2017-2018学年陕西省渭南市富平县高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年陕西省渭南市富平县高二（上）期末数学试卷（理
科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项
2．（5分）设a＞b，c＞d，则下列不等式恒成立的是（）
A．a﹣c＞b﹣d B．ac＞bd C．D．b+d＜a+c 3．（5分）已知＝（1，﹣3，2），若∥，则的坐标可以是（）A．（﹣1，﹣3，2）B．（﹣2，6，﹣4）C．（3，﹣9，﹣6）D．（﹣3，9，6）4．（5分）原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）
A．0个B．1个C．2个D．4个
5．（5分）命题“∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”的否定是（）
A．∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1B．∃x0∉（0，+∞），lnx0＝x0﹣1
C．∀x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1D．∀x0∉（0，+∞），lnx0＝x0﹣1
6．（5分）已知两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）和一动点P，若|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程为（）
A．＝1B．
C．D．
7．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a6＝（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4
8．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a+b≥2B．C．D．a2+b2＞2ab 9．（5分）如图，在四面体A﹣BCD中，点E是CD的中点，点G是BE的中点，若＝x
+y+z，则x+y+z＝（）
A．B．C．D．1
10．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b cos A+a cos B ＝2，则△ABC的外接圆的面积为（）
A．4πB．8πC．9πD．36π
11．（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B 在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．（5分）已知双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，第一象限内的点M（x0，y0））在双曲线C1的渐近线上，且MF1⊥MF2，若以F2为焦点的抛物线C2：y2＝2px（p＞0）经过点M，则双曲线C1的离心率为（）
A．2﹣B．2+C．1+D．2+
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）不等式≤0的解集为．
14．（5分）已知向量＝（λ+1，1，2），＝（λ+2，2，1），若（+）⊥（﹣），则实数λ的值为．
15．（5分）已知实数x，y满足，则x＝2x+y的最大值为．
16．（5分）一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C形成等差数列．（1）求cos B的值；
（2）若b＝，a＝2，求△ABC的面积．
18．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n＝a n+b n，求数列{c n}的前n项和．
19．（12分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F且倾斜角的直线与抛物线交于不同的两点A，B，求弦长|AB|．
20．（12分）已知命题p：关于x的方程x2+2mx+2m+3＝0无实根；命题q：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆．
（Ⅰ）若命题q为真，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∧q”为假，p∨q”为真，求实数m的取值范围．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2．E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．
22．（12分）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2＝9上．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C2：＝1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为．直线l：y＝kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB 为直径的圆的外部，求k的取值范围．
2017-2018学年陕西省渭南市富平县高二（上）期末数学
试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：数列…，
各项的平方为：2，5，8，11，…
则a n2﹣a n﹣12＝3，
又∵a12＝2，
∴a n2＝2+（n﹣1）×3＝3n﹣1，
令3n﹣1＝20，则n＝7．
故选：B．
2．【解答】解：∵a＞b，c＞d
∴设a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，d＝﹣5
选项A，1﹣（﹣2）＞﹣1﹣（﹣5），不成立
选项B，1×（﹣2）＞（﹣1）×（﹣5），不成立
取选项C，，不成立
故选：D．
3．【解答】解：∵＝（1，﹣3，2），∥，
∴＝，
当λ＝﹣2时，的坐标可以是（﹣2，6，﹣4）．
故选：B．
4．【解答】解：原命题：若c＝0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．
故选：C．
5．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题“∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”的否定是∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1；
故选：A．
6．【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），
∴|F1F2|＝2，
∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，
即|PF1|+|PF2|＝4，
∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，
∵2a＝4，a＝2
c＝1
∴b2＝3，
∴椭圆的方程是．
故选：B．
7．【解答】解：a1，a3，a4成等比数列，
可得a32＝a1a4，
可得（a1+2d）2＝a1（a1+3d），
由等差数列{a n}的公差为d＝2，
即有（a1+4）2＝a1（a1+6），
解得a1＝﹣8，
则a6＝a1+5d＝﹣8+10＝2．
故选：A．
8．【解答】解：因为ab＞0，则或，则排除A与B；由于a2+b2≥2ab恒成立，当且仅当a＝b时，取“＝”，故D错；
