辽宁省四校联考2025届高三数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

辽宁省四校联考2025届高三数学第一学期期末学业水平测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点1F 是抛物线C ：2
2x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，
切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．
62
2
- B ．21-
C ．
62
2
+ D ．21+
2．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：2
4y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m =+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．
1
4
B ．
15
C ．
13
D ．
18
3．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A ．
18
B ．
17
C ．
16
D ．
15
4．已知函数()ln 1f x x =+，()12
2x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ） A ．1ln 22
+
B ．2e -
C ．1ln 22
-
D 12
e 5．已知函数
f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2
B ．﹣1
C ．2
D ．4
6．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A ．1
B ．
43
C ．3
D ．4
7．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ） A ．3)
B ．(3,2)
C ．(5,0)
D ．(4,1)
8．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．己知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点,M N 分别在抛物线C 上，且30MF NF +=，直线MN 交l 于点P ，NN l '⊥，垂足为N '，若MN P '∆的面积为3F 到l 的距离为（ ） A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
10．已知双曲线2222:1x y a b
Γ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的
面积为3Γ的离心率为（ ）
A ．2
B 23
C ．
73
D 21 11．已知变量的几组取值如下表：
x
1 2 3 4 y
2.4 4.3 5.3
7
若y 与x 线性相关，且ˆ0.8y
x a =+，则实数a =（ ） A ．
7
4
B ．
114
C ．
94
D ．
134
12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1
x g x e --=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=．(,1,2,i k k ≤=3,,1)n -，若{}n a 是等比数列，
数列{}n a 的通项公式n a =_______．
14．已知集合{1,2,4}A =，{
}
2
|20B x x x =-<，则A
B =__________．
15．下图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为_______．
16．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos b B a C c A =+，若ABC 外接圆的半径为23
3
，则ABC 面积的最大值是______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABCD ，如图2.
（1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ； （2）求点D 到平面PAB 的距离.
18．（12分）山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的
3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级。

参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.
举例说明.
某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：
设该同学化学科的转换等级分为，，求得.
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.
（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.
（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；
（ii）求物理原始分在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.
（附：若随机变量，则，，
）
19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD ＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D﹣AP﹣C 6
，求PF的长度．
20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>经过点(0,2)A -
（1）求椭圆M 的方程；
（2）经过点(0,1)E 且斜率存在的直线l 交椭圆于,Q N 两点，点B 与点Q 关于坐标原点对称．连接,AB AN ．求证：存在实数λ，使得AN AB k k λ=成立． 21．（12分）已知函数2
()52ln f x x x x =-+. （1）求()f x 的极值；
（2）若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：121x x +>. 22．（10分）已知函数1()x
x
f x e
--=，
（1）证明：()f x 在区间(0,1)单调递减；
（2）证明：对任意的(0,1)x ∈有11x
x x e x e ---<-<．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1
1）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 【详解】
直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -
，F 1（0，2p ），F 2（0，2
p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx +p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，
∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：22
22y x a b
-=1，
丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨==，
2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（ 1）p ，
2c ＝p ，
∴离心率e
c a ===1， 故选：D ． 【点睛】
本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题． 2、D 【解析】
设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值； 【详解】
解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x
=+⎧⎨=⎩，得2
440y my m --=，
∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.
又由24x my y x
=⎧⎨=⎩，得2
40y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ，
∵||3||BD OA =， ∴)
()()
2
2
4212(191616m
y y m m +-=+，
又∵()()2
2
212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18
m =. 故选：D 【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 3、D 【解析】
试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16
,剩余部分体积是正方体体积的5
6,所以截
去部分体积与剩余部分体积的比值为
,故选D.
