六安市舒城中学2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题文

安徽省六安市舒城中学2020—2021学年高二数学上学期期末考试试题 文
一、
单选题（每题5分，总共60分） 1．已知函数()ln f x x ax =-在2
x =处取得极值，则a =（) A ．1
B ．2
C ．1
2
D ．-2
2．下列判断正确的是（ ）
A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题,则命题“p q ∧”为真命题
B ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”
C ．“1sin 2α=
"是“ 6π
α="的充分不必要条件
D ．命题“,2
x
x ∀∈>R ”的否定是“
00,20x x ∃∈≤R ”
3．已知两条直线20ax y --=和()210a x y --+=互相平行,则a 等于 （ ) A ．2
B ．1
C ．0
D ．—1
[]有实根的概率为
的方程上随机地取值，则关于，在设01504.2=++px x x p （ ）
A ．15
B ．25
C ．35
D ．4
5
5．一个长方体去掉一角的直观图如图中所示，关于它的三视图,下列画法正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（)
A ．5
n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤
7．设m 、n 是两条不同的直线，α是平面,m 、n 不在α内,下列结论中错误的是(）
A ．m α⊥，//n α，则m n ⊥
B ．m α⊥，n α⊥,则//m n
C ．m α⊥,m n ⊥，则//n α
D ．m n ⊥，//n α，则m α⊥
8．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表: 广告费用x （万元） 2
3
4
5
6
销售额y （万
元)
19 25
34
38 44
根据上表可得回归直线方程为∧
∧
+=a x y 3.6,下列说法正确的是
（ ）
A ．回归直线∧
∧
+=a x y 3.6必经过样本点()2,19、()6,44
B ．这组数据的样本中心点(),x y 未必在回归直线∧
∧
+=a x y 3.6上
C ．回归系数6。

3的含义是广告费用每增加1万元,销售额实际增加6。

3万元
D ．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50。

9万元 9．已知点(,)
P x y 是圆
22(2)1
x y -+=上任意一点，则y x
的最大值是（)
A ．3
B ．33
C ．1
2
D ．
32
10．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b -=>>的离心率为2，左、右焦点分别
为1
F 、2
F ，A 在C 的左支上,1
AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形
12
AF BF 的面积为48，则12
F F =（）
A ．8
B ．4
C ．83
D ．4
3
11．已知函数()()3
0f x ax bx c ac =++<，则函数()
y f x =的图象可能是（）．
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数()()()110ln x f x x x
++=
>,若()1k
f x x >+恒成立，则整数k 的最大值为（） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、
填空题（每题5分，总共20分）
13．已知圆锥的顶点与底面的圆心分别为,S O ，过直线SO 的平面截该圆锥所得的截面是面积为
的正三角形，则该圆锥的表面积为________．
14．在我国东汉的数学专著《九章算术》中记载了计算两个最大公约数的一种方法，叫做“更相减损法”，它类似于古希腊数学家欧几里得提出的“辗转相除法”.比如求273，1313的最大公约数：可先用1313除以273，余数为221（商4)；再用273除以221，余数为52；再用221除以52，余数为13；这时发现13就是52的约数，所以273，1313的最大公约数就是13.运用这种方法,可求得5665,2163的最大公约数为______。

15．如果点1
2
3
10
,,,P P P P ，是抛物线2
2y
x
=上的点，它们的横坐标依次
为1
2
3
10
,,,
,x x x x ，F 是抛物线的焦点，若1
2
3105
x x
x x ++++=，则
1210PF P F P F ++
+=___.
16．已知椭圆
2
212
x y +=上存在相异两点关于直线y x t =+对称，则实
数t 的取值范围是______。

