1--概率与频率
高中数学北师大版 必修一 频率与概率 课件
合 作 探
很大时，可以将事件 A 发生的频率mn 作为事件 A 的概率的近似值．
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
21
[跟进训练]
自 主
2．某书业公司对本公司某教辅材料的写作风格进行了
5
次“读
课 堂
预
小
习 者问卷调查”，结果如下：
结
·
探
提
新 知
被调查人数 n
1 001 1 000 1 004 1 003 1 000
合
作
课
探 个具体的事件．
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
17
·
自
[跟进训练]
课
主
堂
预
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷 1 000 次，那么第 小
习
结
·
探 新
999 次出现正面朝上的概率是(
)
提 素
知
养
合 作
A．9199
B．1
1 000
C．1909090
D．12
课
探
时
究
D [抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第 999 次，有两种结果：
·
探 新
＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过
300
瓶的概率的估计值为
提 素
知
养
0.6.
合
作
(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，
探
课 时
究
分
释
若最高气温不低于 25，则 Y＝6×450－4×450＝900；
数学上“频率”与“概率”的关系？
数学上“频率”与“概率”的关系？我是中考数学当百荟，从事初中数学教学三⼗多年。
说到“频率”与“概率”的关系，⾸先要了解初中数学中基本的统计思想：⽤样本估计总体，⽤频率估计概率；其次，要知道数学试验的统计量：频率=频数/总次数。
频率是通过试验得到的统计量，⽽概率是通过建⽴数学模型，计算得到的理论值。
在⼀定的情况下，可以⽤频率去估计（代替）事件发⽣的概率。
⼀。
⽤样本估计总体统计中，通常通过调查的⽅式获取相关的统计量。
调查通常有两种⽅式：普查和抽样调查。
⽐如：第六次全国⼈⼝普查（2010年11⽉1⽇），就是在国家统⼀规定的时间内，按照统⼀的⽅法、统⼀的项⽬、统⼀的调查表和统⼀的标准时点，对全国⼈⼝普遍地、逐户逐⼈地进⾏的⼀次性调查登记。
这次⼈⼝普查登记的全国总⼈⼝为1,339,724,852⼈这个数据采⽤的就是普查⽅式得到的。
⽽国家统计局每季度发布的居民⼈均可⽀配收⼊、居民消费价格指数、调查失业率等统计指标，是采⽤抽样调查⽅式获取的。
当统计的总体容量很⼤，调查耗时费⼒，调查成本巨⼤或者试验具有破坏性时，不宜采⽤普查⽅式，就要⽤抽样的⽅式来进⾏统计，然后⽤样本的统计量，去估计总体统计量。
这种统计思想就叫做⽤样本估计总体。
⽐如：某照明企业⽣产⼀批LED灯泡，为统计这批LED灯泡的使⽤寿命，采⽤哪种调查⽅式⽐较适合呢？因为要了解LED的使⽤寿命，按试验要求，就必须将LED灯泡变成“长明灯”，⼀直点亮直⾄⾃然熄灭（寿终正寝）。
这样试验是具有破坏性的，显然不能⽤普查⽅式，只能采⽤抽样的⽅式来进⾏。
从这批LED灯泡中，随机抽取50只灯泡作为⼀个样本，通过试验得到这个样本的平均使⽤寿命为3000⼩时，然后我们就说该企业的这批LED灯泡（总体）的使⽤寿命为3000⼩时。
⼆。
⽤频率估计概率俗话说，天有不测风云，⼈有旦⼣祸福。
这句话从数学的⾓度来理解就是，在⾃然界和⼈类社会中，严格确定的事件是⼗分有限的，⽽随机事件却是⼗分普遍的，概率就是对随机事件的⼀种数学的定量描述。
频率与概率知识点总结
频率与概率知识点总结频率与概率是概率论中非常重要的概念，它们在统计学、数据分析、风险管理等领域都有着广泛的应用。
本文将对频率与概率的概念、性质、常见计算方法以及应用进行全面的总结。
一、频率的概念频率是指某一事件在一定时间或次数内发生的次数。
频率通常由次数除以总数得到，可以用来描述某一事件出现的概率大小。
频率的计算通常使用简单的数学方法，适用于各种具体的事件。
频率的性质1. 频率的取值范围为[0, 1]。
因为频率是事件发生的次数与总数的比值，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 频率的和为1。
在多次实验中，各个事件的频率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 频率与事件的发生次数成正比。