考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 4、A 【解析】
分析：设()()f m g n t ==，则0t >，把,m n 用t 表示，然后令()h t m n =-，由导数求得()h t 的最小值．
详解：设()()f m g n t ==，则0t >，1t m e -=，11
ln
ln ln 2222
t n t =+=-+， ∴11ln ln 22t m n e t --=-+-，令1
1()ln ln 22
t h t e t -=-+-，
则11'()t h t e t -=-，1
21"()0t h t e t
-=+>，∴'()h t 是(0,)+∞上的增函数，
又'(1)0h =，∴当(0,1)t ∈时，'()0h t <，当(1,)t ∈+∞时，'()0h t >， 即()h t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()h 1是极小值也是最小值，
1(1)ln 22
h =
+，∴m n -的最小值是1
ln 22+．
故选A ．
点睛：本题易错选B ，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求b a -的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数()h t 的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错． 5、C 【解析】
根据对称性即可求出答案． 【详解】
解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．
6、A 【解析】
采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果. 【详解】
根据三视图可知：该几何体为三棱锥 如图
该几何体为三棱锥A BCD -，长度如上图
所以111121,11222
MBD DEC BCN S S S ∆∆∆==⨯⨯==⨯⨯= 所以3
222
BCD MBD DEC BCN S S S S ∆∆∆∆=⨯---=
所以1
13
A BCD BCD V S AN -∆=⋅⋅=
故选：A 【点睛】
本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等；对本题可以利用长方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题. 7、D 【解析】
依题意，设z a bi =+，由|3|2z -=，得2
2
(3)4a b -+=，再一一验证.
【详解】 设z a bi =+， 因为|3|2z -=，
所以22
(3)4a b -+=，
经验证(4,1)M 不满足， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题. 8、B 【解析】
先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 【详解】
解不等式327x <可得3x <，
解绝对值不等式||3x <可得33x -<<， 由于{|33}-<<x x 为{|3}x x <的子集，
据此可知“327x <”是“||3x <”的必要不充分条件． 故选：B 【点睛】
本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题. 9、D 【解析】
作MM l '⊥，垂足为M '，过点N 作NG MM '⊥，垂足为G ，设(0)NF m m =>，则3MF m =，结合图形可
得2MG m =，||4MN m =，从而可求出60NMG ∠=︒，进而可求得6MP m =，N P '=，由MN P '∆的面
积1
2
△MN P S MM N P '''=⋅⋅=即可求出m ，再结合F 为线段MP 的中点，即可求出F 到l 的距离． 【详解】 如图所示，
作MM l '⊥，垂足为M '，设(0)NF m m =>，由30MF NF +=，得3MF m =，则3MM m '=，NN m '=.
过点N 作NG MM '⊥，垂足为G ，则M G m '
=，2MG m =， 所以在Rt MNG ∆中，2MG m =，||4MN m =，所以||1
cos ||2
MG GMN MN ∠==， 所以60NMG ∠=︒，在Rt PMM '∆中，||3MM m '=，所以6cos60
MM MP m '
==，
所以2NP m =，3N P m '=， 所以 11
3324322
MN P S MM N P m m '''=
⋅⋅=⋅=△4=m ， 因为||||||3||FP FN NP m FM =+==，所以F 为线段MP 的中点， 所以F 到l 的距离为||3622
MM m
p '===． 故选：D 【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题． 10、D 【解析】
由圆22
:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又12
2223AF F AOF S S
ab ∆===，由
此求出a 的值，利用离心率公式，求出e . 【详解】
由题意得2b =，1223AF F S ab ∆==
3a ∴=2221
13
b e a ∴=+=
.