三、解答题
17．（本题满分10分）已知0m >，2
:4120
p x
x --≤，:22q m x m -≤≤+。

（1）若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围；
（2）若5m =，命题p 、q 其中一个是真命题，一个是假命题，求实数x 的取值范围．
18．(本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ，
BAD
∠为直角，//AB CD ，E ､F 分别为PC ､CD 的中点22PA AD CD AB ====，
（1)证明：平面//APD 平面BEF ； （2）求三棱锥B CDE -的体积.
19．（本题满分12分）近年来，以习近平同志为核心的党中央把生态保护放在优先位置，创新生态扶贫机制,坚持因地制宜、绿色发展,在贫困地区探索出一条脱贫攻坚与生态文明建设“双赢”的新路．下图是某社区关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明,环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，这200人的年龄区间为[]15,65并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35,第3组[)35,45，
第4组[)45,55，第5组[]55,65，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出a 的值；
（2)求这200人年龄的样本平均数(精确到小数点后一位); （3)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求从第2组恰好抽到2人的概率．
20．（本题满分12分）已知函数
()2ln f x x a x =+。

（1)当2a =-时，求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程； (2)若()()2
g x f x x
=+
在[1,+)∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围.
21．（本题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为
21)
-,且椭圆的离心率为
2
2
.
（1）求椭圆C 的方程；
(2）过点(1,0)作直线l 交C 于P 、Q 两点,的方程求直线且l OQ OP ,⊥。

22．(本题满分12分）已知
()()x e x ax ax x f 22
1
2-++-=。

（1）()的单调区间；
时，求当x f a 1-= （2）若f （x ）存在3个零点，求实数a 的取值范围。

参考答案
1．C
()'1
f x a x =
-,依题意()'20f =，即110,22a a -==。

此时
()()'112022x
f x x x x
-=
-=>，所以()f x 在区间()0,2上递增，在区间()2,+∞上递减，所以()f x 在2x =处取得极大值，符合题意. 所以1
2
a =。

2．D
A 项中,因为p 真q 假，所以p q ∧为假命题。

故A 项错误;
B 项中，
“若0
xy =，则0x =”的否命题为“若0xy ≠,则0x ≠”， 故B 项错误；C 项中，
1sin 2α=
是6π
α=的必要不充分条件，故
C 项错误；
D 选项正确。

3．B
由直线平行的充要条件可得关于实数a 的方程：
121a a -=--,解方程有：
1a =， 经检验，当1a =时，直线不重合, 综上可得：1a =。

本题选择B 选项. 4．C
方程有实根,则Δ＝p 2－4≥0,p 在［0，5］上随机地取值， 解得p ≥2或p ≤－2（舍去）， 所以所求概率为523
505
P -==-。

故选：C 5．A
解：由于几何体被切去一个角，所以正视图、俯视图的矩形都有斜线；
斜线的位置，如图A 在正视图中是正确的；
B
、C 、D 中的3个视图不满足题意；
故选：A 。

6．B
根据框图,执行程序，
12,2S n ==;
1222,3
S n =+=；
⋯
12222,1i S n i =++⋯+=+,
令1
2
22
2126i S =++⋯+=,
解得6i =，即7n =时结束程序， 所以6n ≤， 故选：B 7．D 对于A ，
//n α
，由线面平行的性质定理可知，过直线n 的平面β与
平面α的交线l 平行于n ,
m α⊥，l α⊂，m l ∴⊥，m n ∴⊥，故
A 正确;
对于B ，若m α⊥，n α⊥,由直线与平面垂直的性质，可得//m n ，故B 正确；
对于C ，若m α⊥，m n ⊥,则//n α或n ⊂α,又n α⊄，//n α∴，故C 正确； 对于D ，若m n ⊥，//n α，则//m α或m 与α相交或m α⊂, 而m α⊄，则//m α或m 与α相交,故D 错误． 故选：D ． 8．D
回归直线 6.3y x a =+，不一定经过任何一个样本点，故 A 错； 由最小二乘法可知，这组数据的样本中心点(),x y 一定在回归直线
6.3y x a =+上，故
B 错；
回归系数6。