频率是事件的发生次数与总数的比值，所以事件发生的次数增加时，其频率也会增加。
频率的计算方法频率的计算通常使用下面的公式：频率 = 事件发生的次数 / 总数频率的应用频率广泛应用于统计学、数据分析、市场调研等领域。
通过对样本进行频率统计，可以得到样本中各个事件发生的概率大小，从而为决策提供参考依据。
二、概率的概念概率是描述某一事件发生可能性的数值，表示事件发生的可能性大小。
概率的分析通常使用概率分布、基本概率、条件概率等方法，适用于各种抽样实验、随机变量等概率事件。
概率的性质1. 概率的取值范围为[0, 1]。
因为概率是事件发生的可能性大小，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 概率的和为1。
在多个互斥事件的情况下，各个事件的概率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 概率与频率有关。
概率也可以用频率表示，即概率等于事件发生的频率。
在多次实验中，事件的频率趋于稳定时，可用频率代替概率。
概率的计算方法概率的计算通常使用下面的公式：概率 = 事件发生的次数 / 总数概率的应用概率广泛应用于统计学、概率论、数据分析、风险管理等领域。
通过对概率的分析，可以评估各种事件发生的可能性大小，为风险管理、模型建立、决策制定等提供参考依据。
频率与概率(1)频率与概率的关系
正面朝上的频率稳定在0.5附近
P（正面朝上)=
1 2
在 掷 硬 币
8 随堂练习P159
再“玩”一把
用实际行动来证明 我能行
六个同学组成一个小组,根据原来的试验分别 汇总其中两人,三人,四人,五人,六人的试验数 据,相应得到试验60次,90次,120次,150次,180 次时两张牌的牌面数字和等于2的频率,并绘制 相应的统计图表.能据此估计两张牌的牌面数字 和等于2的概率大约是多少吗? 两张牌的牌面数字和等于2的理论概率等于1/4.
2,3,4
(2)每人做30次试验,依次记录每次摸得的牌面数字,并根 据试验结果填写下表:
牌面数字和 频数 2 3 4
驶向胜利 的彼岸
频率
做一做
5
是“玩家”就玩有用的
探索频率与概率的关系
(3)根据上表,制作相应的频数分布直方图. (4)你认为哪种情况的频率最大? (5)两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少? (6)六个同学组成一个小组,分别汇总其中两人,三人, 四人,五人,六人的试验数据,相应得到试验60次,90 次,120次,150次,180次时两张牌的牌面数字和等于3的 频率,并填写下表,并绘制相应的频数分布直方图.
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考 3
频率与概率知几何
普查,总体,个体,样本, 抽查,频数,频率
普查 为了一定的目的,而对考察对象进行全面的调查,称 为普查; 总体,个体 所要考察对象的全体,称为总体,而组成总体的 每一个考察对象称为个体; 抽样调查,样本 从总体中抽取部分个体进行调查,这种调 查称为抽样调查;其中,从总体中抽取的一部分个体叫做总 体的一个样本;
小结
拓展
回味无穷
频率与概率的关系 当试验次数很大时,一个事件发生 频率也稳定在相应的概率附近. 因此,我们可以通过多次试验, 用一个事件发生的频率来估计这 一事件发生的概率.
概率与频率的关系
概率与频率的关系
一、概念
1.频率：每个对象出现的次数与总次数的比值。
统计定义：在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n(A)称为事件A发生的频数。
比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A).
2.概率:表示某一事件发生的可能性大小的这个数，叫做概率.
一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是稳定在某个常数p附近摆动，我们就用这个常数来表示事件A发生的可能性大小，并称这个常数为事件A的概率，记作P(A)，即P(A)=p, 0≤P(A)≤1.
二、区别与联系
1.联系：
⑴事件的频率与概率是度量事件出现可能性大小的两个统计特征数；
⑵当试验次数无限增大时，事件发生的频率会逐渐稳定于概率附近，概率的值可能是频率的某个具体值，也可能不是频率的具体的某个值；
⑶频率具有稳定性，概率具有确定性.