故选：D. 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题. 11、B 【解析】
求出,x y ，把坐标(,)x y 代入方程可求得a ． 【详解】 据题意，得()()151191234, 2.4 4.3 5.374244x y =+++==+++=，所以1950.842a =⨯+，所以114
a =． 故选：B ． 【点睛】
本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点(,)x y 可计算参数值． 12、B 【解析】
由函数的性质可得：()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称，函数()1
x g x e
--=（13x -≤≤）的图像也关
于1x =对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称，则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4得解. 【详解】
由偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，
可得()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称， 函数()1
x g x e
--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，
函数()y f x =的图像与函数()1
x g x e
--=（13x -≤≤）的图像的位置关系如图所示，
可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称，
则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、12n - 【解析】
利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果. 【详解】
因为211a a a -=，所以212a a =，
因为{}n a 是等比数列，所以数列{}n a 的公比为1．
又1,1,2,3,
,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-（，
所以当i k =时，有12k k a a +=．
这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以12n n a ，
故答案为：12n -. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目. 14、{1} 【解析】
解一元二次不等式化简集合B ，再进行集合的交运算，即可得到答案. 【详解】
{|02}B x x =<<，{1,2,4}A =，
∴{1}A B ⋂=.
故答案为：{1}. 【点睛】
本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题. 15、1
【解析】
利用流程图，逐次进行运算，直到退出循环，得到输出值. 【详解】
第一次：x ＝4，y ＝11， 第二次：x ＝5，y ＝32，
第三次：x ＝1，y ＝14，此时14＞10×1＋3，输出x ，故输出x 的值为1． 故答案为：6. 【点睛】
本题主要考查程序框图的识别，“还原现场”是求解这类问题的良方，侧重考查逻辑推理的核心素养. 16
【解析】
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围(0,)B π∈可求B 的值，利用正弦定理可求b 的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求ac 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】 解：
2cos cos cos b B a C c A =+，
∴由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，
A B C π++=，
(sin s )in A C B ∴+=，
又
(0,)B π∈，sin 0B ∴≠，2cos 1B ∴=，即1
cos 2
B =
，可得：3B π=，
ABC
外接圆的半径为
3
，
2sin
2
b π
∴
=，解得2b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得22
4a c ac +-=，又222a c ac +，
2242a c ac ac ac ac ∴=+--=（当且仅当a c =时取等号）
，即ac 最大值为4， ABC ∴
面积的最大值为1
4sin 2
B ⨯=
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应
用，考查了转化思想，属于中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析（2）3
2
【解析】
（1）由题意可证得PE AB ⊥，AB BE ⊥，所以AB ⊥平面PBE ，则平面PAB ⊥平面PBE 可证；
（2）解法一：利用等体积法由P ADB D APB V V --=可求出点D 到平面PAB 的距离；解法二：由条件知点D 到平面PAB 的距离等于点E 到平面PAB 的距离，过点E 作PB 的垂线，垂足F ，证明EF ⊥平面PAB ，计算出EF 即可. 【详解】
解法一：（1）依题意知，因为CE BE ⊥，所以PE BE ⊥.
又平面PBE ⊥平面ABCD ，平面PBE ⋂平面ABCD BE =，PE ⊂平面PBE ， 所以PE ⊥平面ABCD . 又AB
平面ABCD ，
所以PE AB ⊥.
由已知，BCD ∆是等边三角形，且E 为CD 的中点，所以BE CD ⊥. 因为//AB CD ，所以AB BE ⊥. 又PE BE E ⋂=，所以AB ⊥平面PBE . 又AB
平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBE .
（2）在ABD 中，2AB AD ==，60BAD ∠=︒，所以3ABD S ∆=由（1）知，PE ⊥平面ABD ，且1PE =， 所以三棱锥P ABD -的体积13
313V ==
. 在Rt PBE ∆中，1PE =，3BE =
，得2PB =，
由（1）知，AB ⊥平面PBE ，所以AB PB ⊥， 所以2ABP S ∆=，
设点D 到平面PAB 的距离d ， 则三棱锥E PAB -的体积13233
V d '=⨯⨯=
，得3
2d =. 解法二：（1）同解法一； （2）因为//DE AB ，AB 平面PAB ，DE ⊄平面PAB ，
所以//DE 平面PAB .
所以点E 到平面PAB 的距离等于点D 到平面PAB 的距离. 过点E 作PB 的垂线，垂足F ，即EF PB ⊥.
