人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第4章 概率与统计 4.2.3 二项分布与超几何分布

C 33
P(X=0)=C 3
10
=
C 27 C 13
P(X=20)= C 3
10
1
C 17 C 23
,P(X=10)= C 3
120
10
=
63
120
=
=
21
120
21
C 37
,P(X=30)=
40
C 310
=
7
,
40
=
35
120
=
7
,
24
所以 X 的分布列为
X
0
10
20
30
P
1
120
7
40
21
40
7
(2)记随机变量X为A,B,C三名毕业生中通过招聘的人数,求X的分布列.
解
(1)记“A,B 两名毕业生中有且只有一名通过招聘”为事件 M.
A
1
通过招聘的概率为3
1
2
× =
1
,
6
B
1
通过招聘的概率为2
1
3
1
,
6
1
∴P(M)=
6
即 A,B
5
6
5
6
1
6
× =
× + × =
5
.
18
5
两名毕业生有且只有一名通过招聘的概率为18 .
物品中随机取出n件(n≤N),则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机
变量,X能取不小于t且不大于s的所有自然数,其中s是M与n中的较小者,t在n
不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0,否则t取n减乙类物品件数之差[即
t=n-(N-M)],而且P(X=k)=
C C-
-
C
,k=t,t+1,…,s,这里的X称为服从参
则
1 i 2 4-i
P(Ai)=C4 ( ) ( ) (i=0,1,2,3,4),
3 3
(1)这 4 人中恰有 1 人参加篮球社团的概率为
1 1 1 2 3 32
P(A1)=C4 ( ) ( ) = .
3 3
81
(2)由已知得 X 的所有可能取值为 0,2,4,
2 1 2 2 2 8
P(X=0)=C4 (3) (3) =27,
事件概率加法公式计算.
变式训练1某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了8次球,求下列事件的
概率:(1)恰有4次投中的概率为 0.136
;(2)至少有4次投中的概率为
0.942
;(3)至多有4次投中的概率为
0.194
.(结果保留三位小数)
解析 (1)某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了8次球,恰有4次投中的概
回).已知某同学A类试题中有7道题能答对,而他答对各道B类试题的概率
2
均为 3 .
(1)若该同学只抽取3道A类试题作答,设X表示该同学答这3道试题的总得
分,求X的分布列;
(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答,求他在这次竞赛中仅答对1道题
的概率.
解
(1)由题意知,随机变量 X 的值可能为 0,10,20,30,
探究点二
二项分布
【例2】 已知某单位招聘程序分两步:第一步是笔试,笔试合格才能进入第
二步面试;面试合格才算通过该单位的招聘.现有A,B,C三名毕业生应聘该
单位,假设A,B,C三名毕业生笔试合格的概率分别是
1 1 2
率分别是 2 , 3 , 3 .
1 1 1
, , ;面试合格的概
3 2 4
(1)求A,B两名毕业生中有且只有一名通过招聘的概率;
2 2 1
3人答对的概率分别为 , , ,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ
表示甲队的总得分.
3 3 2
(1)求随机变量ξ的分布列;
(2)用A表示“甲、乙两队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分
大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).
2
3, 3
解 (1)根据题设可知,ξ~B
P(ξ=k)=C3
P(ξ=0)=C30
P(ξ=1)=C31
×
2
3
×
2 3
1- 3
×
2
×
3
×
,故 ξ 的分布列为
2 3-
1- 3
,k=0,1,2,3.
=
1
,
27
2 2
13
=
P(ξ=2)=C32
P(ξ=3)=C33
×
2 2
3
×
2 3
3
2
13
×
=
8
.
27
2
,
9
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
1
27
2
9
4
9
8
27
=
4
,
9
(2)用C表示“甲队得2分,乙队得1分”这一事件,用D表示“甲队得3分,乙队得
24
(2)记“该同学仅答对 1 道题”为事件 M.
7
1 2 3
P(M)=10 ×(3) +10
×
C21
1
3
2
3
× × =
所以这次竞赛中该同学仅答对 1
19
.
90
19
道题的概率为 .
90
探究点四
概率的综合应用
【例4】 甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对
2
者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 3,乙队中
P(X≤1)等于( B )
3
A.4
5
B.7
4
C.5
7
D.8
C35
解析 根据题意,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=
C38
+
C25 C13
C38
=
10
30
+
56
56
=
5
.故选
7
B.
重难探究·能力素养速提升
探究点一
n次独立重复试验概率的求法
【例1】 [人教A版教材例题]将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求:
2 5 1 1 2 15
3 1 3 1
P(X=2)=C3 (6) (6) =216 ,P(X=3)=C3 (6) =216 ,
∴随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
125
216
75
216
15
216
1
216
规律方法
1.当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功
概率p.
2.解决二项分布问题的关键
次测试中恰有一次测到正品的概率是( C )
16
A.
25
48
B.
125
12
C.
125
4
D.
25
解析 由题意可知,三次测试中恰有一次测到正品,则有两次测到次品,故所求
事件的概率为C31
4 1 2 12
·5·(5) =125.故选
C.
知识点二 超几何分布
1.定义
一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M<N),从所有
过关自诊
1.盒中有4个白球,5个红球 、从中任取3个球,则恰好取出2个红球的概率
是( C )
37
A.
42
17
B.
42
10
C.
