三角函数的图像与性质典例及练习(超好)

专题：三角函数性质与图像
备注：以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．
. 函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握. 如①sin y x
=−−−−→图例变化为
②sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)相应地，
①
的单调增区间
2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦
−−−→变为
2222
k x k πππωϕπ-+++≤≤的解集是②的增区间.
注:⑴)sin(ϕω+=x y 或cos()y x ωϕ=+（0≠ω）的周期ω
π
2=T ;
⑵sin()y x ωϕ=+的对称轴方程是2
x k π
ωϕπ+=+
（Z k ∈），对称中心
cos()y x ωϕ=+的对称轴方程是x k ωϕπ+=（Z k ∈），对称中心
)tan(ϕω+=x y 的对称中心 .
二．基础训练
1． 函数1π2sin()23
y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin
2
x
y =的最小正周期是 ． 3．函数]),0[)(26
sin(
2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是 ．
4．为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）
(A)向右平移
6π个单位长度 (B)向右平移3π
个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3
π
个单位长度
5． 函数sin 3cos y x x =+在区间[0,2
π
]的最小值为______.
6．已知f (x )=5sin x cos x －35cos 2x +
32
5
（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期；
⑵求f (x )单调区间；
⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。

sin y x =
cos y x =
()ϕω+=x A y sin （A 、ω
＞0）
定义域 R
R
R
值域
[1,1]-
[1,1]-
[]A A ,-
周期性
π2
π2
2π
ω
奇偶性 奇函数
偶函数
当,0≠ϕ
非奇非偶, 当,0=ϕ奇函数
单调性
[2,
2]22
k k π
π
ππ-
++上为增函数；
3[2,2]22
k k ππ
ππ++上为减函数. （Z k ∈）
()[21,2]k k ππ-上为增函数;
()[2,21]k k ππ+上为减函数. （Z k ∈）
12222,
k k ππϕππϕω
ω
⎡⎤
--+-⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦
上增函数； 32222,k k ππϕππϕωω⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
上减函数（Z k ∈）
tan y x =
cot y x = 定义域
1|,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬
⎩⎭
且
{}|,x x R x k k Z π∈≠∈且
值域 R
R
周期性 π
π
奇偶性 奇函数
奇函数
单调性
⎪⎭
⎫
⎝⎛++-ππππk k 2,2上为增函数（Z k ∈）
()()ππ1,+k k 上为减函数（Z k ∈）
三．例题选讲
考点1. 三角函数图像变换
[例1] 将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4
y x π
=-的图
像？
变式2：将函数1sin(2)33
y x π
=
+的图像作怎样的变换可以得到函数sin y x =的图像？
考点2. 三角函数图像
[例2]已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛
⎫=+<
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为（ ）Ａ．6T =，π
6
ϕ= Ｂ．6T =，π3ϕ=
Ｃ．6πT =，π6ϕ= Ｄ．6πT =，π3
ϕ= 变式1：函数πsin 23y x ⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭在区间ππ2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，的简图是（ ）
考点3. 三角函数性质
[例3]求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．
(1) 34sin(2)23
y x π
π=
+； (2) 6sin(2.52)2y x =-++
变式1：已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于（ ）
（A ）
23 （B ）3
2
（C ）2 （D ）3 变式2：关于x 的函数f （x ）=sin （x +ϕ）有以下命题：
①对任意的ϕ，f （x ）都是非奇非偶函数； ②不存在ϕ，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数； ③存在ϕ，使f （x ）是奇函数； ④对任意的ϕ，f （x ）都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当ϕ=_____时，该命题的结论不成立。

变式3、函数()12sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭
＋的最小正周期是 .
变式4、下列函数中，既是（0，2
π
）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( )
(A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2
变式5、已知⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πx ，求函数)12
5cos()12
cos(x x y +--=ππ的值域
考点4. 三角函数的简单应用
[例4]已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+．
（１）右图是sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2
π
ϕ<
），在一个周期内的图象，根据图
中数据求sin()I A t ωϕ=+的解析式； （２）如果t 在任意一段
1
150
秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
变式：如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似
满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b .
（Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．
考点5. 三角恒等变换
[例5]化简：(1sin cos )(sin
cos )2222cos θ
θ
θθθ
++-+．
变式1：函数y ＝
x
x cos sin 21
++的最大值是（ ）．
A.
22－1 B. 22＋1 C.1－22 D.－1－2
2 变式2：已知
cos 22
π2sin 4αα=-
⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，求cos sin αα+的值． 变式3：已知函数2
π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫
=+-
⎪⎝⎭
，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．求()f x 的最
大值和最小值．
四．巩固训练A 组
五．1．函数x x f 2
sin 21)(-=的最小正周期为
3．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是( ) (A)3
,1π
ϕω=
= (B)3
,1π
ϕω-
== (C)6
,21πϕω==
(D)6,21π
ϕω-==
3．函数)(2cos 2
1
cos )(R x x x x f ∈-
=的最大值等于 4．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为 6．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛
⎫
=+
> ⎪3⎝⎭
的最小正周期为π，
则该函数的图象（ ） A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，
对称
B ．关于直线x π
=
4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4
⎝⎭
，
对称
D ．关于直线x π
=
3
对称 300
-3001
180
-1900
o
I
t
7．函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ--
B ．5[,]66ππ--
C ．[,0]3π-
D ．[,0]6
π- 8．设函数()sin ()3f x x x π⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭R ，则()f x （ ）
A ．在区间2736ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上是增函数
B ．在区间2π⎡
⎤-π-⎢⎥⎣
⎦，上是减函数 C ．在区间84
ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上是增函数
D ．在区间536
ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上是减函数 9．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫
=- ⎪3⎝⎭
的图象（ ） A ．向右平移
π6个单位 B ．向右平移π
3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π
6
个单位
10．函数π
()3sin(2)3f x x =-的图象为
①图象C 关于直线π12
11=x 对称; ②函灶)(x f 在区间)12π
5,12π(-内是增函数;
③由x y 2sin 3=的图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C . 其中正确的个
数有（ ）个 （A ）0
（B ）1 （C ）2 （D ）3
11．设f (x) = x x 2sin 3cos 62
- （1）求f(x)的最大值及最小正周期；
（2）若锐角α满足323)(-=αf ，求tan α5
4
的值。

12．已知函数)
2
sin(42cos 2ππ+⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-x x 。

（Ⅰ）求f (x )的定义域； （Ⅱ）若角a 在第一象限且）。

（求a f a ,5
3
cos =
13．已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+
+--∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
R ，（其中0ω>）
（I ）求函数()f x 的值域； （II ）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为
π
2
，求函数()y f x =的单调增区间．
B 组
1.为得到函数πcos 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）
A ．向左平移
5π
12个长度单位
B ．向右平移
5π
12个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
2.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所
得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函
数是
A sin(2)3y x π
=-
，x R ∈ B sin()26x y π
=+，x R ∈ C sin(2)3y x π=+，x R ∈ D sin(2)3
2y x π
=+，x R ∈
3.函数f (x )＝3sin x +sin(π
2+x )的最大值是
4. ()cos 6f x x πω⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的最小正周期为
5
π
，则ω= ． 5.已知函数()(s i n c o s )s f x x
x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期
是 ．
6．已知函数2
π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭
（0ω>）
的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
7．已知函数2
2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周
期是
2
π
． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．
8．已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域
9．已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2
π （Ⅰ）f （
8
π
）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移
6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.。