福建省龙岩市第五中学2024届数学九年级第一学期期末经典模拟试题含解析

福建省龙岩市第五中学2024届数学九年级第一学期期末经典模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）
A．B． C．D．
2．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为()
A．10πB
10
C 10
πD．π
3．从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一个圆锥体的是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 重合，顶点B 、C 、D 在一条直线上）．将三角尺DEF 绕着点F 按逆时针方向旋转n °后（0＜n ＜180 ），如果BA ∥DE ，那么n 的值是（ ）
A ．105
B ．95
C ．90
D ．75
5．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．
A ．513
B ．1213
C ．1013
D ．512
6．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是( )
A ．c ＜﹣3
B ．c ＜﹣2
C ．c ＜14
D ．c ＜1
7．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表．根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为
近视眼镜的度数y （度）
200 250 400 500 1000 镜片焦距x （米）
0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 A ．100y x = B ．100x y = C ．400y x = D ．400
x y = 8．如图，AB 是
O 的直径，AC ，CD 是O 的两条弦，CD AB ⊥，连接OD ，若20CAB ∠=︒，则BOD ∠的度
数是（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．30°
D ．40°
9．某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽取了 30名学生测试 11分钟仰卧起坐的 次数， 统计结果并绘制成如图所示的频数分布直方图． 已知该校九年级共有150名学 生，请据此估计，该校九年级1分钟仰卧起坐次数在3035-次之间的学生人数大约是（ ）
A ．20
B ．25
C ．50
D ．55
10． “2020年的6月21日是晴天”这个事件是（ ）
A ．确定事件
B ．不可能事件
C ．必然事件
D ．不确定事件
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在平面直角坐标系中，将ABO ∆绕点A 顺时针旋转到111A B C ∆的位置，点B ，O 分别落在点1B ，1C 处，点1B 在x 轴上，再将11AB C ∆绕点1B 顺时针旋转到112A B C ∆的位置，点2C 在x 轴上，再将112A B C ∆绕点2C 顺时针旋转到222A B C ∆的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去，……，若点3,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()0,2B ，则点B 2016的坐标为______.
12．代数式18
x -有意义时，x 应满足的条件是______. 13．圆锥的底面半径是4，母线长是9，则它的侧面展开图的圆心角的度数为______ ．
14．已知，P 为等边三角形ABC 内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，则S △ABC ＝_____．
15．圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的全面积为_______cm 2.
16．如图，将矩形ABCD 绕点A 旋转至矩形''AB C D '位置，此时AC 的中点恰好与D 点重合，'AB 交CD 于点E .若6AB =，则AEC 的面积为__________．
17．若关于x 的方程x 2-kx+9=0（k 为常数）有两个相等的实数根，则k=_____.
18．当﹣1≤x ≤3时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2﹣1可取到的最大值为3，则m ＝_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者．求下列事件的概率：
（1）抽取1名，恰好是甲；
（2）抽取2名，甲在其中．
20．（6分）一只不透明的袋子中装有3个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球． （1）“其中有1个球是黑球”是 事件；
（2）求2个球颜色相同的概率．
21．（6分） “校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
22．（8分）矩形ABCD 中，线段AB 绕矩形外一点O 顺时针旋转，旋转角为θ，使A 点的对应点E 落在射线AB 上，
B 点的对应点F 在CB 的延长线上．
（1）如图1，连接OA 、OE 、OB 、OF ，则AOE ∠与BOF ∠的大小关系为______________．
（2）如图2，当点E 位于线段AB 上时，求证：BEF θ∠=；
（3）如图3，当点E 位于线段AB 的延长线上时，120θ，4AB =，求四边形OBEF 的面积．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；
（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（8分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，1． （1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ．
（2）小明和小颖用转盘做游戏，每人转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或者列表法说明理由．
25．（10分）如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O ，点D 为⊙O 上一点，且CD=CB 、连接DO 并延长交CB 的延长线于点E
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
26．（10分）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；
（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【题目详解】当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=1
2
AE•AD=2x（0≤x≤2），
当F在DQ上运动时，△AEF的面积为y=1
2
AE•AF=[]
1
4-(2)
2
x x-=2
1
-+3
2
x x（2＜x≤4），
图象为：
故选A．
2、C
【题目详解】如图所示：
在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，
根据勾股定理得：AC=2210
AD CD
+=，又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，
则顶点A所经过的路径长为l=601010
1803
π
π
⨯
=．
故选C.
