 1.522,x y ==
-=，与表中数据1.51接近， 当()213142
3,x y =-==，与表中数据4.04接近， 当()21417.52
4,x y ==-=，与表中数据7.51接近， 所以，B 选项的函数是最接近实际的一个函数，
故选：B
2、C 【解析】根据条件可知当2x >时，()f x 为增函数，在()g x 在(]
2-∞，
为增函数，且()23g ≤，结合各选项进行分析判断即可 【详解】当2x >时，()f x 为增函数，则()g x 在(]
2-∞，上为增函数，且()22213g ≤-=， A .()21x g x =+在(]
2-∞，上为增函数，()253g =>，故不符合条件； B .()()ln 3g x x =-为减函数，故不符合条件；
C .()g x 在(]2-∞，
上为增函数，()23g =，故符合条件； D .12x g x
为减函数，故不符合条件． 故选：C ．
3、A
【解析】解指数不等式和对数不等式，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义，可得答案
【详解】“22a b >”⇔“a b >”，
“22log log a b >”⇔ “0a b >>”，
“0a b >>”是“a b >”的充分而不必要条件，
故“22log log a b >”是“22a b >”的的充分而不必要条件，
故选：A
4、C
【解析】由函数()f x 的部分图象得到函数()f x 的最小正周期，求出ω，代入7,212π⎛- ⎝求出ϕ值，则函数()f x
的解析式可求，取4x π
=可得4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值. 【详解】由图象可得函数()f x 的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
=⨯，则22T πω==.
又777212126f π
ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
， 则7262
k ππϕπ+=-，k Z ∈，则523k πϕπ=-，k Z ∈，
22π
π
ϕ-<<，则1k =，3π
ϕ=，则()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
42332f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选：C.
【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求A 、()()max min
:2f x f x b A -=，()()max min
2f x f x b +=；
（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2T πω=
； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.
5、C
【解析】1cos tan sin βαβ
=-， 则sin cos 1cos sin αβαβ
=-，即sin sin ?cos ?sin cos ααβαβ-= ()sin cos ?sin ?cos cos 2cos sin πααβαβαβα⎛⎫∴=+=-=- ⎪⎝⎭
02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，，02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，1cos tan sin βαβ=- 022ππα⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭
，
22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
，，2παβα∴-=- 即22παβ-=
故选C
点睛：本题主要考查了切化弦及两角和的余弦公式的应用，在遇到含有正弦、余弦及正切的运算时可以将正切转化为正弦及余弦，然后化简计算，本题还运用了两角和的余弦公式并结合诱导公式化简，注意题目中的取值范围 6、D 【解析】化简函数()1215215,12331233x x x f x +⎛⎫=-=-∈- ⎪++⎝⎭
，根据[]x 表示不超过x 的最大整数，可得结果. 【详解】函数()1215215,12331233x x x f x +⎛⎫=-=-∈- ⎪++⎝⎭
， 当()103
f x -<<时，()1y f x ==-⎡⎤⎣⎦； 当()01f x ≤<时，()0y f x ==⎡⎤⎣⎦；
当()513
f x ≤<时，()1y f x ==⎡⎤⎣⎦， ∴函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是{}1,0,1-，故选D.
【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
7、A
【解析】根据解析式判断函数单调性，再结合零点存在定理，即可判断零点所处区间. 【详解】因为32,32x y x y =-
=是单调增函数，故()f x 是单调增函数，至多一个零点，
又()11100,0222f f ⎛⎫=-
= ⎪⎝⎭
，故()f x 的零点所在的区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A.
8、A
【解析】{}{|12},1,0,1,2A x x A B =-≤≤∴⋂=-，选A.
【考点定位】集合的基本运算.
9、C
【解析】先由补集的概念得到
U B ，再由并集的概念得到结果即可 【详解】根据题意得
{}U 23B =，，则{}U 123A B ⋃=，， 故选：C
10、D 【解析】根据角的终边所在象限，确定其正切值和余弦值的符号，即可得出结果.
【详解】角α的终边在第三象限，则tan 0α>，cos 0α<，点P 在第四象限
故选：D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、 ①.2 ②.3
π##60︒ 【解析】根据最低点的坐标和函数的零点，可以求出周期，进而可以求出ω的值，再把最低点的坐标代入函数解析式中，最后求出ϕ的值.
