河南省三门峡市高三年级数学科《函数与导数》第二节导学案(无答案)

函数与导数第二节
第2课时课型：复习课主备人范晓英
一、学习目标
1.利用函数知识函数最值与函数零点方程根的综合应用问题。

2.掌握不等式与函数之间的化归与转化、分类与整合思想、数形结合思想。

3.教学难点：函数零点个数问题，利用导数求最值问题
二考情分析
函数与导数的压轴试题，是每年高考题中必考内容，其命题方向有两个：
1.围绕函数与方程、不等式等探究方程的根的个数，不等式的证明、不等式恒成立等问题。

三命题分析
高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等．有时出现在解答题第一问．
四、课前自主学习
1.梳理归纳（以下这些知识方法你梳理过吗？）
函数的极值与最值
(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．
(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．
函数的零点与方程的根
(1)函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
(2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2、小试牛刀
（1）、利用函数求最值
1设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
规范化展写
用导数证不等式
[典例1] (2016·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜
x－1
ln x
＜x；
(3)设c＞1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞c x.
规范化展写
33,
()
2,
x x x a
f x
x x a
⎧-≤
=⎨
->
⎩
a=()
f x
()
f x a
【点评】1．用导数解决不等式“恒成立”，“存在”问题的常用方法
有哪些？
（3）利用函数单调性解决变量不等关系
[典例2] .已知函数f(x)＝x ln x－k(x－1)，k∈R.
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)在区间(1，＋∞)上有1个零点，求实数k的取值范围；
(3)是否存在正整数k，使得f(x)＋x＞0在(1，＋∞)上恒成立？若存在，求出正整数k的最大值；若不存在，请说明现由．变式（2016·全国卷Ⅰ第21题的改编题）已知函数f(x)＝(x－2)e x＋(x－1)2有两个零点．设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.
【点评】对于变量不等关系，通过构造新函数，利用函数单调性，转化为研究函数值大小比较。

四、归纳提炼
1.根据条件结构特征，构造辅助函数法是解决不等式问题的重要手段，能够使复杂的问题转化成熟悉而简单的问题，从而顺利解决．其中如何构造合理的辅助函数是解题的关键。

2.不等式与函数之间的化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想。

五课后练习
1设函数f(x)＝e mx＋x2－mx.
(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；
(2)若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．。