九年级数学上册第4章一道有趣的相似问题的变式及应用(北师大版)

一道有趣的相似问题的变式及应用 题目：已知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AD 与BC 交于点E ，过E 作EF ⊥AB 于F ，试说明
EF BD AC 111=+.
解：因为AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，EF ⊥AB ，
所以AC ∥BD ∥EF .
所以△AEF ∽△ADB ，△BEF ∽△BCA .
所以EF ：BD =AF ：AB ，EF ：AC =BF ：AB .
即AF =AB BD EF ⋅，BF =AB AC
EF ⋅， 所以AF+BF =⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛+AC EF BD EF AB ， 所以AB =⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛+AC EF BD EF AB ， 所以
EF
BD AC 111=+. 把题目的结论再变化一下就得到：EF=BD
AC BD AC BD AC +⨯=+111
，这个等式有何应用呢？
应用一：如图2所示，两根电线杆都垂直于地面，分别在高为10米的C 处和高为15米的D 处用钢索将两根电线杆固定，求钢索AD 与钢索BC 的交点E 处离地面的高度EF .
有了上面的结论，很容易就得到EF =
BD AC BD AC +⨯=15
101510+⨯=6（米）.
应用二：如图3所示，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房AB的高度为12米，楼房CD的高度为18米，从A处看楼顶C处正好通过树顶E，而从D处看楼顶B处也正好通过树顶E，求这棵树的高度.
根据上面的计算方法，很容易就得到树的高度大约是7.2米.。