2.区别：
⑴频率反映了随机事件发生的频繁程度；概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
⑵频率具有随机性，是近似值，能近似地反映事件出现可能性的大小；概率是理论值，是由事件的本质所决定的，它能精确地反映事件发生可能性的大小。
2012.2.22。
§6-1-1频率与概率(1)频率和概率的关系(liushuling )
(1,5) (1,6) (2,5) (2,6) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
概率的综合应用：
3.有长度分别为2cm，2cm，4cm，5cm的小棒 各一根，放在不透明的纸盒中，每次从中任 意取一根小棒（不放回），取了三次，取得 的三根小棒恰好能构成一个三角形的概率是 多少？
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
3
4 5 6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4)(6,5) (6,6)
(2) 取3枚硬币：在第一枚的正面贴上 红色标签，反面贴上蓝色；在第二枚的正 面贴上蓝色标签，反面贴上黄色；在第三 枚的正面贴上黄色标签，反面贴上红色， 同时抛三枚硬币，落地后颜色各不相同的 机会有多大？
概率是 2/3 ； （2）随机从中摸出一球，记录下颜色后 放回袋中，充分混合后再随机摸出一球， 两次都摸到红球的概率为 ； （3）随机从中一次摸出两个球，两球 均为红球的概率是 。
（2）随机从中摸出一球，记录下颜色后 放回袋中，充分混合后再随机摸出一球， 两次都摸到红球的概率为 4/9 ；
红球 红球 红球 红球 兰球 兰球 1 2 3 4 5 6
2一般地，不确定事件发生的可能性 是有大小的。 表示方式一：
1（或100%） 必然事件发生的可能性:_______________ 不可能事件发生的可能性:____________ 用0来表示 不确定事件发生的可能性是 大于0小于1的 。
表示方式二：
用线段图可表示为：
0
不可能 发生
½(50%)
明白了
懂得了
合作交流的重要性
频率与概率的区别
频率与概率的区别这是频率与概率的区别，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
频率与概率的区别第1篇频率和概率虽然都有个“率”，但是物理意义几乎完全不相同。
它们都有“率”字完全是汉字的巧合。
在英语里面，前者是frequency，后者是probability。
频率一般是大概统计数据经验值,概率是系统固有的准确值，频率是近似值,概率是准确值。
1)频率：（英语：Frequency）是单位时间内某事件重复发生的次数。
在n次重复试验中，事件A发生了m(A)次，则称：m(A)/n 为事件A发生的频率。
2)概率：它反映随机事件出现的可能性大小的量度。
随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。
设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。
经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数。
该常数即为事件A出现的概率，常用P (A) 表示。
频率与概率的区别第2篇概率是一个稳定的数值，也就是某件事发生或不发生的概率是多少。
频率是在一定数量的某件事情上面，发生的数与总数的比值。
频率是有限次数的试验所得的结果，概率是频数无限大时对应的频率。
概率和频率有什么区别和联系联系与区别1、他们都是统计系统各元件发生的可能性大小；2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值；3、频率是近似值，概率是准确值；4、频率值一般容易得到，所以一般用来代替概率。
频率与概率的区别第3篇他们都是统计系统各元件发生的可能性大小；频率一般是大概统计数据经验值,概率是系统固有的准确值；频率是近似值,概率是准确值；频率值一般容易得到,所以一般用来代替概率进行定量分析，首先要知道系统各元件发生故障的频率或概率。
频率和概率的区别与联系知识拓展概率是度量偶然事件发生可能性的数值。
假如经过多次重复试验(用X代表)，偶然事件(用A代表)出现了若干次(用Y代表)。
简述概率和频率的关系
简述概率和频率的关系概率和频率是概率统计学中两个重要的概念，它们之间有着密切的关系。
概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数来表示。
在概率论中，我们可以通过定义一个概率空间来描述随机试验的所有可能结果及其对应的概率。
这样，我们就可以对随机试验中不同事件发生的可能性进行量化和比较。
概率可以帮助我们预测事件的发生概率，从而做出相应的决策。
频率是指某个事件在多次试验中出现的次数。
在统计学中，我们通常通过实验的重复运行来观察事件发生的频率，并用频率来估计概率。