3、B
【分析】根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，只要图形中两者相等即可配成一个圆锥体即可．
【题目详解】选项A、C、D中，小圆的周长和扇形的弧长都不相等，故不能配成一个圆锥体，只有B符合条件．
故选B．
【题目点拨】
本题考查了学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
4、A
【分析】画出图形求解即可．
【题目详解】解：
∵三角尺DEF绕着点F按逆时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），BA∥DE，
∴旋转角＝90°+45°﹣30°＝105°，
故选：A．
【题目点拨】
本题考查了旋转变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型. 5、A
【分析】过顶点A作底边BC的垂线AD，垂足是D点，构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，运用三角函数的定义，则可以求得底角的余弦cosB的值．
【题目详解】解：如图，作AD⊥BC于D点．
则CD=5cm，AB=AC=13cm．
∴底角的余弦=
5 13
．
故选A．
【题目点拨】
本题考查的是解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质：等腰三角形顶角平分线、底边上的高，底边上的中线重合．
6、B
【分析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，由此可知方程x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，即△=1-4c>0，再由题意可得函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，由此可得关于c的不等式组，解不等式组即可求得答案.
【题目详解】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，
所以x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等的实数根，
整理，得：x2+x+c＝0，
所以△=1-4c>0，
又x2+x+c＝0的两个不相等实数根为x1、x2，x1＜1＜x2，
所以函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，
即1+1+c<0，
综上则
140 110
c
c
-
⎧
⎨
++
⎩
＞
＜
，
解得c＜﹣2，
故选B.
【题目点拨】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题中的定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.
7、A
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【题目详解】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：
100
y
x ．
故选A．
【题目点拨】
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
8、D
【分析】连接AD，由AB是⊙O的直径及CD⊥AB可得出弧BC=弧BD，进而可得出∠BAD=∠BAC，利用圆周角定理可得出∠BOD的度数．
【题目详解】连接AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴弧BC=弧BD，
∴∠BAD=∠BAC=20°．
∴∠BOD=2∠BAD=40°，
故选：D．
【题目点拨】
此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，利用圆周角定理求出∠BOD的度数是解题的关键．
9、B
【分析】用样本中次数在30～35次之间的学生人数所占比例乘以九年级总人数可得．
【题目详解】解：该校九年级1分钟仰卧起坐次数在30～35次之间的学生人数大约是5
30
×150=25（人），
故选：B．
【题目点拨】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
10、D
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
【题目详解】“2020年的6月21日是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选：D．
【题目点拨】
本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（6048，2）
【分析】由题意可得，在直角三角形OAB 中，53OA =，4OB =，根据勾股定理可得133
AB =，即可求得OAB ∆的周长为10， 由此可得2B 的横坐标为10，4B 的横坐标为20，···由此即可求得点2016B 的坐标.
【题目详解】在直角三角形OAB 中，53OA =
，4OB =， 由勾股定理可得：133
AB =， OAB ∆的周长为：51341033
OA OB AB ++=++=， ∴2B 的横坐标为：OA+AB 1+B 1C 1=10，4B 的横坐标为20，··· ∴20162016(10,4)2
B ⨯. 故答案为(10080,4).
【题目点拨】
本题考查了点的坐标的变化规律，根据题意正确得出点的变化规律是解决问题的关键.
12、8x >.
【解题分析】直接利用二次根式的定义和分数有意义求出x 的取值范围．
有意义，可得：80x ->，所以8x >， 故答案为：8x >.
【题目点拨】
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键.
