珠海市2020届第一学期期末普通高中学生学业质量监测(数学)

珠海市2020届第一学期期末普通高中学生学业质量监测数 学（文科）时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．已知集合A={4<|2x x }，B={-1,0,1,2,3},则=B A IA ．{0,1,2}B ．{0,1}C ．{-1,0,1}D ．{-2,-1,0,1,2}2．已知i 是虚数单位，复数z 满足i zi+=-121，则=||z A ．25B ．223 C ．210D ．33．己知命题:p 任意4≥x ,都有2log 2≥x ;命题:q a >b ,则有以a 2>b 2，则下列命题为真命题的是 A ．q p ∧ B ．)(q p -∧ C ．)()(q p -∧- D ．qp ∨-)(4．某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生.为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取 A ．10名学生B ．11名学生C ．12名学生D ．无法确定5．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b , c , B b A a sin sin = ,则ABC ∆—定为 A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第5天和第6天共走了 A ．24 里B ．6 里C ．18 里D ．12 里7．已知,满足6,,3||,32||-===,则在上的投影为 A ．-2B ．-1C ．-3D ．28．双曲线C: 0)>b 0,>(12222a by a x =-的两条渐近线与圆1)2(22=+-y x 相切，则C 的离心率为A ．332 B ．3C ．2D ．29．函数112)(2-+=x x f x在区间[-4,4]附近的图象大致形状是A B C D10．已知3.02.032.0,3.0,3.0log ===c b a ，则A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a 11．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加每次加200元的燃油，则下列说法正确的是A ．采用第一种方案划算B ．采用第二种方案划算C ．两种方案一样D ．无法确定12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+=1,1211>,ln )(x x x x x f ,若)()(n f m f =，则||m n -的取值范围是A ．[e,3]B ．]3,2ln 24[-C ．]1,2ln 24[23--eD ．]3,2ln 22[-二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数2ln )(x x x f +=的图象在点（1，)1(f )处切线方程为 . 14．若32)15sin(=︒+α，则=︒+)105cos(α .15．函数)32sin()(π+=x x f 在区间]4,0[π的最小值为 . 16．在半径为2的球内有一个内三棱锥P-ABC ，点P ，A,B,C 都在球面上，且ABC ∆是边长为3的等边三角形，那么三棱锥P-ABC 体积的最大值为 .三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试 题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一）必考题17．(本小题满分12分）已知正项等差数列{n a }满足20,94352=⋅=+a a a a ,等比数列{n b }的前n 项和n S 满足c S n n -=2,其中c 是常数.(1)求c 以及数列{n a }、{n b }的通项公式； (2)设n n n b a c =，求数列{n c }的前n 项和n T ；18．(本小题满分12分)为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示:(1)根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；(2)请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关.参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-= ,其中d c b a n +++=.参考数据：19．(本小题满分12分）如图，四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB∥CD，AB⊥ BC， AB=2BC=2CD=2,SAD ∆为正三角形，点M 为线段AB 的中点.(1)证明：SM⊥ AD.(2)当时SM=1时，求点B 到平面SAD 的距离.20． (本小题满分12分）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过A(0，-1)、1)2B 两点， (1)求椭圆C 的方程； (2)设直线)0(,21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当m 取何值时，OPQ ∆的面积最大.21．(本小题满分12分） 已知函数]2,0[,sin )(π∈-=x x ax x f ，其中a 为常数.(1)若函数)(x f 在]2,0[π上是单调函数，求a 的取值范围；(2)当1≤a 时，证明：361)(x x f ≤.(二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．(本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的极坐标方程为：21)6sin(=-πθρ,曲线C 的参数方程为：ααα(sin 2cos 22⎩⎨⎧=+=y x 为参数）.(1)写出直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.23．(本小题满分10分） 已知|3||1|)(-+-=x x x f . (1)解关于x 的不等式4)(≤x f ;(2)若m m x f +2＞)(恒成立，求实数m 的取值范围.数学（文科）参考答案时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合{}{}241,0,1,2,3A x x B =<=-，，则A B =IA ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2-- 【答案】C.解析： {}{}21,0,1,2,3A x x B =-<<=-，2.则A B =I {}1,0,1-.2．已知i 是虚数单位，复数z 满足121ii z-=+，则z =A B C D 【答案】C.解析：()()1211213122i i i i z i -----===+，所以||z =. 3．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：b a >，则有22b a >．则下列命题为真命题的是A ．q p ∧B ．)(q p ⌝∧C ．)()(q p ⌝∧⌝D ．q p ∨⌝)(【答案】B.解析：p 为真命题；命题q 是假命题，比如当b a >>0或者取=12a b =-，时，则22b a > 不成立.4．