频率是对概率的一种近似估计，当试验次数足够大时，频率会逐渐接近概率。
这是因为随着试验次数的增加，事件发生的频率会趋于稳定，逐渐接近事件的真实概率。
概率和频率之间的关系可以通过大数定律来解释。
大数定律是概率论中的一个重要原理，它指出当独立重复实验次数趋于无穷大时，事件发生的频率将趋于事件的概率。
也就是说，当我们进行足够多次的试验时，事件发生的频率会逐渐接近事件的概率值。
举个例子来说明概率和频率的关系。
假设我们抛掷一枚公平硬币，事件A表示出现正面的情况。
根据概率的定义，硬币出现正面的概率为0.5。
如果我们进行100次抛硬币的实验，记录下出现正面的次数，那么事件A的频率就是正面出现的次数除以总的实验次数。
当试验次数足够大时，事件A的频率会逐渐接近0.5，即事件A的概率。
概率和频率的关系也可以从另一个角度来理解。
概率是一种理论上的概念，是对事件发生可能性的一种度量。
而频率是通过实际观察和实验获得的数据，是对概率的一种估计。
通过频率的观察和统计，我们可以验证和检验概率的理论结果，从而增加对事件发生模式和规律的认识。
总结起来，概率是描述事件发生可能性的理论概念，而频率是通过实验观察到的事件发生次数。
概率和频率之间的关系可以用大数定律来解释，即当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐接近事件的概率。
概率和频率相辅相成，互相验证和补充，共同构成了概率统计学的基础。
频率的稳定性-频率与概率
案例二：电力系统中的频率稳定性问题
电力系统中的频率稳定性问题
在电力系统中，频率的稳定性对于保证电力系统的稳定运行至关重要。频率不稳定会导致电力系统的负荷波动， 严重时甚至可能导致系统崩溃。
解决电力系统频率稳定性问题的方法
解决电力系统中的频率稳定性问题需要从多个方面入手，如优化电源配置、进行负荷管理、采用稳定的控制系统 等。
条件概率
一个事件发生的概率，在另一个事件 已经发生的情况下。
期望值
随机变量的平均值，或期望值，通常 表示为E(X)。
方差
衡量随机变量偏离其期望值的程度。
CHAPTER 03
频率稳定性的影响因素
系统因素
设备稳定性
设备的稳定性和可靠性对频率稳 定性有重要影响。设备故障或异 常运行可能会导致频率波动，影
案例三：运动状态的频率稳定性研究
运动状态下的频率稳定性研究
对于运动状态下的系统，如机械振动、电磁振荡等，频率的稳定性是保证系统稳定运行的关键。
提高运动状态下的频率稳定性的方法
提高运动状态下的频率稳定性需要从多个方面入手，如优化机械结构设计、选择合适的材料、进行动 态调整等。
案例四：工业生产过程中的频率稳定性控制
频率稳定性案例分析
案例一：通信系统的频率稳定性优化
频率稳定性在通信系统中的重要性
在通信系统中，频率的稳定性直接影响到信号的传输质量和速度。频率不稳定 会导致信号失真、传输错误等问题，从而影响通信质量。
频率稳定性优化的方法
为了提高通信系统的频率稳定性，可以采用多种方法，如采用高精度的频率源 、进行频率校准、采用稳定的传输介质等。
要点一
工业生产过程中的频率稳定性控 制
在工业生产过程中，尤其是化工、制药等领域，生产过程 中对于温度、压力、流量等参数的频率稳定性要求较高。
概率论与数理统计课件：1-2 概率论的基本概念 频率和概率
古典概型问题中，样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。
练习1.4.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。 提示：这里有两种构造样本空间的形式， ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ② 以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。
概率P (B – A) 的值。பைடு நூலகம்
解。分析：由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。
(1) A、B互不相容即 AB = ，得到 P (B – A ) = 0.5；
(2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2；
频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。
4
概率的频率定义
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。
然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。
16
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示事件至少有一个男孩,以H表示某个孩子 是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