13、160︒
【分析】首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后根据弧长的计算公式即可求得圆心角的度数．
【题目详解】解：圆锥的底面周长是：248ππ⨯=，
设圆心角的度数是n ︒，则
98180n ππ=， 解得：160n =．
故侧面展开图的圆心角的度数是160︒．
故答案是：160︒． 【题目点拨】
此题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14、
36
4
【分析】将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，根据旋转的性质得BE ＝BP ＝4，AE ＝PC ＝5，∠PBE ＝60°，则△BPE 为等边三角形，得到PE ＝PB ＝4，∠BPE ＝60°，在△AEP 中，AE ＝5，延长BP ，作AF ⊥BP 于点F ，根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°，即可得到∠APB 的度数，在Rt △APF 中利用三角函数求得AF 和PF 的长，则在Rt △ABF 中利用勾股定理求得AB 的长，进而求得三角形ABC 的面积． 【题目详解】解：∵△ABC 为等边三角形， ∴BA ＝BC ，
可将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ， 连EP ，且延长BP ，作AF ⊥BP 于点F ．如图， ∴BE ＝BP ＝4，AE ＝PC ＝5，∠PBE ＝60°， ∴△BPE 为等边三角形， ∴PE ＝PB ＝4，∠BPE ＝60°，
在△AEP 中，AE ＝5，AP ＝3，PE ＝4， ∴AE 2＝PE 2+PA 2，
∴△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°， ∴∠APB ＝90°+60°＝150°． ∴∠APF ＝30°，
∴在直角△APF 中，AF ＝
12AP ＝32，PF ＝2
AP ．
∴在直角△ABF 中，AB 2＝BF 2+AF 2＝（4+
2
）2
+（32）2＝
∴△ABC 2
【题目点拨】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
15、14π
【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径1＋底面周长×母线长÷1．
【题目详解】解：∵圆锥母线长为5cm，圆锥的高为4cm，
∴底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，
∴侧面面积＝1
2
×6π×5＝15π；
∴底面积为＝9π，
∴全面积为：15π＋9π＝14π．
故答案为14π．
【题目点拨】
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
16、3
【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．
【题目详解】∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，
即AD=1
2
AC′=
1
2
AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE，
在Rt △ADE 中，设AE=EC=x ， ∵AB=CD=6
∴DE=DC-EC=AB-EC=6-x ，AD=CD×
tan ∠ACD=3
×，
根据勾股定理得：x 2=（6-x ）2+（）2， 解得：x=4， ∴EC=4，
则S △AEC =
1
2
故答案为：【题目点拨】
此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 17、±
1 【分析】根据方程x 2-kx+9=0有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b 2-4ac=0，即k 2-4×1×9=0，然后解方程即可． 【题目详解】∵方程x 2+kx+9=0有两个相等的实数根， ∴△=0，即k 2-4×1×9=0，解得k=±1． 故答案为±1． 【题目点拨】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的根判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 18、﹣1.5或1．
【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m 的值． 【题目详解】∵当﹣1≤x ≤3时，二次函数y ＝﹣(x ﹣m )1+m 1﹣1可取到的最大值为3， ∴当m ≤﹣1时，x ＝﹣1时，函数取得最大值， 即3＝﹣(﹣1﹣m )1+m 1﹣1，得m ＝﹣1.5； 当﹣1＜m ＜3时，x ＝m 时，函数取得最大值， 即3＝m 1﹣1，得m 1＝1，m 1＝﹣1（舍去）； 当m ≥3时，x ＝3时，函数取得最大值， 即3＝﹣(3﹣m )1+m 1﹣1，得m ＝
13
6
（舍去）； 由上可得，m 的值为﹣1.5或1，
故答案为：﹣1.5或1．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、(1);(2).
【解题分析】试题分析：（1）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.因此，由从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，直接利用概率公式求解即可求得答案.
（2）利用列举法可得抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
试题解析：（1）∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，
∴抽取1名，恰好是甲的概率为：.
（2）∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，
∴抽取2名，甲在其中的概率为：.
考点：概率.
20、（1）随机
（2）
【解题分析】试题分析：（1）直接利用随机事件的定义分析得出答案；
（2）利用树状图法画出图象，进而利用概率公式求出答案．
试题解析：（1）“其中有1个球是黑球”是随机事件；
故答案为随机；
（2）如图所示：
，
一共有20种可能，2个球颜色相同的有8种，
故2个球颜色相同的概率为：=．
考点：列表法与树状图法．
21、(1) 60，90；(2)见解析;(3) 300人
【解题分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图； （3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案． 【题目详解】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%， ∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）； ∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：15
60
×360°=90°； 故答案为60，90； （2）60﹣15﹣30﹣10=5； 补全条形统计图得：
（3）根据题意得：900×
155
60
+=300（人）， 则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人． 【题目点拨】
本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的相关知识点. 22、（1）相等；（2）见解析；（3）3
3【分析】（1）由旋转得：旋转角相等，可得结论；
（2）证明△AOB ≌△EOF （SAS ），得∠OAB=∠OEF ，根据平角的定义可得结论；
（3）如解图，根据等腰三角形的性质得：∠OFB=∠OBF=30°，∠OAE=∠AEO=30°，根据30度角的直角三角形的性质分别求得OB 、OG 、BF ，勾股定理求得BE 的长，再根据三角形面积公式即可求得结论． 【题目详解】（1）由旋转得：∠AOE=∠BOF=θ， 故答案为：相等；