21
解析 设取出红球的个数为X,则X~H(9,3,5),
C25 C14
∴P(X=2)=
C39
=
10
.故选 C.
21
17
D.
21
2.有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件数,则
过关自诊
1
1.设随机变量X~B(6, ),则P(X=3)等于(
2
5
A.
16
3
B.
16
解析 由题意,随机变量
5
C.
8
1
X~B(6, ) 5
3 1 3
P(X=3)=C6 ( ) (1- ) = ,故选
2
2
16
A.
4
2.某电子管的正品率为 5
1
,次品率为 5 ,现对该批电子管进行测试,那么在三
重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,…,k,…,n},而且
k n-k
C
P(X=k)= p q
,k=0,1,…,n.
因此X的分布列如下表所示.
上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式
(q+p)n=n0 p0qn+n1 p1qn-1+…+nk pkqn-k+…+nn pnq0 中对应项的值,因此称X
672
4
5
6
10
10
10
P(4≤X≤6)=C10 ×0.5 +C10 ×0.5 +C10 ×0.5 =1 024
=
21
.
32
=
63
.
256
规律方法 n次独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断:依据n次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验.
(2)分拆:判断所求事件是否需要拆分.
(3)计算:就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解,最后利用互斥
数为N,n,M的超几何分布,记作X~ H(N,n,M)
.
2.超几何分布列
如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分布
列如下表所示.
名师点睛
判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点:
(1)总体是否可分为两类明确的对象.
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
对于公式P(X=k)= C pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在满足“独立重复试验”时
才能运用,否则不能应用该公式.
变式训练2为增强学生体质,某学校组织体育社团,某班级有4人积极报名参
加篮球和足球社团,每人只能从两个社团中选择其中一个,大家约定:每人
通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团,掷出点数为5或6的人
(1)恰好出现5次正面朝上的概率;
(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率.
解 设A:正面朝上,则P(A)=0.5.用X表示事件A发生的次数,则X~B(10,0.5).
(1)恰好出现 5 次正面朝上等价于 X=5,于是
252
5
10
P(X=5)=C10 ×0.5 =
1 024
(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于 4≤X≤6,于是
概率在生活中的作用,提高数学应用能力.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一 n次独立重复试验与二项分布
1.n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独立
的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
2.二项分布
一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解n次独立重复试验的模型,掌握二项分布,并能利用它们解
决一些简单的实际问题.
课程标准
2.理解超几何分布的意义,能够利用超几何分布的概率公式解
决实际问题.
3.通过本节的学习,体会模型化思想在解决问题中的作用,感受
要背出其中2篇才能及格.某名同学只能背诵其中的6篇,求:
(1)抽到他能背诵的课文的篇数的分布列;
(2)他能及格的概率.
解 (1)设随机抽出的 3 篇课文中该同学能背诵的篇数为 X,则 X 是离散型随
C6 C3-
4
机变量, 它的可能取值为 0,1,2,3,X 的分布列为 P(X=k)=
C310
,k=0,1,2,3.
参加篮球社团,掷出点数小于5的人参加足球社团.
(1)求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率;
(2)用ξ,η分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数,记随机变量X
为ξ和η之差的绝对值,求随机变量X的分布列.
解 依题意,这
1
2
4 人中,每人参加篮球社团的概率为 ,参加足球社团的概率为 ,
3
3
设“这 4 人中恰有 i 人参加篮球社团”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4),
用表格表示为
X
P
0
1
30
1
3
10
2
1
2
(2)该同学能及格表示他能背出 2 篇或 3 篇,故他能及格的概率
1
1
P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=2 + 6
=
2
.
3
3
1
6
规律方法
求超几何分布列的步骤
(1)验证随机变量是否服从超几何分布,并确定参数N,M,n.
(2)确定X的所有可能取值.
(3)利用超几何分布公式计算P(X=k).
1 1 1 2 3
3 1 3 2 1 40
P(X=2)=C4 (3) (3) +C4 (3) (3) =81,
0 2 4
4 1 4 17
P(X=4)=C4 (3) +C4 (3) =81,
所以 X 的分布列为
X
0
2
4
P
8
27
40
81
17
81
探究点三
超几何分布
【例3】 老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵,规定至少
服从参数为n,p的二项分布,记作X~ B(n,p)
.
名师点睛
1.二项分布是n次独立重复试验在k取遍0,1,2,…,n各种情况下的一个分布
列.
2.在X~B(n,p)中,X可以取0,1,2,…,n中的任意值;注意掌握参数n,p的具体含
义,并习惯用参数表示具体的分布列.
3.两点分布是二项分布在参数n=1时的特殊情况.
率为C84 ×0.74×0.34≈0.136.
(2)至少有4次投中的概率为
C84 ×0.74×0.34+C85 ×0.75×0.33+C86 ×0.76×0.32+C87 ×0.77×0.3+C88 ×0.78≈0.942.
(3)至多有4次投中的概率为
C80 ×0.38+C81 ×0.7×0.37+C82 ×0.72×0.36+C83 ×0.73×0.35+C84 ×0.74×0.34≈0.194.
(4)写出分布列(用表格或式子表示).
变式训练3为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程,某校团委决定举办“中
国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题,每类试题各10题,其
中每答对1道A类试题得10分;每答对1道B类试题得20分,答错都不得分.每
名参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题抽取后不放
(2)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3.