2020年普通高等学校招生全国统一考试卷数学文史类(山东省)

2020年普通高等学校招生全国统一考试卷数学文史类(山东省)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合},5,2,0{},,|{=∈∈+=+P Q b P a b a Q P 若 }6,2,1{=Q ，则Q P +中元素的个数是 A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
本题主要考查集合概念的理解，以及对知识的迁移能力，对基本知识的掌握要准确、牢固． 解答：B
2．一粒骰子，抛掷一次，得到奇数的概率是
A.
21 B.61 C.32 D. 4
3 本题主要考查考生对于古典概型的理解、运用，互斥事件的概率加法公式．
解答：A
3.若b a c b a ϖϖϖϖϖ+===,2,1，且a c ϖϖ⊥，则向量a ϖ与b ϖ
的夹角为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
本题主要考查向量的内积及运算，向量的内积是解决夹角与距离的工具，应灵活掌握． 解答：C
4. 为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象
（ ）
A ．向右平移
6π
个单位长度 B ．向右平移
3π
个单位长度
C ．向左平移6π
个单位长度
D ．向左平移3
π
个单位长度
本题 综合考查三角函数诱导公式，三角函数图象变换的知识，以及逻辑分析能力和直觉思维能力． 答案;B
5. 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是
A.若β⊂l 且βα⊥,则α⊥l
B.若β⊥l 且βα//,则α⊥l .
C.若β⊥l 且βα⊥,则α//l
D. 若m =⋂βα且m l //,则α//l .
本题主要考查立体几何初步的有关知识，包括直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的知识，要求学生有很好的空间想象能力．解答：B
6．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是
A ．②、③都不能为系统抽样
B ．②、④都不能为分层抽样
C ．①、④都可能为系统抽样
D ．①、③都可能为分层抽样
本题主要考查统计中的抽样方法的有关知识，新课程把这部分只是放到了必修内容里，也就是说对于现代公民应必备的知识，反映了我们整个国家的进步，此类题型应该给予重视． 解答：D
7. 若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆0542
2
=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是
A.50<<k
B.05<<-k
C. 130<<k
D.50<<k
本题主要考查平面解析几何初步知识，包括圆的一般方程、圆的标准方程、直线与圆的交点
等知识，但此题考察的解题方法是数形结合的思想方法． 解答：A
8 . 向高为H 的水瓶中注水, 注满为止. 如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示, 那么水瓶的形状是( )
解答：B
9 . 在△ABC 中，若
C
c
B b A a cos cos cos =
=，则△ABC 是 A.直角三角形. B.等边三角形. C.钝角三角形. D.等腰直角三角形.
本题主要考查解三角形的知识， 要求对正弦、余弦定理灵活掌握． 解答：B
10．已知实数b a ,满足等式,)3
1
()21(b a =下列五个关系式
①a b <<0 ②0<<b a ③b a <<0 ④0<<a b
⑤b a =
其中不可能．．．成立的关系式有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
本小题综合考查指数式、指数式与对数式互化以及指数函数的有关知识，分类讨论数学思想方法． 解答：B 11．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则
A ．11<<-a
B ．20<<a
C ．2321<<-
a D ．2
1
23<<-a 本题以一元二次不等式的有关知识为载体，综合考查考生利用已经获取的信息，处理并解决
新问题的能力． 解答：C
A B C D
12．在直角坐标系xoy 中，已知AOB ∆三边所在直线方程分别为3032,0,0=+==y x y x 则AOB ∆内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是 A ．95 B ．91 C ．88 D ．75 本题主要考查了解析几何必修内容的线性规划． 解答：B
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上） 13.复数),,,(,R d c b a di c bi a ∈++的积为实数的充要条件是 . 本题主要考查复数和常用逻辑用语的知识． 解答：0=+bc ad
14.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算得63.272=K ，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是 的（有关，无关） 本题主要考查统计案例的有关知识，对828.102>K 就有99.9%理由认为两个量是有关系的． 解答：有关.
15. 已知n 次多项式()n n n n n a x a x a x a x P ++++=--11
10Λ,如果在一种算法中，计算
k
x 0()n k Λ,4,3,2=的值需要1-k 次乘法，计算()03x P 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算()010x P 的值共需要 次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：()()()1100,+++==k k k a x xP x P a x P ，（=k 0, 1，2，…，
1-n ）
．利用该算法，计算()03x P 的值共需要6次运算，计算()010x P 的值共需要 次运算．
本题涉及算法的知识，但重在考查考生的合情推理能力和创造性思维能力． 解答：65，20
16. 以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=u u u r u u u r
，则动点P 的轨迹为双曲线；
②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2
OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r
则动点
P 的轨迹为椭圆；
③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
135
192522
22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.