由（1）知，平面PAB ⊥平面PBE ，平面PAB ⋂平面PBE PB =，EF ⊂平面PBE ， 所以EF ⊥平面PAB ，即EF 为点D 到平面PAB 的距离. 由（1）知，PE BE ⊥， 在Rt PBE ∆中，1PE =，3BE =
，得2PB =.
又PE BE PB EF ⨯=⨯，所以3
2
EF =
. 所以点D 到平面PAB 的距离为32
. 【点睛】
本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点到平面的距离一般可采用两种方法求解：①等体积法；②作(找)出点到平面的垂线段，进行计算即可. 18、 (1)（i ）83.;（ii ）272.(2)见解析. 【解析】
（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足
，结合正态分布的对称性即可求得
内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。

（2）根据各等级人数所占比例可知在区间内的概率为，由二项分布即可求得的分布列及各情况下的概率，结
合数学期望的公式即可求解。

【详解】
（1）（i ）设小明转换后的物理等级分为，
，
求得
.
小明转换后的物理成绩为83分；
（ii ）因为物理考试原始分基本服从正态分布，
所以
.
所以物理原始分在区间
的人数为
（人）； （2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，
随机抽取4人，则
.
，
，
，
，
.
的分布列为 0 1 2 3 4
数学期望.
【点睛】
本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题。

19、（1230
（22． 【解析】
（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则BE =（﹣1，0，2），CP =（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案.
（2）设FP FD λ=，0≤λ≤1，计算P （0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC 的法向量n =（1，﹣1，222λ
λ
-），平面ADF
的法向量m =（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案. 【详解】
（1）∵BAF ＝90°，∴AF ⊥AB ，
又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴AF ⊥平面ABCD ，又四边形ABCD 为矩形，
∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，P 是DF 的中点，
∴B （2，0，0），E （1，0，2），C （2，2，0），P （0，1，1）， BE =（﹣1，0，2）
，CP =（﹣2，﹣1，1）， 设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ， 则
cosθ5BE CP BE CP
⋅=
=
=⋅，
∴异面直线BE 与CP （2）A （0，0，0），C （2，2，0），F （0，0，2），D （0，2，0），
设P （a ，b ，c ），FP FD λ=，0≤λ≤1，即（a ，b ，c ﹣2）＝λ（0，2，﹣2）， 解得a ＝0，b ＝2λ，c ＝2﹣2λ，∴P （0，2λ，2﹣2λ）， AP =（0，2λ，2﹣2λ）
，AC =（2，2，0）， 设平面APC 的法向量n =（x ，y ，z ），
则()2220220n AP y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩
，取x ＝1，得n =（1，﹣1，222λλ-），
平面ADP 的法向量m =（
1，0，0）， ∵二面角D ﹣AP ﹣C ∴|cos m n ＜，＞
|
2(m n m n
⋅=
=
=⋅+ 解得1
2
λ=
，∴P （0
，1，1）， ∴PF 的长度|PF |==
【点睛】
本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
20、（1）22
164
x y +=（2）证明见解析
【解析】
（1）由点(0,2)A -可得2b =,由3
3
c e a =
=
,根据222a c b -=即可求解； （2）设直线l 的方程为1y kx =+,联立22116
4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22
(23)690k x kx ++-=,设1122(,),(,)Q x y N x y ,由韦达定
理可得121222
69
,2323k x x x x k k
+=-
=-++,再根据直线的斜率公式求得Q A AN k k ⋅；由点B 与点Q 关于原点对称,可设11(,)B x y --,可求得AQ AB k k ⋅,则
AQ AN
AN AB AQ AB
k k k k k k ⋅=⋅,即可求证. 【详解】
解:（1）由题意可知2b =,3
3
c e a ==
, 又222a c b -=,得6,2a c =
=所以椭圆M 的方程为22
164
x y +=
（2）证明:设直线l 的方程为1y kx =+，
联立22
1
16
4y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩,可得22(23)690k x kx ++-=,
设1122(,),(,)Q x y N x y , 则有1212
22
69
,2323k x x x x k k +=-=-++, 因为1212
22,AQ AN y y k k x x ++=
=, 所以2222121212Q 1212
223()92232A AN
y y k x x k x x k k k k k x x x x +++++⋅=⋅==+--=-,
又因为点B 与点Q 关于原点对称,所以11(,)B x y --,即11
2
AB y k x -+=
-, 则有21112111224AQ AB