i 1
《频率与概率》课件
参考资料
书籍和教材
- 《概率论与数理统计》——郑晓龙 - 《统计学基础》——康建文
课程网站链接
- 大数据分析与应用——机器学习 - 概率与统计——斯坦福大学公开课
其他相关学习资源
- Coursera《Probabilistic Graphical Models》 - Khan Academy Statistics and probability
概率分布
1
随机变量的定义和特征
随机变量通常用来描述随机事件中的数值特征。例如，投掷一枚硬币多次，计算正面 向上的有两种可能结果的试验，例如抛硬币或投篮命中。
3
正态分布
正态分布适用于连续变量的随机事件，例如身高或体重分布。
4
泊松分布
泊松分布适用于估计在一段时间内某事件发生的次数，例如地震发生的次数。
案例分析
本章讲述实际的案例，包括投资组合、医疗保 健和市场营销的例子。
结论
1 频率是概率的估计量
当试验次数足够大时，频率可以用来估计概率。但是，频率只是概率的近似值，并不等 于概率。
2 概率和统计学密切相关
概率和统计学的基本概念广泛应用于科学、工程和行业中的决策和预测。
3 课程总结
本门课程希望能帮助你掌握概率和频率的基本概念，并了解它们在实际生活中的应用。 希望您能在今后的生活和工作中灵活运用它们。
频率
定义和计算
频率是某一事件在多次试验中出现的次数除以总的试验次数。频率越高，意味着事件发生的 可能性越大。
作为概率的估计量
当试验次数足够大时，频率可以作为概率的估计量。但是，频率只是概率的一种估计，而不 是实际的概率值。
样本均值和频率的关系
样本均值是多次试验中所有结果的平均值。当试验次数趋近于无穷时，样本均值将趋近于概 率。
初中数学 频率和概率之间有什么关系
初中数学频率和概率之间有什么关系频率和概率是统计学中两个相关但不完全相同的概念。
它们之间的关系可以通过大数定律来解释。
下面我们详细介绍频率和概率之间的关系。
频率是指某个事件在一定条件下重复出现的次数。
通过观察和统计事件发生的次数，我们可以得到频率。
频率是通过实验数据来计算的，是实际观测到的相对频数。
概率是指某个事件在理论上发生的可能性大小。
概率是一个理论上的数值，表示某个事件发生的可能性。
概率是基于某种假设或模型来计算的，是一种推断或估计。
频率和概率之间的关系可以通过大数定律来理解。
大数定律是统计学中的一个重要定律，它指出当实验次数足够多时，频率会逐渐接近概率。
也就是说，当实验次数足够多时，频率的平均值会趋近于概率的理论值。
大数定律的数学表达如下：lim(n→∞) P(|频率-概率| < ε) = 1其中，n表示实验次数，ε表示一个很小的正数。
这个定律表明，当实验次数足够多时，频率与概率之间的差异会趋于很小，几乎可以认为它们相等。
举个例子来说明频率和概率之间的关系。
假设我们要计算投掷一个骰子出现数字6的概率。
我们进行了100次实验，记录下骰子出现数字6的次数为20次。
那么频率为20/100=0.2。
根据大数定律，当实验次数足够多时，频率会逐渐接近概率。
也就是说，当我们进行足够多次的实验时，骰子出现数字6的频率会逐渐接近真实的概率。
因此，通过频率我们可以估计出概率的大小。
需要注意的是，频率是通过实验数据来计算的，具有一定的随机性，而概率是一个理论上的数值，不受具体实验数据的影响。
因此，在实际应用中，我们通常会根据频率来估计概率的大小，但不能认为频率就等于概率。
频率只是一种用来近似概率的方法，而概率是一个理论上的数值。
简述概率和频率的关系(一)
简述概率和频率的关系(一)
简述概率和频率的关系
1. 概率和频率的定义
•概率指的是某一事件在大量重复试验中发生的可能性或可能出现的结果。
•频率指的是某一事件在实际观察中的出现次数或出现的相对比例。
2. 概率与频率的关系
•概率和频率的基本关系：概率和频率是有着密切关系的，两者在一定条件下是可以相互靠近的。
•大数定律：根据大数定律的原理，当试验次数趋近于无穷大时，频率会无限接近概率。
换言之，当试验次数足够多时，频率会逐渐收敛于概率。
3. 概率与频率的解释和说明
•频率的解释和说明：频率是通过实际观察得到的结果，是一种直接可观察和统计的数据。
通过统计实验的结果，我们可
以计算出频率。
•概率的解释和说明：概率则是从理论上对某一事件发生的可能性进行估计和计算。
概率可以通过推理、模型、公式等
方式得出。
•概率和频率之间的关系：概率是对频率的理论估计和计算，而频率则是实际观察到的结果。
通过大数定律，我们可以认为频率是概率的一个近似值，概率可以通过频率来进行验证。
•应用概率和频率的场景：在实际问题中，我们往往通过频率来验证概率的正确性。
例如，在赌博游戏中，我们可以根据理论上的概率来计算赢钱的可能性，然后通过实际的试验和观察来验证我们的计算是否准确。
总结
概率和频率是统计学中两个重要的概念，它们描述了事件发生的可能性和实际观察到的结果。
概率是对事件理论上可能发生的估计，而频率是通过实际观察和统计得到的结果。
通过大数定律，我们可以认为频率逐渐收敛于概率。
在实际应用中，我们常常通过频率来验证概率的准确性。
