2021高三人教B数学教师用书：第1章 第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件
基础知识整合
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以错误!判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做错误!真命题，判断为假的语句叫做错误!假命题。

2．四种命题及其关系
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的错误!充分条件，q是p的错误!必要
条件
p是q的□，10充分不必要条件p⇒q且q⇒，/
p
p是q的错误!必要不充分条件p错误!q且q⇒p p是q的错误!充要条件p⇔q
p是q的错误!既不充分也不必要条件p错误!q且q错误!p
1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．（1）若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．
（2）若p是q的充分不必要条件，则¬q是¬p的充分不必要条件．
4．若A＝｛x｜p（x）}，B＝｛x｜q(x)｝，则
（1）若A⊆B,则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;
（3）若A＝B，则p是q的充要条件;
（4）若A B，则p是q的充分不必要条件;
（5)若A B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
1．（2019·江西南昌模拟）若集合A＝｛2,4}，B＝｛1,m2},则“A∩B＝｛4}”是“m＝2”的（)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案B
解析当m＝2时，有A∩B＝｛4}；若A∩B＝{4｝,则m2＝4，解得m＝±2,不能推出m＝2.故选B．
2．(2019·天津高考)设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1｜〈1"的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案B
解析由｜x－1|〈1可得0<x〈2，所以“|x－1｜<1的解集"是“0<x〈5的解集”的真子集．故“0〈x<5”是“|x－1|〈1”的必要而不充分条件．故选B．
3．原命题p：“设a，b，c∈R，若a>b,则ac2〉bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为（）A．0 B．1
C．2 D．4
答案C
解析当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为
“设a,b，c∈R,若ac2>bc2，则a>b”，它是真命题;由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．
4．（2019·湖南衡阳模拟）a〈0，b<0的一个必要条件为( ）A．a＋b<0 B．a－b>0
C．错误!〉1 D．错误!〈－1
答案A
解析若a<0，b〈0，则一定有a＋b<0，故选A．
5．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是________。

答案若x，y∈R,x2＋y2≠0，则x,y不全为0
解析根据命题“若p,则q”的否命题为“若¬p，则¬q”，其原命题的否命题是“若x,y∈R,x2＋y2≠0，则x，y不全为0”．6．已知p：x2－7x＋10<0，q：x2－4mx＋3m2〈0,其中m>0.若¬q是¬p的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________。

答案错误!≤m≤2
解析由¬q是¬p的充分不必要条件知p是q的充分不必要条件，又p：2〈x<5，q:m<x〈3m，
所以错误!即错误!≤m≤2。

核心考向突破
考向一四种命题及其相互关系
例1 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：
（1）末位数字是0的多位数一定是5的倍数；
（2）在△ABC中，若AB>AC，则∠C〉∠B；
（3）若x2－2x－3>0，则x〈－1或x>3。

解（1）原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数．
逆命题：若一个多位数是5的倍数,则它的末位数字是0。

否命题：若一个多位数的末位数字不是0,则它不是5的倍数．逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.
这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题．（2)逆命题：在△ABC中，若∠C>∠B,则AB>AC．
否命题：在△ABC中，若AB≤AC，则∠C≤∠B．
逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B,则AB≤AC．
这里，四种命题都是真命题．
（3）逆命题：若x<－1或x〉3,则x2－2x－3>0.
否命题:若x2－2x－3≤0,则－1≤x≤3.
逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0。

这里,四种命题都是真命题．
(1)写一个命题的其他三种命题时，不是“若p则q”形式的命题，需先改写．若命题有大前提，需保留大前提，本例（2）中，大前提“在△ABC中”需保留．
（2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．
（3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假"这一性质,当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
［即时训练] 1.给出下列四个命题：
①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等"的否命题；
③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根"的逆命题;
④“若A∪B＝A，则A⊆B"的逆否命题．
其中真命题的个数是( ）
A．1 B．2
C．3 D．4
答案A
解析①逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，是假命题；②否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题;③逆命题是“若x2＋2x＋c＝0有实根，则c≤1”，∵方程x2＋2x＋c＝0有实根，∴Δ＝4－4c≥0,∴c≤1，∴③是真命题；④∵若A∪B＝A，则B⊆A，∴“若A∪B＝A，则A⊆B"是假命题,∴其逆否命题也是假命题．故选A．
精准设计考向,多角度探究突破
考向二充分、必要条件的判
断
角度1 定义法判断充分、必要条件
例2 (2019·浙江高考）若a>0，b>0，则“a＋b≤4"是“ab≤4”的（)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案A
解析∵a〉0,b〉0，若a＋b≤4，∴2错误!≤a＋b≤4。