y y y k k x x x +-+-⋅=⋅=--,由点Q 在椭圆22:164
x y C +=上,得2
211243y x -=,所以23AQ AB
k k ⋅=-, 所以2
323
AQ AN AN AB AQ AB k k k k k k ⋅-===⋅-,即3AN AB k k
=， 所以存在实数3λ=,使AN AB k k λ=成立 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程,考查直线的斜率公式的应用,考查运算能力. 21、（1）()f x 极大值为9
2ln 24
--；极小值为62ln 2-+；（2）见解析 【解析】
（1）对函数()f x 求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值; （2）构造函数1()()(1),0,
2F x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪
⎝⎭,求导并判断单调性可得()0F x <,从而()(1)f x f x <-在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立,再结合110,2x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
,()()()2111f x f x f x =<-,可得到211x x >-,即可证明结论成立. 【详解】
（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+,2(21)(2)()25(0)x x f x x x x x
'
--=-+
=>, 所以当10,(2,)2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>;当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,()0f x '<,
则()f x 的单调递增区间为10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
和(2,)+∞,单调递减区间为1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故()f x 的极大值为115
192ln 2ln 2242
24f ⎛⎫=-+=--
⎪
⎝⎭;()f x 的极小值为(2)4102ln 262ln 2f =-+=-+. （2）证明:由（1）知1231
022
x x x <<
<<<, 设函数1()()(1),0,
2F x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭
, 则()()()2
2
()52ln 1512ln 1F x x x x x x x ⎡⎤=-+----+-⎣⎦
,
2
(21)(2)(21)(1)2(21)()1(1)
x x x x x F x x x x x ---+-'=+=--,
则()0F x '>在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立,即()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增,
故1()2F x F ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
,
又1110222F f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则1()()(1)0,0,2F x f x f x x ⎛⎫
=--<∈ ⎪⎝⎭
, 即()(1)f x f x <-在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立.
因为110,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,所以()()111f x f x <-, 又()()21f x f x =,则()()211f x f x <-, 因为211,1,22x x ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭,且()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减, 所以211x x >-,故121x x +>. 【点睛】
本题考查函数的单调性与极值,考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键,属于难题. 22、（1）答案见解析．（2）答案见解析 【解析】
（1）利用复合函数求导求出()f x '，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）首先证1x x e --<，令()(1)x
g x e
x -=--，求导可得()g x 单调递增，由(0)0g =即可证出；再令
()ln(1)1x g x x x =-+
-，再利用导数可得()h x 单调递增，由()0h x >即可证出. 【详解】
（1）1
121()1(1)x f x e x --⎛⎫'=⋅- ⎪-⎝⎭
显然()0,1x ∈时，()0f x '<，故f 在(0,1)单调递减．
（2）首先证1x x e --<，令()(1)x g x e
x -=--， 则()10,(0,1)x g x e x -'=-+>∈
()g x 单调递增，且(0)0g =，所以()0,(0,1)g x x >∈ 再令()ln(1)1x g x x x
=-+-， 2
(0)0,()0,(0,1)(1)x h h x x x '==>∈- 所以()h x 单调递增((0,1)x ∈，即()0h x >，(0,1)x ∈ ∴ln(1),(0,1)1x x x x ->-
∈- 11,(0,1)x
x x e
x --⇒->∈ 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式，解题的关键掌握复合函数求导，属于难题.。