【详解】通过函数的图象可知，
点B 、C 的中点为7(,1)12
π-，与它隔一个零点是3π， 设函数的最小正周期为T ，则1
74123T T πππ=
-⇒=， 而202T ππωωω==>∴=，，，把7(,1)12
π-代入函数解析式中， 得775sin(2)12221212223
3k k πππππϕϕππϕϕϕπ⋅+=-⇒⋅+=-⇒<∴==-. 故答案为：2ω=；3
πϕ= 12、相交
【解析】求得()()22
126x y -++=的圆心到直线250x y +-=的距离，与圆的半径比较大小，即可得出结论.
【详解】圆()()22126x y -++=的圆心为()1,2-，
圆心到直线250x y +-==
所以直线和圆相交，故答案为相交.
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用判别式来解答.
13、1-
【解析】先由已知条件求出()g x 的函数关系式，也就是当0x <时的函数关系式，再求得(8)2f -=-，然后求[(8)](2)g f g -=-的值即可
【详解】解：当0x <时，0x ->，
∴3()log (1)f x x -=-+，
∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
∴3()log (1)f x x -=-+，
∴3()log (1)(0)f x x x =--+<，即3()log (1)(0)g x x x =--+<
由题意得3(8)(8)log 92f f -=-=-=-，
∴3[(8)](2)log [(2)1]1g f g -=-=---+=-
故答案为：1-
【点睛】此题考查了分段函数求值，考查了奇函数的性质，属于基础题.
14、3 【解析】根据幂函数的图象经过点，由求解. 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以
， 解得
， 故答案
：3 15、52
##2.5 【解析】将21y x y +变形为21221222
x y y y y x x y x y x y +=+=+++，利用基本不等式求得答案. 【详解】由题意得：212212152222222
y y y x y x x y x y x y x y x y +=+=++≥⋅=+， 当且仅当42,33x y =
=时取得等号， 故答案为：52
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）答案见解析
（2）[)1,∞-+
【解析】（1）利用换元法令2log ,[1,3]p x p =∈，可得所求为关于p 的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，即可得答案.
（2）根据题意，分别讨论在[1,1]-、(,1)-∞-和(1,)+∞上存在实数0x ，满足题意，根据所给方程，代入计算，结合函数单调性，分析即可得答案.
【小问1详解】
由题意得2()log g x x =
所以()()()()22
2223log 2log 3F x g x tg x x t x =-+=-+⎡⎤⎣⎦，[]2,8x ∈， 令2log ,[1,3]p x p =∈，设2()23,[1,3]M p p tp p =-+∈
则()M p 为开口向上，对称轴为p t =的抛物线，
当1t ≤时，()M p 在[1,3]上为单调递增函数，
所以()M p 的最小值为(1)42M t =-；
当13t <<时，()M p 在(1,)t 上单调递减，在(,3)t 上单调递增， 所以()M p 的最小值为2()3M t t =-；
当3t ≥时，()M p 在[1,3]上为单调递减函数，
所以()M p 的最小值为(3)126M t =-；
综上，当1t ≤时，()F x 的最小值为42t -，
当13t <<时，()F x 的最小值为23t -，
当3t ≥时，()F x 的最小值为126t -
【小问2详解】
①设在[1,1]-上存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，
则0000114234230x x x x m m +--+-⋅-+-⋅-=，
令0022x x t -=+，则2t ≥=，当且仅当00x =时取等号，
又0[1,1]x ∈-，
所以1
1
5222t -≤+=，即52,2t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 所以00001124234232260x x x x m m t mt +--+-⋅-+-⋅-=---=，
所以28471,2220t t m t t -⎡⎤
==-∈--⎢⎥⎣⎦
所以71,20m ⎡⎤
∈--⎢⎥⎣⎦
②设
(,1)-∞-存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，
则00134230x x m --+-+-⋅-=，即001232x x m --=-⋅有解， 因为1
2
32x x y --=-⋅在(,1)-∞-上单调递减，
所以12
m >-
， 同理当在(1,)+∞存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-时，解得12
m >-， 所以实数m 的取值范围[)1,∞-+
【点睛】解题的关键是理解新定义，并根据所给定义，代入计算，结合函数单调性及函数存在性思想，进行求解，属难题
17、（1）增区间为,,3
6k k k π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦Z ，减区间为2,,63k k k ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦Z （2）对称中心的坐标为,0,212k k ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭
Z ；对称轴方程为,26k k x ππ+=∈Z 【解析】（1）将函数转化为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，利用正弦函数的单调性求解；
（2）利用正弦函数的对称性求解； 【小问1详解】
解：由()cos 222sin 26f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭.
