课时作业10：§8.4 空间中的平行关系

§8.4 空间中的平行关系
A级基础达标
1．对于空间的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是()
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
2．设平面α，β，直线a，b，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线的条数是()
A．2 B．4 C．6 D．8
4．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH 分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()
A．平行B．相交
C．异面D．平行或异面
6．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
可以填入的条件有()
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
A．①②B．②③C．①③D．①②③
7．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若a⊂α，b⊄α，a，b是异面直线，那么b∥α；
②若a⊂α，b∥α，a，b共面，那么a∥b；
③若α∥β，a⊂α，则a∥β.
上面命题中，所有真命题的序号是________．
8．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________cm2.
9．已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝5，
SB＝7，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且SF
SC＝λ，SA∥平面BEF.
(1)求实数λ的值；
(2)求三棱锥F－EBC的体积．
10．在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；
(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC.
B级知能提升
1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF ＝2
2
，则下列结论中错误的是( )
A ．AC ⊥BF
B ．三棱锥A －BEF 的体积为定值
C ．EF ∥平面ABCD
D ．异面直线A
E 、B
F 所成的角为定值
2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，若A 1M ＝AN ＝2a
3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定
3．空间四边形ABCD 的两条对棱AC ，BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是________．
4．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .
(1)证明：GH ∥EF ；
(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．
5．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，
AA1＝AB＝2.
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)设BC＝3，求四棱锥B－DAA1C1的体积．
参考答案
A级基础达标
1．【答案】D
【解析】对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故选D.
2．【答案】B
【解析】由平面与平面平行的判定定理可知，若直线a，b是平面α内两条相交直线，且有“a∥β，b∥β”，则有“α∥β”；当“α∥β”，若a⊂α，b⊂α，则有“a∥β，b∥β”，因此“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B.
3．【答案】C
【解析】取A1C1，B1C1，AC，BC的中点E，F，G，H，易知平面EFHG∥平面ABB1A1，所以满足条件的直线有EF，FG，GH，HE，EG，FH，共6条直线．故选C.
4．【答案】D
【解析】A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故选D.
5．【答案】A
【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD ＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.故选A.
6．【答案】C
【解析】由面面平行的性质定理可知①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选C.
7．【答案】②③
【解析】①中的直线b与平面α也可能相交，故不正确；由线面平行的性质得②正确；由面面平行的性质可得③正确．
8．【答案】
6 4
【解析】如图所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD 的交点，
∴E 为DD 1的中点，
∴S △ACE ＝12×2×32＝6
4
(cm 2)．
9．解：(1)连接AC 交EB 于M ，连接FM . ∵△MAE ∽△MCB ，
∴MA MC ＝AE BC ＝12，AM AC ＝1
3
. ∵SA ∥平面BEF .平面SAC ∩平面BEF ＝FM . ∴SA ∥FM .
∴SF SC ＝AM AC ＝13，即λ＝13
. (2)∵SA ＝SD ＝5，E 为AD 中点． ∴SE ⊥AD 且SE ＝2.
∵BE ＝3，SB ＝7，∴SE 2＋BE 2＝SB 2. ∴SE ⊥BE .∴SE ⊥平面ABCD .
∴V F －EBC ＝23V S －EBC ＝13V S －ABCD ＝13×2×13×2×32×2＝439.
10．证明：(1)因为EF ∥DB ，所以EF 与DB 确定平面BDEF .
连接DE ，因为AE ＝EC ，D 为AC 的中点，所以DE ⊥AC . 同理可得BD ⊥AC .
又BD ∩DE ＝D ，所以AC ⊥平面BDEF . 因为FB ⊂平面BDEF ， 所以AC ⊥FB .
(2)设FC 的中点为I .连接GI ，HI .
在△CEF 中，因为G 是CE 的中点，所以GI ∥EF . 又EF ∥DB ，所以GI ∥DB .GI ∥平面ABC .
在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC .HI ∥平面ABC ， 又HI ∩GI ＝I ，所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .
B 级 知能提升
1．【答案】 D
【解析】 ∵ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，易证AC ⊥BDD 1B 1，∵BF ⊂平面BDD 1B 1，∴AC ⊥BF ，故A 正确；对于选项B ，∵E 、F 、B 在平面BDD 1B 1上，∴A 到平面BEF 的距离为定值，∵EF ＝
2
2
，B 到直线EF 的距离为1，∴△BEF 的面积为定值，∴三棱锥A －BEF 的体积为定值，故B 正确；对于选项C ，∵EF ∥BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ，故C 正确；对于选项D ，异面直线AE 、BF 所成的角不为定值，令上底面中心为O ，当F 与B 1重合时，E 与O 重合，易知两异面直线所成的角是∠A 1AO ，当E 与D 1重合时，点F 与O 重合，连接BC 1，易知两异面直线所成的角是∠OBC 1，可知这两个角不相等，故异面直线AE 、BF 所成的角不为定值，故D 错误．故选D. 2．【答案】 B
【解析】 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a 3
，
∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1.
∵AD 1∥BC 1，∴PN ∥BC 1.
∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面BB 1C 1C .
∴面MNP ∥面BB 1C 1C ，∴MN ∥面BB 1C 1C .故选B. 3．【答案】 (8,10)
【解析】 设DH DA ＝GH AC ＝k (0<k <1)，∴AH DA ＝EH
DB ＝1－k ，∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )，∴周长＝
8＋2k .又∵0<k <1，∴周长的范围为(8,10)．
4．(1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .
(2)解：如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC .
同理可得PO ⊥BD .
又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .
又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD . 从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高． 由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4. 从而KB ＝14DB ＝1
2OB ，即K 为OB 的中点．
再由PO ∥GK ，得GK ＝1
2PO .
即G 是PB 的中点，且GH ＝1
2BC ＝4.
由已知可得OB ＝42，
PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6， 所以GK ＝3.
故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋8
2
×3＝18.
5．(1)证明：连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD ，如图所示．
∵四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点O 为B 1C 的中点． ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△AB 1C 的中位线， ∴OD ∥AB 1. ∵OD ⊂平面BC 1D ， AB 1⊄平面BC 1D . ∴AB 1∥平面BC 1D .
(2)解：∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴平面ABC ⊥平面AA 1C 1C . ∵平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， 连接A 1B ，作BE ⊥AC ，垂足为E ， 则BE ⊥平面AA 1C 1C .
∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，AB ⊥BC ，
∴在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4＋9＝13. ∴BE ＝AB ·BC AC ＝6
13
.
∴四棱锥B －AA 1C 1D 的体积V ＝13×12(A 1C 1＋AD )·A 1A ·BE ＝16×3213×2×6
13
＝3.。