∴ab≤4，此时充分性成立．
当a〉0，b>0，ab≤4时,令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4，这与a ＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．
综上所述，当a〉0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．
角度2 集合法判断充分、必要条件
例3 （2018·天津高考)设x∈R，则“|x－错误!|<错误!”是“x3〈1"的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案A
解析|x－错误!|<错误!⇒0<x<1，x3<1⇒x<1，∵｛x|0<x<1}
｛x|x〈1}，∴｜x－1
2
|〈错误!是x3〈1的充分不必要条件．角度3 等价转化法判断充分、必要条件
例4 给定两个命题p，q.若¬p是q的必要不充分条件，则p 是¬q的( ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案A
解析因为¬p是q的必要不充分条件，则q⇒¬p但¬p错误!q，其逆否命题为p⇒¬q但¬q⇒，/ p，所以p是¬q的充分不必要条件．
充要条件的三种判断方法
（1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
（2）集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3）等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断,这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x＝1且y＝1"是“xy＝1”的何种条件．
[即时训练］2。

设条件p：a2＋a≠0，条件q：a≠0,那么p是q的（)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案A
解析条件p：a2＋a≠0，即a≠0且a≠－1。

故条件p:a2＋a≠0是条件q:a≠0的充分不必要条件．也可利用逆否命题的等价性解决．
3．设U为全集，A，B是集合,则“存在集合C使得A⊆C，B ⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案C
解析由Venn图易知充分性成立．反之,A∩B＝∅时,不妨取C ＝∁U B，此时A⊆C，故必要性成立．故选C．
4．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( ) A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案C
解析因为x＝y⇒cos x＝cos y,而cos x＝cos y错误!x＝y,所以“cos x＝cos y"是“x＝y"的必要不充分条件，即“x≠y”是“cos x≠cos y"的必要不充分条件．
考向三充分、必要条件的探求与应用
例5 （1)（2019·惠州二调)“不等式x2－x＋m〉0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( ）
A．m〉错误!B．0〈m<1
C．m>0 D．m〉1
答案C
解析不等式x2－x＋m〉0在R上恒成立⇔1－4m〈0，得m〉
错误!，在选项中只有“m〉0”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立"的必要不充分条件，故选C．
（2）已知“p：（x－m）2〉3（x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”
成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为（）
A．(－∞，－7）∪（1，＋∞）B．(－∞,－7]∪［1，＋∞)
C．（－7,1) D．[－7,1]
答案B
解析由(x－m）2>3(x－m)得x<m或x〉3＋m,所以p：x<m或x>3＋m；解x2＋3x－4〈0得－4〈x〈1,所以q：－4〈x<1.因为p是q的必要不充分条件，所以m≥1或m＋3≤－4，得m≥1或m≤－7。

故选B．
1．条件、结论的相对性
充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A是B的充分不必要条件”是指A⇒B但B⇒，/ A；“A 的充分不必要条件是B"是指B⇒A但A错误!B．以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．
2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法
（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组）求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象．
[即时训练］5。

(2019·广东江门模拟）若a，b都是正整数,则a＋b〉ab成立的充要条件是（）
A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1
C．a＝b＝2 D．a>1且b〉1
答案B
解析因为a＋b>ab，所以（a－1)（b－1)〈1。

因为a,b∈N*，所以(a－1)（b－1)∈N，所以（a－1）（b－1)＝0，所以a＝1或b＝1。

故选B．
6．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x〉a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p,则a的取值范围是（)
A．[1，＋∞) B．(－∞，1］
C．［－1，＋∞］D．（－∞，－3]
答案A
解析由x2＋2x－3〉0，得x〈－3或x〉1,由¬q的一个充分不必要条件是¬p，可知¬p是¬q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.故选A．。