椭圆及其标准方程课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

将方程④两边同除以a 2 (a 2
c2 ),
得
x2 a2
y2 a2 c2
1
④ ⑤
由椭圆的定义可知, 2a 2c 0, 即a c 0, 所以a2 c2 0.
讲授新知
思考 观察下图, 你能从中找出表示a, c, a2 c2的线段吗?
由图可知, PF1 PF2 a, OF1 OF2 c, PO a2 c2 .
F M2
Ox
F
1
范例应用
例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,
0), (2, 0),
并且经过点
5 2
,
3 2
,
求它的标准方程.
解：由于椭圆的焦点在x轴上, 所以设它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0).
由椭圆的定义知c
2,
2a
5 2
2
2
3 2
2
5 2
2
2
3 2 2
由点M 是线段PD的中点, 得
x
x
x0 , y
y0 2
.
因为点在圆x2 y2 4上,所以x02 y02 4
①
把x0 x, y0 2 y代入方程①, 得x2 4 y2 4,
即 x2 y2 1. 4
范例应用
思考：由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到 椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉 伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
2
10
所以a 10. b2 a2 c2 10 4 6, 所以所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1.
10 6
范例应用
你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点．
解法二：由于椭圆的焦点在x轴上,
所以设它的标准方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
由椭圆的定义知c
2, 所以a 2
是 4 , 可得出x, y之间的关系式, 进而得到点M的轨迹方程.
9
y
M
A
O
x
范例应用
解：设点M的坐标为( x, y),因为点A的坐标是(5, 0),
所以直线AM的斜率k AM
y (x x5
5).
同理, 直线BM的斜率kBM
y (x x5
5).
由已知,有 y y 4 ( x 5). x5 x5 9
范例应用
例3 如图, 设A, B两点的坐标分别为(5, 0),(5, 0). 直线AM , BM相 交于点M , 且它们的斜率之积是 4 , 求点M的轨迹方程.
9 分析：设点M的坐标为( x, y), 那么直线AM , BM的斜率就 可用含x, y的关系式分别表示.由直线AM , BM的斜率之积
②
对方程②两边平方, 得
( x c)2 y2 4a2 4a ( x c)2 y2 ( x c)2 y2
讲授新知
整理, 得a2 cx a ( x c)2 y2
③
对方程③两边平方, 得a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2,
整理, 得(a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
当椭圆的焦点在x轴上时，x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
当椭圆的焦点在y轴上时，y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2,3,4题。 提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集 整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课 为全班展示。
延伸拓展
伍 延伸拓展
教学目标
教学目标
1.理解椭圆的几何特征、椭圆的标准方程. 2.掌握椭圆的定义并会用定义解决相关问题. 3.理解椭圆的标准方程的推导过程，并能运用 标准方程解决相关问题.
教学重、难点
教学重、难点
重点:椭圆的定义、椭圆的标准方程. 难点:1.椭圆的标准方程的推导过程. 2.利用椭圆的定义求解实际问题.
延伸拓展
1.已知椭圆 x2 y2 1，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若 43
椭圆内一点A1,1，则 PA PF 的最小值为（?）
A．3 B．10 C．5 1
2 D．5 1
延伸拓展
1.解：设椭圆的右焦点为F2(1, 0)，AF2 1， | PA | | PF || PA | 4 | PF2 | 4 | PA | | PF2 |， 又 | PA | | PF2 | ≤| AF2 |， | AF2 |≤| PA | | PF2 |≤| AF2 |， 当P，A，F2三点共线时取等号，| PA | | PF |的最小值为3 （取最小值时P是射线F2 A与椭圆的交点）， 故选：A.
b2
c2
b2
4,
所以
x2 b2
4
y2 b2
1,
将
5 , 2
3 2
代入,
得
4b
25 2
16
9 4b2
1, 整理得2b4
9b2
18
0,
(2b2 3)(b2 6) 0, 解得b2 6, a2 b2 4 10,
所以所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1. 10 6
范例应用
例2 如图, 在圆x2 y2 4上任取一点P, 过点P作x轴的垂 线段PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段PD的中点M 的轨迹是什么? 为什么?
在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是 什么？
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的 过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到 两个定点的距离的和等于常数．
讲授新知
M
F1
F2
我们把平面内与两个定点F1 , F2的距离的和 等于常数(大于 F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆 (ellipse).
讲授新知
令b PO a2 c2 , 那么方程⑤就是
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
⑥y P
FO
1
Fx
2
讲授新知
由于方程②③的两边都是非负实数,因此方程①到方程⑥的变形都是 同解变形. 这样, 椭圆上任意一点的坐标( x, y)都满足方程⑥;
反之, 以方程⑥的解为坐标的点( x, y)与椭圆的两个焦点(c, 0), (c, 0)的 距离之和为2a, 即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.
