概率论-历年试题-12-13(2)A答案-024

上海财经大学浙江学院
《概率论与数理统计》期末考试卷答案（A 卷）
(2012—2013学年第二学期)
一、 单项选择题(每题3分，共15分)
B C D B C
二、 填空题(每题3分，共15分)
1、0.52
2、1
2 3、0.0227
4、1p -
5、8
9
p ≥
三、 计算题(共70分)
1、（10分）解：设A 表示“取到的是一只次品”，i B ，()1,2,3i =表示“所取到的产品是由第i 家工厂提供的”。

易知，123,,B B B 是样本空间的一个划分，且有()10.15P B =，()20.75P B =，()30.10P B =，
()10.03P A B =，()20.02P A B =，()30.04P A B =。

（1） 由全概率公式
()()()()()()()
112233P A P A B P B P A B P B P A B P B =++
0.030.150.020.750.040.100.0235=⨯+⨯+⨯= （5分）
(2)由贝叶斯公式
()()()()()()11110.030.15
0.191489361702130.0235
P A B P B P AB P B A P A P A ⨯==
=
=；
()()()()()
()22220.020.75
0.638297872340430.0235
P A B P B P AB P B A P A P A ⨯===
=；
()()()
()()()
33330.040.10
0.170212765957450.0235
P A B P B P AB P B A P A P A ⨯=
==
=；
以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大。

（10分） 2、（10分）解： （1）由归一性
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
，即1
01Axdx =⎰，得2A =，因此()f x =2,01
0,x x ≤≤⎧⎨⎩
其他； （2分）
(2)由分布函数的定义式()()x
F x f t dt -∞
=⎰
，
当0x <时，()0F x =； 当01x ≤<时，()()202x
x
F x f t dt tdt x -∞
===⎰⎰；
当1x ≥时，()()10
21x
F x f t dt tdt -∞
=
==⎰
⎰；
综上可得分布函数为
()()2
00
0111
x
x F x f t dt x x x -∞
<⎧⎪
==≤<⎨⎪≥⎩
⎰
（7分） (3)由连续型随机变量区间概率公式有
()1111-1<x<-102244P F F ⎧⎫⎛⎫
=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭
即 11-1<x<24P ⎧
⎫=⎨⎬⎩⎭。

（10分）
3、（15分）解：由已知()1,1X
U -，则密度函数为
()1
11=2
X x f x ⎧-<<⎪
⎨⎪⎩其他
（1分）
（1）因为()X
Y g X e ==，是单调可导函数，且反函数及其导数
()ln h Y Y = ， ()1
h Y Y
'=
根据相关定理可得
()()()
()()1111,
11220,Y X h y e y e y y f y f h y h Y -⎧=-<<<<⎪'==⎨
⎪⎩
，即其他
因此X
e Y =的概率密度为
()1
1,20,Y e y e
y f y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩
其他 （7分）
（2）因为()2
1Y g X X ==+，不是单调可导函数，利用分布函数法
()()()()2211Y F y P Y y P X y P X y =≤=+≤=≤-
若10y -≤，则()0Y F y =；
若10y ->，则()(
)
(
(
)21Y X F y P X y P X f x dx =≤-=≤≤
=，等式左右两边对
y 求导得到
()(
)
(
Y X X
X f y f x dx f f '''⎛⎫==- ⎪⎝⎭
(
)
X
X f f =
+
11222y ⎫=
+=<⎪
⎭
因此2
1Y X =+的概率密度为
(
)120,Y y f y <<=⎩
其他 （15分）
4、（15分）解：（1）由归一性可知(),1f x y dxdy ∞∞
-∞-∞
=⎰⎰
即
02
1x y cxydxdy ≤≤≤=⎰⎰
得1
2
c =
（2分） （2）由边缘密度函数的公式可得
()()2
311
,0224X x f x f x y dy xydy x x x ∞
-∞===-≤≤⎰
⎰
，
()()3011
,0224y Y f x f x y dx xydx y y ∞-∞===≤≤⎰⎰，
则()31,0240,X x x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，()
3
1,02
40,
Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 （6分） （3）()()2
30116415X E X xf x dx x x x dx ∞
-∞⎛
⎫=
=-= ⎪⎝⎭
⎰⎰ ()()2222301443X E X x f x dx x x x dx ∞-∞⎛
⎫==-= ⎪⎝
⎭⎰⎰
()()2
301845Y E Y yf y dy y
y dy ∞
-∞===⎰⎰
()()222
2301843
Y E Y y f y dy y y dy ∞-∞===⎰⎰
()()02
116
,29
x y E XY xyf x y dxdy xy
xydxdy ∞
∞
-∞-∞
≤≤≤==
=⎰
⎰
⎰⎰
()()()2
2
2
41644315225
D X
E X E X ⎛⎫=-=-=
⎪⎝⎭ ()()()2
22888
3575
D Y
E Y E Y ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
()()()()1616816
,9155225
Cov X Y E XY E X E Y =-=
-=
（12分） 16
,0.49243322575
XY Cov X Y ρ=
=
=≈ （15分）
5、（10分）解：由于X 与Y 同分布，所以Y 的概率密度为
1 , 1 ()0 , y Y e y f x -⎧>=⎨
⎩其它 1() , 1
()0 , z x Y e x z f z x --⎧<--=⎨⎩其它
2 , 1 , 1
()()0 ,
z X Y e x z x f x f z x -⎧<->⋅-=⎨
⎩其它 （4分） 由卷积公式可得
()1
221 , 2 (2) , 2
()()0 , 0 ,
z z z Z X Y e dx z e z z f z f x f z x dx ---∞
-∞
⎧⎧>->⎪=⋅-==⎨⎨
⎩⎪⎩⎰⎰其它其它 因此Y X Z +=的概率密度为
()2(2) , 2
0 , z Z e z z f z -⎧->=⎨⎩其它
（10分）
6、（10分）解： 由题意知，X 服从)2.0,100(B ，则()1000.220E X np ==⨯=，
()()11000.20.816D X np p =-=⨯⨯= （4分） 所以由中心极限定理可得：
()()30201420(1430) 2.5 1.544(2.5)(1.5)10.99380.933210.927
P ξ--⎛⎫⎛⎫≤≤=Φ-Φ=Φ-Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=Φ+Φ-=+-= （10分）。