《频率与概率》概率 PPT教学课件
乙击中 10 环的次数(m) 8 19 44 93 177 453
乙击中 10 环的频率(mn ) 0.8 0.95 0.88 0.93 0.885 0.906
(2)由(1)中的数据可知两名运动员击中 10 环的频率都集中在 0.9 附近，所以预测两人
在奥运会上击中 10 环的概率均约为 0.9，也就是说甲、乙两人的实力相当．
必修第二册·人教数学A版
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[自主检测] 1．某人将一枚硬币连续抛掷了 10 次，正面朝上的情形出现了 6 次，则( ) A．正面朝上的概率为 0.6 B．正面朝上的频率为 0.6 C．正面朝上的频率为 6 D．正面朝上的频率接近于 0.6
解析：160＝0.6 是此次试验正面朝上的频率而不是概率． 答案：B
必修第二册·人教数学A版
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1．给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为 0.05，则从中任取 200 件，必有 10 件是次品； ②做 100 次抛硬币的试验，结果 51 次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 15010； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果 18 次，则出现 1 点的频率是590. 其中正确命题为________(填序号)．
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[解析] 频率是不能脱离试验次数的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次 数的理论值，故②③不正确．①④显然正确．
[答案] A
必修第二册·人教数学A版
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频率是事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值，利用此公式可求出它们的频 率．频率本身是随机变量，当 n 很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳 定值就是概率．
高中数学频率与概率
况出现了8次,若用A表示“正面朝上”这一事件,则A
的( )
A.概率为 4
5
C.频率为8
B.频率为 4
5
D.概率接近于8
2.下面是某批乒乓球质量检查结果表:
抽取球数 50 优等品数 45
优等品出 现的频率
100 200 500 1000 2000 92 194 470 954 1902
(1)在上表中填上优等品出现的频率. (2)中常常用随机事件发生的概率来估 计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产 品中不合格产品的数量等.
【习练·破】某中学为了了解高中部学生的某项行为 规范的养成情况,在校门口按系统抽样的方法:每2分钟 随机抽取一名学生,登记佩戴胸卡的学生的名字.结 果,150名学生中有60名佩戴胸卡.第二次检查,调查了 高中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该 中学高中部一共有多少名学生.
C.任意取定10 000个标准班,其中大约9 700个班A发生 D.随着抽取的标准班数n不断增大,A发生的频率逐渐稳 定在0.97,在它附近摆动
【思维·引】 抓住事件的概率是在大量试验基础上得到,它只反映事 件发生的可能性大小来判断.
【解析】1.选D.一对夫妇生两小孩可能是(男,男),(男, 女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是 说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可 能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不 正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能 性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1, 所以C不正确,D正确.
提示:概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大 小,概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规 律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.