目录
新壹
讲贰
当叁
课肆
延伍
课
授
堂
堂
伸
导
新
训
小
拓
入
知
练
结
展
壹 新课导入
新课导入
泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依， 而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离， 不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻 觅.已知点F(1,0)，直线l:x=4，动点P到点F的距离是点P到直线 l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最 远距离直线”，则点P的轨迹方程为____________.
贰 讲授新知
讲授新知
阅读教材P105内容，完成下列问题．
知识点1 椭圆的定义
探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板 的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔 尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端 拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2，套上 铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
因为PF12 PF22 PF1 PF2 2 2PF1 PF2，
所以20 36 2PF1 PF2，解得：PF1 PF2 8，
此时△F1
PF2的面积为
1 2
PF1
PF2
4，
54 4 5， 33
综上所述：△F1 PF2的面积为4或
4
5 3
.
故选：BC .
谢谢
分析：点P在圆x2 y2 4上运动, 点P的运动 引起点M 运动.我们可以由M为线段PD的中 点得到点M与点P坐标之间的关系式, 并由 点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标 所满足的方程.
范例应用
y P M
OD
解：设点M的坐标为( x, y),
点P的坐标为( x0 , y0 ),
则点D的坐标为( x0 , 0),
我们称方程⑥是椭圆的方程, 这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示焦
点在x轴上, 两个焦点分别是F1(c, 0), F2(c, 0)的椭圆, 这里c2 a2 b2 .
思考
y
如图, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0, c), (0, c), a, b的意义同上,那么 椭圆的方程是什么?
由椭圆的定义可知, 椭圆可看作点集P M MF1 MF2 2a .
因为 MF1 ( x c)2 y2 , MF2 ( x c)2 y2 .
所以（x c）2 y2 ( x c）2 y2 2a.
①
为了化简方程①,我们将其左边的一个根式移到右边, 得
( x c)2 y2 2a ( x c)2 y2
延伸拓展
2.已知椭圆E：x 2 9
y2 4
1的左､右焦点分别为F1，F2，
点P在E上，若△F1 PF2是直角三角形， 则△F1PF2的面积可能为（ ） A．5
B．4
C．4 5 3
D．2 5 3
延伸拓展
【解析】解：由 x2 y2 1可得a 3，b 2， 94
所以c a 2 b2 9 4 5，
根据对称性只需考虑PF1 F1F2或PF1 PF2，
当PF1 F1F2时，将x
5代入 x2 y2 1可得y 4 ，
94
3
F1F2 2c 2
5，PF1
4 3
，所以△F1
PF2的面积为
1 2
2
当PF1 PF2时，
由椭圆的定义可知：PF1 PF2 2a 6，
由勾股定理可得PF12 PF22 2c 2 20，
a时, c
0, 此时kPA kPB
b2 a2
1,
PA
PB.
直径所对的圆周角是直角
y P
y
A
P
AO
Bx
x B
范例应用
叁 当堂训练
肆 课堂小结
课堂小结
壹 椭圆的定义源自椭圆及其
标
准 椭圆的
方 程
标准方
程
我们把平面内与两个定点F1, F2 的距离的和等于常数(大于 F1F2 ) 的点的轨迹叫做椭圆 (ellipse).
而且过两个焦点的直线是它的对称轴, 所以我们
以经过椭圆两焦点F1 , F2的直线为x轴, 线段F1, F2
的垂直平分线为y轴, 建立平面直角坐标系,
如图所示.
y
M
F1
F2
x
讲授新知
设M ( x,y)是椭圆上任意一点, 椭圆的焦距为2c (c 0), 那么
焦点F1 , F2的坐标分别为(c, 0), (c, 0). 根据椭圆的定义, 设点 M与焦点F1 , F2的距离的和等于2a.
化简, 得点M的轨迹方程为 x2 y2 1( x 5). 25 100
9 点M的轨迹是除去(5, 0),(5, 0)两点的椭圆．
范例应用
结论：已知椭圆方程为 x2 a2
y2 b2
1 (a
b
0),
A(a, 0),
B(a, 0),
P(x,
y)为椭圆上任一点,
则kPA
kPB
b2 a2
.
特殊情况, 当b
这两个定点叫做椭圆的焦点（focus）， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（focusdistance）， 焦距的一半称为半焦距． 由椭圆的定义可知， 上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆．
思考 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所 得的椭圆方程形式简单？
讲授新知
观察我们画出的图形, 可以发现椭圆具有对称性,