令222,2
6
2
k x k k π
π
π
ππ-
≤+
+
∈Z ，
解得,3
6
k x k k π
π
ππ-≤≤+
∈Z ，
令3222,2
6
2
k x k k π
π
π
ππ+
≤+
≤+
∈Z ， 解得2,6
3
k x k k π
π
ππ+
≤≤+
∈Z ， 故函数()f x 的增区间为,,3
6k k k π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z ，
减区间为2,,6
3k k k π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z ； 【小问2详解】 令2,6
x k k π
π+
=∈Z ，解得,212
k x k ππ
=
-∈Z ， 可得函数()f x 图象的对称中心的坐标为,0,212k k ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭
Z ， 令2,6
2
x k k π
π
π+
=+
∈Z ，解得,26k k x ππ
+=
∈Z ， 可得函数()f x 图象的对称轴方程为,26
k k x ππ
+=∈Z 18、（1）[]3,6- （2）答案见解析
【解析】（1）化简函数()2
()13f x x =--，结合二次函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据函数的解析式，分0t ≤，01t <<和1t ≥，三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】
解：由题意，函数()2
2()2213f x x x x =--=--，
可得函数()f x 在[]2,1-上单调递减，在[]
1
2，上单调递增， 所以函数()f x 在区间[]22-,
上的最大值为(2)6f -=，最小值为(1)3f -=-， 综上函数()f x 在上的值域为[]3,6-. 【小问2详解】
解：①当0t ≤时，函数在区间[]
,1t t +上单调递减，最小值为2
(1)3f t t +=-；
②当01t <<时，函数在区间[],1t 上单调递减， 在区间[]1,+1t 上单调递增，最小值为(1)3f =-；
③当1t ≥时，函数在区间[]
,1t t +上单调递增，最小值为2
()22f t t t =--，
综上可得：当0t ≤时，函数()f x 的最小值为23t -；当01t <<，函数()f x 的最小值为3-；当1t ≥时，函数()f x 的最小值为222t t --.
19、（1）
134
（2）cos α
【解析】（1）根据指数运算法则、对数运算法则求得结果. （2）利用诱导公式化简，结合同角商数关系即可求解. 【详解】（1）()623
01
log 10334++2log 2log 3639.60.189-⎛⎫
---⎪⎝- ⎭
2
31
3
232714++log 2log 1101098-⎛⎫⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎭⎝⎭
--⎝
23
33
31109++log 41042⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎛⎫-⨯- ⎝⎝⎝
⎪⎭⎪⎭⎭
2
3+l 912og 3⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
+9
4
21=
- 134
=
； （2）9sin()cos sin 22cos(+)sin(3)tan(2)
ππααααππαπα⎛⎫⎛⎫
-⋅+⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅-⋅-
()()()()()
sin sin sin 42cos sin 2tan π
ααπααππαα⎡⎤⎛⎫-⋅-⋅+-
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=
⎡⎤-⋅+-⋅-⎣⎦ ()()
sin sin cos (cos )sin tan ααα
ααα-⋅-⋅=
-⋅⋅-
sin tan α
α
=
sin sin cos ααα
=
cos α=.
20、（1）2a =-，证明见解析；（2）1
(,)3
-+∞.
【解析】（1）由函数奇偶性的性质，求得2a =-，再利用函数的单调性的定义与判定方法，即可()f x 是R 上的增函数；
（2）由函数()f x 为奇函数，且在R 上单调递增，把不等式转化为2320t t k --<在R 上有解，结合二次函数的性质，
即可求解.