某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生．为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取A ．10名学生B ．11名学生C ．12名学生D ．无法确定 【答案】A.解析：50016800n =男得10n =男.5．已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，sin sin a A b B =，则ABC ∆一定为A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】A.解析：由sin sin B a A b =结合正弦定理得，22a b =,从而a b =.6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了A ．24里B ．6里C ．18里D ．12里 【答案】C.解析：设第六天走了a 里，则第五天走了2a 里，…，依次下去，构成一个等比数列.所有路程之和为：6(12)37812a -=－，解得6a =，可知218a a +=.7．已知b a ρρ，满足32=a ρ，3=b ρ，6a b ⋅=-r r ,则a ρ在b r上的投影为A ．2-B ．1-C ．3-D ．2【答案】A.解析：a ρ在b ρ上的投影为236cos -=-=⋅=bb a a ρρρρθ. 8．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则C 的离心率为A ．3B C ．2 D 【答案】A.分析：数形结合可得，tan 30b a ==o，3c e a a =====，所以选A.9．函数22()11xf x x=-+在区间[4,4]-附近的图象大致形状是A B C D【答案】B.解析：22()11xf x x =-+过点()10，，可排除选项A ，D .又()20f <，排除C .10．已知30.20.3log 0.3,0.3,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a << 【答案】B.解析：3log 0.30a =<，由幂函数0.2y x =为()0,+∞上的增函数可知0.20.200.2.3> 又由指数函数0.2x y =为R 上的增函数可知0.30.200.2.20>>，所以a c b <<.11．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是A ．采用第一种方案划算B ．采用第二种方案划算C ．两种方案一样D ．无法确定 【答案】B.解析：任取其中两次加油，假设第一次的油价为m 元/升，第二次的油价为n 元/升．第一种方案的均价：mn nm n m ≥+=+2603030；第二种方案的均价：mn nm mnnm ≤+=+2200200400.所以无论油价如何变化，第二种都更划算．本题可以从以下角度思考：第一种方案是无论价格多少都加固定升数；而第二种相当于价格便宜时多加油，价格高时少加油.12．已知函数ln ,1()11,12x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若()()f m f n =，则n m -的取值范围是A ．[],3eB ．[]42ln 2,3-C ．3242ln 2,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦－ D ．[]22ln 2,3- 【答案】C.解析：法一：不妨设()()f m f n t ==，由题意可知，函数()y f x =的图象与直线y t =有两个交点，其中302t <≤，由()f m t =，即112m t +=，解得22m t =-， 由()f n t =，即ln n t =，解得t n e =， 记()22t g t n m e t =-=-+，其中302t <≤，()2t g t e '=-， ∴当0ln 2t <<时，()0g t '<，函数()g t 单调递减； 当3ln 22t <≤时，()0g t '>，函数()g t 单调递增. 所以函数()g t 的最小值为：ln 2(ln 2)e 2ln 2242ln 2g =-+=-；而0(0)e 23g =+=，323()e 132g =->，∴3242ln 2()e 1g t -≤≤-，即3242ln 2e 1n m -≤-≤-. 法二：数形结合，如图可将直线平移与曲线相切，利用导数求得切线，可得n m -最小值，而n m -最大值为0y =（取得到）或32y =（取不到）时.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数2ln )(x x x f +=的图象在点()1,(1)f 处切线方程为 ． 【答案】32y x =-. 解析：x xx f 21)(+='，则3)1(='f ，又1)1(=f ，则切线方程为23-=x y 14．若32)15sin(=+οα，则=+)105cos(οα___________． 【答案】23-.解析：32)15sin()9015cos()105cos(-=+-=++=+οοοοααα.15．函数π()sin(2)3f x x =+在区间[0,]4π的最小值为___________．【答案】12.解析：0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,132x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（），可知()f x 的最小值 为5π1()sin 62f x ⎛⎫==⎪⎝⎭. 16．在半径为2的球内有一个内三棱锥P ABC -，点,,,P A B C 都在球面上，且ABC ∆是边长为3的等边三角形，那么三棱锥P ABC -体积的最大值为_________．【答案】934. 解析：如图：233332CD =⨯⨯=. 在OCD ∆中，221OD OC CD =-=.三棱锥P ABC -体积的最大时，最长的高为3OD OP +=.1139333332P ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题 17．（本小题满分12分）已知正项等差数列{}n a 满足259a a +=，3420a a =g ，等比数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S c =-，其中c 是常数．（1）求c 以及数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：（1）Q 数列{}n a 为正项等差数列，∴公差0d >， 25349a a a a +=+=Q ，又3420a a =g ，34a ∴=，45a =，可得1d =，即可得1n a n =+； 2n n S c =-⋯Q ①当1n =时，12b c =-， 当2n …时，112n n S c --=-⋯②①-②即可得12n n b -=，2n …，又{}n b Q 为等比数列，01212b c ∴===-，即可得1c =，12n n b -∴=，*n N ∈；（2）由题意得1(1)2n n c n -=+，0112232(1)2n n T n -=++⋯++g g g ，⋯③ 112222(1)2n n n T n n -=+⋯+++g g g ，⋯④③-④可得：11212(12)2222(1)22(1)2212n n nn n n T n n n ----=+++⋯+-+=+-+=--g g g ．