3的含义是广告费用每增加1万元,预测销售额增加6.3万元,故C 错；
1(23456)45
x =++++=，1
(1925343844)253y =++++=，
将()4,32代入 6.3y x a =+可得 6.8a =，则回归方程为 6.3 6.8y x =+，
7x =时， 6.37 6.850.9y =⨯+=，故
D 正确。

故选：D 。

9．B
y
x
的几何意义为圆2
2(2)
1
x y -+=上的动点与原点连线的斜率，
由图可知,当动点P
与A 重合时，OA 与圆相切，此时y x
最大为OA 所
在直线的斜率. 由图可知，||3
OA =则
33
OA k =
=
故选：B 。

10．A
设
122F F c =,由于双曲线的离心率为2c
e a
=
=,2c a ∴=，则223b c a a =-=， 所以,双曲线C 的方程为22
2213x y a a -=，即22233x y a -=，
将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±,1
3AF
a ∴=，
由于A 、B 关于原点对称,1
F 、2
F 关于原点对称，则四边形1
2
AF BF 是
平行四边形，
四边形1
2
AF BF 的面积2
341248S a a a
=⨯==，解得2a =,12248F F c a ∴===.
故选：A. 11．B
()3f x ax bx c =++，则()3f x ax bx c -=--+,()()2f x f x c ∴+-=,
所以，函数()f x 的图象关于点()0,c 对称,排除A 选项；
()3f x ax bx c =++，则()23f x ax b '=+，
当0a >，x →+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 又0ac <，()00f c ∴=<，排除D 选项;
当0a <,x →+∞时，()0f x '<,函数()f x 单调递减， 又0ac <，()00f c ∴=>，排除C 选项. 故选：B ． 12．B
()()
()1ln 10x f x x x
++=
>，
()1k f x x ∴>
+可化为()111
ln x k
x x ++>+ 即()
()111ln x x k x +++>，
令()()
()111ln x g x x
x ++=
+,
则()()()()2
1ln 11111x x x x ln x g x x +++---++⎡⎤⎣⎦'= ()
2
11x ln x x
--+=
令()()11h x x ln x =--+， 则()1
11h x x '=-
+，
()0,x ∈+∞时,
()0h x '>，()g x '∴在()0,∞+单调递增.
又
()()1ln 32ln 4
20,30,49
g g --''=
<=> ()02,3x ∃∈使()00g x '=，
即()0
011ln x
x +=-。

当()0
0,x x ∈时,()()0,g x g x '<单调递减，
当0
(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增,
()()00000
1ln 1)
)1(()(1x x g x x x x g +∴≥=
=+++，
()02,3x ∈，()013,4x +∴∈，
∴
正整数k 的最大值为3。

故选：B 。

13．3π
由题意，过直线SO
的平面截该圆锥所得的截面是面积为三角形，
设正三角形的边长为a
，可得
2
4
a =2a =，
即圆锥的母线长为2l =，底面圆的半径为1r =，
所以圆锥的表面积为
22
1213S S S rl r πππππ=+=+=⨯⨯+⨯=侧面积底面积。

故答案为：3π.
14．由题意，可得5665216321339,21631339824,1339824515=⨯+=+=+，
824515309,515309206,309206103,2061032
=+=+=+=⨯，
所以5665，2163的最大公约数为103． 故答案为：103． 15．10
解：由抛物线的定义可知,
抛物线()2
20y px p =>上的点()000,P x y 到焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的距离002p P F x =+, 在2
2y
x
=中，1p =，
所以1
2
121031055510PF P F P F x x x x p ++
+=+++
++=+=。

16．33⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
设椭圆
2
212
x y +=存在关于直线y x t =+对称的两点为()1
1
,A x y ,()2
2
,B x y ，
根据对称性可知线段AB 被直线y x t =+直平分， 且AB 的中点()0
,M x y 在直线y x t =+上,且1AB
k
=-,
故可设直线AB 的方程为y x b =-+，
联立方程22
22
y x b
x y =-+⎧⎨+=⎩,整理可得2234220x bx b -+-=， ∴
1243b x x +=
，()1212
223b
y y b x x +=-+=，
由
()22
1612220b b ∆=-->，可得
b <<
∴120223
x x b x +=
=，12023y y b
y +==， ∵AB 的中点2,33b b M ⎛⎫
⎪⎝⎭
在直线y x t =+上，
∴
233b b t =+，可得3b t =-
，33
t -<<.
故答案为：33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭。