本题通过多选的开放形势，综合考查椭圆和双曲线的概念、简单几何性质，并结合平面向量的知识，考查学生处理简单轨迹问题的能力 ． 解答： ③④
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分） 已知232,534cos παππα<
≤=⎪⎭⎫
⎝
⎛+
．求⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+42cos πα的值． 本小题考查两角和正、余弦公式，倍角的正弦、余弦公式，同角三角函数的基本关系式以及
诱导公式等基础知识，考查基本运算能力．
解：……3分
Θ
47443ππαπ<+≤且0)4cos(>+πα，∴4
7423π
παπ<
+≤ ………………………………6分
从而 ，……………8分
…………………………10分 ………………………………12分
18.(本题满分12分)
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
（I ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P =f (t )； 写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q =g (t )；
（II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天）
本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．
解：（I ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
300
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
（II）设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)
即
当0≤t≤200时，配方整理得
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200< t ≤300时，配方整理得
所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5．
综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． 19.（本小题满分12分）
如图, 在直三棱柱111C B A ABC -中，3=AC ，5AB =,4=BC ，
41=AA ，点D 是AB 的中点， （I ）求证：1BC AC ⊥；
（II ）求证：11//CDB AC 平面.
本题考察学生对空间图形中直线与直线，直线与平面相互关系的识别能力，综合考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力． 证明：（I ）直三棱柱111C B A ABC -，底面三边长3=AC ，5=AB ，
4=BC
∴ BC AC ⊥，
又ABC CC 平面⊥1，∴1BC 在平面ABC 内的射影为BC ∴1BC AC ⊥；
（II ）设1CB 与B C 1的交点为E ，连结DE ，
∵ D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，∴ 1//AC DE ，
∵ 1CDB DE 平面⊂，11CDB AC 平面⊄，∴11//CDB AC 平面 .
20.（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前项和为2
2n S n =,{}n b 为等比数列，且11b a =, ()1122b a a b =-, (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)设n
n
n b a c =
，求数列{}n c 的前n 项和n T . 本题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力. 解：(Ⅰ)因为当1=n 时，211==S a ，
当2≥n 时， ()241222
2
1-=--=-=-n n n S S a n n n ，
故{}n a 的通项公式为24-=n a n ，
设{}n b 的公比为q ，则11b qd b =，4=d ，所以4
1=
q 故1
11412--⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯==n n n q b b ，即{}n b 的通项公式为142-=n n b
（Ⅱ）∵()11
412422
4---=-==n n n
n n n n b a c ， ∴1
21214)12(...45431...--++⨯+⨯+=+++=n n n n c c c T ， n n n n n T 4)12(4)32(...4543414132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=-，
两式相减得
()
()]54)56[(3
1
4124...4442131321+-=-+++++--=-n n n n n n T ，
∴]54)56[(9
1
+-=n n n T .
21.（本小题共12分） 已知函数()a x x x x f +++-=932
3， （I ）求()x f 的单调递减区间；
（II ）若()x f 在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
本题主要考查导数在研究函数中的应用，会用导数求函数的单调区间、最值. 解：（I ）()9632
++-='x x x f ，令()0<'x f ，解得1-<x 或3>x ，
所以函数()x f 的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II ）因为()a a f +=+-+=-2181282，()a a f +=+++-=22181282， 所以()()22->f f ，因为在（－1，3）上()0>'x f ，所以()x f 在[－1, 2]上单调递增，又由于()x f 在[－2，－1]上单调递减，因此()2f 和()1-f 分别是()x f 在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 2022=+a ，解得 2-=a ， 故()2932
3
-++-=x x x x f ，因此72931)1(-=--+=-f ，
即函数()x f 在区间[－2，2]上的最小值为－7．
22.（本题满分14分）已知抛物线)0(22
>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ，
（I ）求抛物线方程；
（II ）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；
（Ⅲ）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.
本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，直线的方程，直线与抛物线、圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的等基本知识，综合考查学生运用解析法处理几何问题的能力． 解：（I ）抛物线2,52
4,222=∴=+-
==p p
p x px y 于是的准线为. ∴抛物线方程为x y 42
=.
（II ）∵点A 的坐标是（4，4）， 由题意得()4,0B ，()2,0M ，
又∵()0,1F ， ∴,4
3,;34-=∴⊥=MN FA k FA MN k 则FA 的方程为()134
-=
x y ，MN 的方程为x y 4
32-=-， 解方程组)54,58(54
58,432)1(3
4N y x x y x y ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
-=--=得． （Ⅲ）由题意得，圆M 的圆心是点（0，2），半径为2.
当4=m 时，直线AK 的方程为4=x ，此时，直线AK 与圆M 相离，
当4≠m 时，直线AK 的方程为),(44
m x m
y --= 即为04)4(4=---m y m x ，
圆心()2,0M 到直线AK 的距离2
)
4(16|
82|-++=m m d ，令1,2>>m d 解得．
1>∴m 当时，直线AK 与圆M 相离； 当1=m 时，直线AK 与圆M 相切；当1<m 时，直线AK 与圆M 相交.。