（2）∵AOE BOF θ∠=∠=， ∴AOB EOF ∠=∠， 在△AOB 和△EOF 中
AO EO AOB EOF OB OF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AOB ≌△EOF （SAS ）， ∴OAB OEF ∠=∠， ∵OA=OE ，
∴OAB OEA ∠=∠，
∴180()BEF OEF OEA ∠=-∠+∠
180()OAB OEA =-∠+∠
AOE θ=∠=；
（3）如图，过点O 作 OG FB ⊥，垂足为G ，
根据旋转的性质知：∠BOF=120°，∠AOB=∠EOF ，OB=OF ， △BOF 中，∠OFB=∠OBF=30°， ∴∠ABO=60°，
△AOE 中，∠AOE=120°，OA=OE ， ∴∠OAE=∠AEO=30°， ∴∠AOB=90°， 在△AOB 和△EOF 中
AO EO AOB EOF OB OF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AOB ≌△EOF （SAS ）， ∴4AB EF ==， 在Rt
ABO 中，∠AOB=90°，4AB =，∠OAB=30°， ∴11
4222
OB AB =
=⨯=，
在Rt GBO 中，∠OGB=90°，2OB =，∠OBG=30°， ∴11
2122
OG OB =
=⨯=
，BG ==，
∴2BF BG ==，
在Rt EFB 中，∠EBF=90°，4EF =
，BF =
∴2BE =
==，
∴OBF BEF OBEF S S S ∆∆=+四边形
11
22
OG BF BF BE =⋅+⋅
11
1222=⨯⨯⨯
=
【题目点拨】
本题是四边形的综合题，题目考查了几何图形的旋转变换，四边形的面积，直角三角形30度角的性质等知识，解决此类问题的关键分析图形的旋转情况，在旋转过程中，旋转角相等，对应线段相等．
23、（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；直线AC 的解析式为y=3x+3；（2）点M 的坐标为（0，3）； （3）符合条件的点P 的坐标为（
73，209）或（103，﹣13
9
）， 【解题分析】分析：（1）设交点式y=a （x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C （0，3），然后利用待定系数法求直线AC 的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D 的坐标为（1，4），作B 点关于y 轴的对称点B′，连接DB′交y 轴于M ，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD 的值最小，则此时△BDM 的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M 的坐标；
（3）过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式
为y=-13x+b ，把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为y=-13x+3，再解方程组223
1
3
3y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩
＝＝得此时P 点坐标；当过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P 时，利用同样的方法可求出此时P 点坐标． 详解：（1）设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3）， 即y=ax 2﹣2ax ﹣3a ， ∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得
3
p q
q
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
3
3
p
q
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣1
3
x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣1
3
x+3，
解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
-+
⎪⎩
＝
＝
，解得
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
7
3
20
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，则此时P点坐标为（
7
3
，
20
9
）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得1
3
+b=0，解得b=﹣
1
3
，
∴直线PC的解析式为y=﹣1
3
x﹣
1
3
，
解方程组
223
11
33
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
--
⎪⎩
＝
＝
，解得
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
或
10
3
13
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，则此时P点坐标为（
10
3
，﹣
13
9
）.
综上所述，符合条件的点P的坐标为（7
3
，
20
9
）或（
10
3
，﹣
13
9
）.
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
24、（1）2
3
；（2）不公平，理由见解析
【分析】（1）由标有数字1、2、1的1个转盘中，奇数的有1、1这2个，利用概率公式计算可得；
（2）根据题意列表得出所有等可能的情况，得出这两个数字之和是奇数与偶数的情况，再根据概率公式即可得出答案．【题目详解】解：（1）∵在标有数字1、2、1的1个转盘中，奇数的有1、1这2个，
∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为2
3
，
故答案为：2
3
；
（2）不公平，理由如下：
列表如下：
1 2 1 1 2 1 4
2 1 4 5
1 4 5 6
由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果，
所以小明获胜的概率为4
9
，小颖获胜的概率为
5
9
，
由4
9
≠
5
9
知此游戏不公平．
【题目点拨】
此题考查的是求概率问题，掌握列表法和概率公式是解决此题的关键．
25、（1）相切，证明见解析；（2）62.
【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E=OB CD EB DE
=，
推出3
48
CD
=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题．
【题目详解】解：（1）相切，理由如下，如图，连接OC，
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，AB=2r=6，
∵tan ∠E=OB CD EB DE =， ∴348
CD =， ∴CD=BC=6，
在Rt △ABC 中，AC=
22226662AB BC +=+=． 【题目点拨】
本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键．
26、 (1)见解析;(2)13
. 【分析】（1）画树状图列举出所有情况；
（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【题目详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．
（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，
∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．
【题目点拨】
本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键.。