【详解】（1）因为()f x 定义在R 上的奇函数，可得x R ∀∈，都有()()f x f x -=-， 令0x =，可得0(0)110212
a a
f =+
=+=+，解得2a =-， 所以221()12121x x x f x -=-=++，此时满足2121
()()2121
x x x x f x f x -----==-=-++，
所以函数()f x 是奇函数，所以2a =-. 任取12,x x R ∈，且12x x <，则1222x x <，
因为121
22121
122(22)2222()()(1)(1)021212121(21)(21)
x x x x x x x x f x f x --=---=-=<++++++， 即12()()f x f x <，所以()f x 是R 上的增函数.
（2）因为()f x 为奇函数，且22
(2)(2)0f t t f t k -+-<的解集非空，
可得22
(2)(2)f t t f k t -<-的解集非空，
又因为()f x 在R 上单调递增，所以2222t t k t -<-的解集非空， 即2320t t k
--<在R 上有解，则满足2
(2)43()0k ∆=--⨯⨯->，解得13
k >-，
所以实数k 的取值范围1(,)3
-+∞. .
21、（1）函数()g x 在区间(),αβ上是单调递减，理由见解析 （2）()0,2
【解析】（1）运用单调性的定义去判断或者根据函数本身的性质去判断即可；
（2）区间与二次函数的对称轴比较，从而的情况中分类讨论，而后得到()h t 的解析式，通过函数解析式求出最小值，再解不等式即可. 【小问1详解】
方法1：因为()2
22
424b ac b f x ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++
⎪⎝⎭， 由题意得2
444ac b a a
-=-，即22416b ac a -=，
所以()2
=0f x ax bx c =++时，
即22
222224416=0=424244b ac b b b ac a a x x a a a a a --⎛⎫⎛⎫++⇒+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 所以22b a α=-
-，22b
a
β=-+， 对于任意()12,,x x αβ∈设12x x <，所以()()()1212122b g x g x a x x x x a -⎛
⎫
-=-++
⎪⎝
⎭
， 因为1222242b b x x a a β⎛⎫+<=-+=-+ ⎪⎝⎭
，又1
02a <≤，
所以12224402
b b b a
x x a a a ---++
<-++=+≤ 而120x x -<，所以()()()12121220b g x g x a x x x x a -⎛
⎫
-=-++> ⎪⎝
⎭
，所以()()12g x g x >， 所以函数()g x 在区间(),αβ上是单调递减的.
方法2：因为()2
22
424b ac b f x ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++
⎪⎝⎭， 由题意得2
444ac b a a
-=-，即22416b ac a -=，
所以()2
=0f x ax bx c =++时，
即22
222224416=0=424244b ac b b b ac a a x x a a a a a --⎛⎫⎛⎫++⇒+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 所以22b a α=-
-，22b
a
β=-+， 因为()()2
2g x ax b x c =+-+，所以函数()g x 图像的对称轴方程为2122b b
x a a a
-=-=-， 因为1
02a <≤
，所以11202b a a a β-
-=-≥，即12b a a
β-≥， 所以函数()g x 在(),αβ上是单调递减的. 【小问2详解】
设()(){}(){}
max min h t f x f x =-，[]1,1x t t ∈-+， 因为函数()f x 对称轴为12b
x a
=-
=-， ①当11t +≤-即2t ≤-时，()f x 在[]1,1t t -+上单调递减，
()()()1144h t f t f t at a =--+=--， ②当()()1111111t t t t -≤-<+⎧⎨---≥+--⎩
即21t -<≤-时，
()()()211h t f t f at =---=，
③当()()1111111t t t t -≤-<+⎧⎨+-->---⎩
即10t -<≤时，
()()()()2
112h t f t f a t =+--=+，
④当11t -<-即0t >时，()f x 在[]1,1t t -+上单调递增，
()()()1144h t f t f t at a =+--=+， 综上可得：()(
)22
44,2
,212,1044,0at a t at t h t a t t at a t --≤-⎧⎪-<≤-⎪
=⎨+-<≤⎪⎪+>⎩
可知()h t 在(],1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增， 所以()h t 最小值为()1h a -=，
对t ∀∈R ，()2
h t a a >-恒成立，只需2a a a >-即可，解得02a <<，
0,2.所以a的取值范围是()。