《概率论与数理统计》1-123(频率与概率)
某一事件发生
它包含的一个样本点出现
三、事件间的关系及其运算
试验E S(样本空间) 事件A 必然事件 S 基本事件
不可能事件
A(子集) 样本点
1.事件的关系
① 包含、相等关系 A发生必然导致B发生
AB
称事件A包含于B或B包含A.
文氏图(Venn图)
A与B相等 ，记为A=B
例1: 产品有长度、直径、外观三个质量指标，
②(有﹏放﹏回﹏选﹏取﹏)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依 次排成一列，称为可重复排列，排列数记
例 将三封信投入4个信箱，问在下列情形下各有几种 投法？ ⑴ 每个信箱至多允许投入一封信。 ⑵ 每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解：⑴ 无重复排列:
⑵ 可重复排列:
Ⅳ. 组合 从n个元素中每次取出r个元素，构成一组，称为从n个 元素里每次取出r个元素的组合。 组合数为 或 几个常用性质：
两两互不相容。
证明 由三公理中的可列可加性，令
则由性质1可得 所以下式成立
如果
则
①
≤
②
，0≤
≤1
(加法公式) 推广：
P11
例1 (天气问题) 某人外出旅游两天，据天气预报知： 第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3， 两天都下雨的概率为0.1 试求下列事件的概率： (1) 第一天下雨，第二天不下雨; (2) 第一天不下雨，第二天下雨; (3) 至少有一天下雨; (4) 两天都不下雨; (5) 至少有一天不下雨
解：设A、B分别表示第一、二天下雨 则 (1) (2) (3) (4) (5)
例2 (订报问题) 在某城市中，共发行三种报纸A，B，
C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，
1.1频率与概率
普查年份 1953
总人口/万 59 435
男/万 30 799
女/万 28 636
性别比（以女性为100） 107.55
1964
69 458
35 652
33 806
105.46
1982
100 818
51 944
48 874
106.28
1990
113 368
58 495
54 873
106.60
2000
990 993 994 101 1 022 811 964 573 934 663 5 865 874
513 654 514 765 528 072 496 986 482 431 3 032 452
频率m/n 0.518 0.518 0.518 0.516 0.515 0.516 0.517
我国历次人口普查总人口性别构成情况，它们 与拉普拉斯得到的结果非常接近.
（重点、难点） 3.会列重复试验的结果.
为了研究这个问题，2013年北京市某学校高 一（5）班的学生做了如下试验：
在相同条件下大量重复掷一枚图钉，观察出 现“钉尖朝上”的频率的变化情况如图:
频率
1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00
投掷次数 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130
0.518 1 0.506 9 0.497 9 0.500 5 0.498 2
我们可以设想有1 000人抛掷硬币，如果每人抛5 次，计算每个人抛出正面的频率，在这1 000个频率中， 一般来说，0，0.2，0.4，0.6，0.8，1都会有,而且会 有不少是0或1.
频率和概率的异同
频率和概率的异同
频率和概率是研究随机事件发生的可能性大小常用的特征量，它们既有区别也有联系.随机事件A发生的频率，是指在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律.在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率.由此可见，频率是概率的近似值，随着试验次数的增多，频率会越来越接近于概率，概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性.
频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，但频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率.概率是由大量数据统计后得出的结论，是一种大的整体趋势.概率是一个确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关.
例如，掷一枚硬币，正面和反面出现的概率相等，都是，这是经过上百万次试验取得的理论数据.某人只掷20次，正面出现的频率为，反面出现的频
率仅为. 若就此下结论，出现正面的可能性一定大于出现反面的可能性就不对了.
再比如，对某品牌乒乓球质量抽查，得到如下数据：
在上述抽查试验中可以看出，当抽取的乒乓球个数较少时，优等品的频率波动较大，但当抽取的球数很大时，频率基本上稳定在0.95，在其附近摆动，所以可认为该品牌的乒乓球优等品的概率是0.95.
由此可见，概率和频率的关系是整体和具体、理论和实践、战略和战术的关系，频率随着随机事件发生次数的增加，会趋向于概率，这是求一个事件概率的最基本的方法.