由于ab＞0，则，即，所以选C．
故选：C．
9．【解答】解：＝（）
＝+×（）
＝++
∴x+y+z＝1
故选：D．
10．【解答】解：∵b cos A+a cos B＝2，
∴由余弦定理可得：b×+a×＝2，整理解得：c＝2，又∵，可得：sin C＝＝，
∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R＝＝＝6，可得：R＝3，
∴△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝9π．
故选：C．
11．【解答】解：由p⇒q，反之不成立．
∴p是q的充分不必要条件．
故选：A．
12．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），由题意可得y0＝x0，①
又MF1⊥MF2，
可得•＝﹣1，
即为y02+x02＝c2，②
由a2+b2＝c2，联立①②可得x0＝a，y0＝b，
由F为焦点的抛物线C2：y2＝2px（p＞0）经过点M，
可得b2＝2pa，＝c，
即有b2＝4ac＝c2﹣a2，
由e＝，可得e2﹣4e﹣1＝0，
解得e＝2+，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【解答】解：∵≤0，
∴，
解得：0≤x＜1，
故不等式的解集是{x|0≤x＜1}，
故答案为：{x|0≤x＜1}．
14．【解答】解：∵向量＝（λ+1，1，2），＝（λ+2，2，1），
∴＝（2λ+3，3，3），＝（﹣1，﹣1，1），
∵（+）⊥（﹣），
∴（）•（）＝﹣2λ﹣3﹣3+3＝0，
解得实数λ＝﹣．
故答案为：﹣．
15．【解答】解：实数x，y满足表示的区域如图：解得A（2，10）．z＝2x+y得到y＝﹣2x+z，所以当直线经过图中A时，直线在y轴上的截距最大，
所以最大值为2×2+10＝14；
故答案为：14．
16．【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长轴为：＝8，
∵a2＝b2+c2，∴c＝＝2，
∴椭圆的焦距为；
故答案为：4．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）△ABC中，三内角A，B，C形成等差数列，
故有2B＝A+C，结合三角形内角和公式可得B＝，A+C＝，
∴cos B＝．
（2）b＝，a＝2，∴B＞A，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac•cos B，即7＝4+c2﹣4c•，即（c﹣3）（c+1）＝0，∴c＝3．
∴△ABC的面积为•ac•sin B＝•2•3•＝．
18．【解答】（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）设等比数列{b n}的公比为q，则q＝＝＝3，
所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，
所以b n＝3n﹣1（n∈N*）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
设等差数列{a n}的公差为d．
因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，
所以1+13d＝27，即d＝2．
所以a n＝2n﹣1（n∈N*）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（Ⅱ）由（1）知，c n＝a n+b n＝2n﹣1+3n﹣1．
从而数列{c n}的前n项和
S n＝1+3+…+（2n﹣1）+1+3+…+3n﹣1
＝＝n2+．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
19．【解答】解：（1）抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，
且过一点P（4，m），
可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），
P（4，m）到焦点的距离为6，
即有P到准线的距离为6，即4+＝6，
解得p＝4，
即抛物线的标准方程为y2＝8x；
（2）由F（2，0），k＝tan＝1，直线方程为y＝x﹣2，
联立直线与抛物线方程得：可得x2﹣12x+4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理知：x1+x2＝12，
由|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+p，
可得|AB|＝12+4＝16．
20．【解答】解：（Ⅰ）∵方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴，即﹣1＜m＜1，
∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（﹣1，1）；
（Ⅱ）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
则p，q为一个真命题，一个假命题，
若关于x的方程x2+2mx+2m+3＝0无实根，
则判别式△＝4m2﹣4（2m+3）＜0，
即m2﹣2m﹣3＜0，得﹣1＜m＜3．
若p真q假，则，此时无解，
柔p假q真，则，得1≤m＜3，
综上，实数m的取值范围是[1，3）．
21．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝，
∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．
设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…（6分）
＝（1，1，0），＝（0，0，a），＝（，﹣，），
取＝（1，﹣1，0），则•＝•＝0，为面P AC的法向量．
设＝（x，y，z）为面EAC的法向量，则•＝•＝0，
即取x＝a，y＝﹣a，z＝﹣2，则＝（a，﹣a，﹣2），
依题意，|cos＜，＞|＝＝＝，则a＝2．…（10分）
于是＝（2，﹣2，﹣2），＝（1，1，﹣2）．
设直线P A与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，即直线P A与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）
22．【解答】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），由题意可知…（2分）
解得：，
所以抛物线C1的方程为：y2＝8x…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C1的焦点F（2，0），
∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合∴椭圆C2半焦距c＝2，m2﹣n2＝c2＝4，∵椭圆C2的离心率为，∴，，
∴椭圆C2的方程为：…（6分）
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由得（4k2+3）x2﹣32kx+16＝0
由韦达定理得：，…（8分）
由△＞0⇒（﹣32k）2﹣4×16（4k2+3）＞0或…①…（10分）
∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则，
∴
＝
＝
＝…②
由①、②得实数k的范围是或…（13分）。