17．(1）[)4,+∞；（2）[)(]3,26,7--。

解：解不等式2
4120
x x --≤，解得26x -≤≤，即:26p x -≤≤.
（1）
p 是q 的充分条件，[]2,6-∴是[]2,2m m -+的子集,
故0
22
26m m m >⎧⎪
-≤-⎨⎪+≥⎩
,解得：4m ≥，所以m 的取值范围是[)4,+∞；
(2）当5m =时，:37p m -≤≤，
由于命题p 、q 其中一个是真命题，一个是假命题,分以下两种情况讨论： ①p
真q 假时，26
73
x x x -≤≤⎧
⎨
><-⎩或，解得x ∈∅；
②
p
假q 真时,62
37x x x ><-⎧⎨
-≤≤⎩
或，解得32x -≤<-或67x <≤. 所以实数x 的取值范围为[)(]3,26,7--．
18．（1）证明见解析；(2）2
3。

（1）证明：由已知//AB CD ,且BAD ∠为直角，F 为CD 的中点，FD AB ∴=,故ABFD 是矩形，//AD BF ∴，//BF ∴平面APD ， 又∵E ,F 分别为PC ，CD 的中点.∴//EF PD ,∴//EF 平面APD
又∵
,BF BEF EF BEF
EF BF F EF BF BEF
⊂⎧⎪
⊂⎪⎨⋂=⎪⎪⊄⎩平面平面平面,所以平面
//APD 平面BEF . (2）设E 到平面ABCD 的距离为h ∵PA ⊥面ABCD ，E 是PC 的中点 ∴
1
12
h PA =
= ()11
12212222
CBD ABD ABCD S S S =-=
+⨯-⨯⨯=梯形△△ ∴12
33B CDE E CBD CBD V V S h --==⨯=△
∴
三棱锥B CDE -的体积为23
19．（1）0.035a =；（2）平均数为
41.5
；（3)103
.
(1)由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =．
(2)平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁)
(3）103
20．(1）1=y （2）0a ≥ （2）因为()()2g x f x x =+
22
ln x a x x
=++在[1,+)∞上是单调增函数，
所以322222
()2a x ax g x x x x x +-'=-+=0≥在[1,+)∞上恒成立，
即22
2a x x
≥
-在[1,+)∞上恒成立， 因为222y x x =
-在[1,+)∞上为单调递减函数，所以当1x =时，22
2y x x
=-取得最大值0， 所以0a ≥. 21．（1）
2
212
x y +=；（2）12
2
+±
=y x 22．（1）()()()单调递增，
单调递减，在在∞+∞-11,x f （2）由函数
211
()(2)(2)22
()x x f x ax ax x e x ax e =-++-=--+,
可得()f x 有一个零点2x =， 要使得
()f x 有
3
个零点，即方程1
0(2)2x ax e x -+=≠有
2个实数根，
又由方程10(2)2x
ax e x -+=≠,可化为2(2,0)x e a x x =≠，
令2()(2,0)x
e h x x x =≠，即函数y a =与()y h x =图像有两个交点， 令22222(1)
()0x x x xe e e x h x x x --'===,得1x =， ()
h x 的单调性如表:
()h x '
－ － 0 ＋ ＋ ()h x
↘
↘
极小值
↗
↗
所以函数()f x 在1x =处取得极小值2e ，
当0x <时，()0h x <,又2
(2)h e =，()h x 的大致图像如图,
要使得()f x 有3个零点, 则实数a 的取值范围为2
2(2,)
(,)e e e +∞。