概率的统计定义是用频率表示的，但它又不同于频率的定义，只是用频率来估算概率.频率是试验值，有不确定性，而概率是稳定值.。
频率与概率的概念与计算
频率与概率的概念与计算频率与概率是概率论中重要的概念，用来描述事件发生的可能性。
本文将对频率与概率的概念进行解释，并介绍如何进行频率和概率的计算。
1. 频率的概念频率是指某个事件在一定时间内发生的次数与总观测次数的比值。
频率通常用来近似估计概率，并可以通过大量观测数据进行计算。
频率的计算公式如下：频率 = 事件发生次数 / 总观测次数2. 概率的概念概率是指某个事件发生的可能性，它介于0和1之间。
概率可以通过理论计算，也可以通过频率进行估计。
概率的计算公式如下：概率 = 事件发生次数 / 总观测次数3. 频率与概率的关系频率与概率之间存在着密切的关系。
当观测次数趋近于无穷大时，频率将逐渐接近真实的概率。
因此，频率可以作为概率的估计值。
然而，频率并不总是能够准确地估计概率，尤其在观测次数较少的情况下。
4. 频率与概率的计算例子为了更好地理解频率和概率的计算，我们来看一个实际的例子。
假设某个硬币被投掷100次，其中正面朝上的次数为60次。
我们可以用频率和概率来计算正面朝上的概率。
首先，通过频率计算：频率 = 60 / 100 = 0.6然后，通过概率计算：概率 = 60 / 100 = 0.6可以看到，通过频率和概率的计算，我们得出的结果是一样的。
这表明，在这个例子中，频率可以准确地估计概率。
5. 概率的计算方法除了通过频率进行估计外，我们还可以使用数学方法来计算概率。
根据概率论的基本原理，我们可以使用以下方法进行概率的计算：- 古典概率法：适用于各个结果的概率相等的情况。
例如，抛一枚均匀的骰子，每个面出现的概率都是1/6。
- 几何概率法：适用于连续性的随机事件。
例如，计算某个点落在一个区域内的概率。
- 统计概率法：根据大量的观测数据来估计概率。
6. 概率的性质概率具有以下几个重要的性质：- 概率的取值范围为0到1之间。
- 所有可能结果的概率之和等于1。
- 对于互斥事件，其概率之和等于各个事件概率的和。
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一步实验概率的计算
2、摸牌游戏：
例1、从一副牌中随手抽出一张，
（1）求摸出的是红桃2的概率 （2）求摸出的是红桃的概率
一步实验概率的计算
3、掷硬币游戏
4、掷毂子游戏：
例1、掷出一个质地均匀，六面分别标有1、 2、3、4、5、6的正方体毂子 （1）数字6朝上的概率 （2）偶数朝上的概率 （3）不小于3的数朝上的概率
事件的分类：确定事件和不确定事件 确定事件：结果唯一 （1）必然事件：P=1 （2）不可能事件：P=0 不确定事件：---可能性大小（概率）--理论 ---频率与频数--------------实践
频数、频率与概率 1、频数：在试验中，某一事件出现的次数
频数 2、频率：频数与总次数的比值 频率 总次数
一步实验概率的计算
5、转盘游戏
白 白 色 色 白 红 色 色
例1、如图，转动转盘，
求指针指向红色区域的概率
例2、如图，一只小猫跳向该区域，求小 猫跳在红色区域的概率
3、概率：在试验中某一事件出现的可能性
注意 （1）频数、频率是试验数据，而概率是理论数据 （2）可以用频率估计概率（试验次数较多时） （3）试验活动中，事件概率的独立性
频数、频率与概率 1、释义：明天70%要下雨 2、在抛掷一个两面标有“正、反”的硬币， （1）正面朝上的概率是多少？
（2）若第一次抛掷过程中，正面朝上，那 么第二次呢？若前面10次都是正面朝上，那 么第11次正面朝上的概率是多少？请说明理 由
一步实验概率的计算
1、摸球游戏：例1、把4个白球和5个红球放入
一个不透明的箱子中摇匀，然后摸出一球，
（1）求摸出红球的概率
（2）摸出是黑球的概率是多少
（3）要想摸到白球的概率为2/3，应放白球 多少 2、从一个装有120个球的箱子里一次摸出 20个球，发现有5个黄球，你能判断箱子中 黄球大约有多少个吗？