2n n T n ∴=g ．18．（本小题满分12分）为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：愿意购买该款手不愿意购买该款手总计机 机40岁以下 600 40岁以上 800 1000 总计 1200（1（2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20()P K k …0.100 0.050 0.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.828解：（1）40.05240.09640.071040.031440.01187.76⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝ 该款手机的平均使用时间为7.76年. （2）愿意购买该款手机不愿意购买该款手机 总计 40岁以下 400 600 1000 40岁以上 800 200 1000 总计 12008002000()222000400200600800333.310.828120080010001000K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯可知有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD ∆为正三角形，点M 为线段AB 的中点． （1）证明SM AD ⊥；（2）当1SM =时，求点B 到平面SAD 的距离．解：（1）取AD 的中点P ，连接SP 、MP ，由题意可知：1AM DM == ∴MP AD ⊥.Q SAD ∆为正三角形SP AD ∴⊥.又Q SP MP P =I ，SP ，MP ⊂面SMP ，AD ∴⊥面SMP .SM ∈Q 面SMP ，SM AD ∴⊥.（2）由题意可知DM AB ⊥，且1AM DM ==，AD ∴=，且1AM =，SA ∴=.又1SM AM ==Q ，SM AM ∴⊥.由（1）知SM AD ∴⊥，且AD AM A I ＝，AD AM ∈，面ABCD ， SM ∴⊥面ABCD ，三棱锥S ABD －的体积为1133S ABD ABD V S SM ==－， 设点B 到平面SAD 的距离为h ，则1133B SAD SAD V S h ===－，得h =20．（本小题满分12分）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过(0,1)A -、1)2B 两点，（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1:,(0)2l y x m m =+≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当m 取何值时，OPQ ∆的面积最大． 解：（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221x y m n+=，代入()0,1A -、12B ⎫⎪⎭两点得 ()222222101121m n n ⎧-+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭= 解得21n =，24m =得椭圆:C 2214x y +=. （2）将直线1:,(0)2l y x m m =+>代入2214x y +=得：221442x x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.整理得：222220x mx m ++-=.()()2222422840m m m ∆=--=->得m <<由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =－.12x x -===1212OPQ S m x x ∆=-== 由二次函数可知当21m =即1m =时，OPQ ∆的面积的最大．21．（本小题满分12分）已知函数()sin f x ax x =-，[0,]2x π∈，其中a 为常数． （1）若函数()f x 在[0,]2π上是单调函数，求a 的取值范围； （2）当1a ≤时，证明：31()6f x x ≤． 解：（1）求导得()cos f x a x '=-，[0,]2x π∈， ①当()f x 在[0,]2π上为单调递减函数时，即()cos 0f x a x '=-„恒成立， 又cos [0x ∈Q ，1]，(cos )0min a x ∴=„． ②当()f x 在[0,]2π上为单调递增函数时，即()cos 0f x a x '=-…恒成立， 又cos [0x ∈Q ，1]，(cos )1max a x ∴=…； 综上所述：()f x 在[0,]2π上为单调递减函数时，0a „； ()f x 在[0,]2π上为单调递增函数时，1a …． （2）证明：要证31()6f x x „，只需证31sin 06ax x x --„恒成立， 令31()sin 6g x ax x x =--，[0,]2x π∈，则21()cos 2g x a x x '=--， 令21()cos 2h x a x x =--，[0,]2x π∈，则()sin h x x x '=-. 易证当[0,]2x π∈时，sin x x „. ()0h x '∴<，即()h x 在[0,]2π上递减， ()(0)10h x h a ∴=-剟，即()0g x '„，()g x ∴在[0,]2π上递减，()(0)0g x g ∴=„即31sin 06ax x x --„，命题得证．（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的极坐标方程为：1sin()62πρθ-=，曲线C 的参数方程为：22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）． （1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解：（1）Q 直线l 的极坐标方程为：1sin()62πρθ-=，11cos )22ρθθ∴-=，∴1122y x -=，10x ∴+=． （2）根据曲线C 的参数方程为：22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）． 得：22(2)4x y -+=.它表示一个以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， 圆心到直线的距离为：32d =， ∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值37222+=．23．（本小题满分10分） 已知()13f x x x =-+-．（1）解关于x 的不等式()4f x ≤；（2）若2()f x m m >+恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）当3x ≥时，不等式()4f x ≤化为244x -≤，得4x ≤即34x ≤≤当13x <<时，不等式()4f x ≤化为24≤，成立，即13x <<当1x ≤时，不等式()4f x ≤化为424x -≤，得0x ≥即01x ≤≤综上所述：所求不等式的解集为{}|04x x ≤≤.（2）()13132f x x x x x =-+-≥--+= 若()2f x m m >+恒成立，则22m m >+. 解得21m -≤≤.{}|21m m -≤≤。