你知道运用勾股定理解题应注重哪些思想方法吗

运用勾股定理解题应注重的思想方法
江苏 刘顿
数学思想方法是解决数学问题的灵魂．正解的运用数学思想方法也是成功解题的关键．尤其是在运用勾股定理解题时，更应注重思想方法的运用，那么你知道运用勾股定理解题应注重哪些思想方法吗？为了帮助同学们能清楚地知道这一问题，现就常用的思想方法举例说明，供同学们学习时参考．
一、方程思想
例1 如图1，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．
分析 设EC x =，则8DE x =-，由于折叠矩形的边AD 且D 落在点F 处，故AFE △和ADE △完全重合，则8EF x =-，10AF AD ==，在Rt EFC △中运用勾股定理，即可得到关于x 的方程，即可求出x 的值．
解 因为D ，E 关于AE 对称，所以AFE △和ADE △完全重合，即10AF AD BC ===，DE EF =，设EC x =，则8DE x =-，
所以在Rt ABF △
中，由勾股定理，得6BF =
=， 所以4FC BC BF =-=，
在Rt EFC △中，由勾股定理，得2224(8)x x +=-，解得3x =，
所以EC 的长为3cm ．
说明 折叠问题和轴对称紧密相关，要注意分清对称轴，在求解这类问题时可以根据题意引进未知数，利用勾股定理来布列方程即能简易求解．
例2 如图2，ABC △中，22.5B ∠=，60C ∠=，AB 的垂直平分线交BC 于D
，BD =AE BC ⊥于E ，求EC 的长．
分析 由条件22.5B ∠=和AB 的垂直平分线交BC 于D 可想到连结AD ，这样就可以充分运用条件，构造方程求解．
解 连接AD ，则AD BD =，
因为22.5B ∠=，所以45ADE ∠=，所以AE DE =，
图1
F 图2
C
因为BD =
222AE =，即6AE =．
在Rt AEC △中，60C ∠=，则2AC EC =，
设EC x =，则2AC x =，由勾股定理，得2226(2)x x +=，
得x =
即EC =
说明 遇到含30的直角三角形时一定要注意：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的使用．即含30的直角三角形中三边之比是1
2．
二、分类讨论思想
例3 已知一个直角三角形的两边长是3cm 和4cm ，求第三边的长．
分析 已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论． 解 当3cm 和4cm 是两条直角边时，
＝5；当3cm 是直角边，4cm 是斜边时，
=．
说明 求解本题许多同学往往受勾3股4弦5的思维定势，而误认为3cm 和4cm 就是直角三角形的两条直角边，斜边当然是5cm 了，从而漏掉一解导致错误．
例4 一个等腰三角形的周长为14cm ，一边长4cm ，求底边上的高．
分析 一边长4cm ，并没有指明是底边还是腰，所以应分类讨论．
解 当4cm 的边为底边时，腰长就是5cm
，所以由勾股定理求得底边上的高是=当4cm 的边为腰时，底边长就是6cm ，所以由勾股定理求得底边上的高
=
说明 这里对等腰三角形的分类讨论，实际上就是对直角三角形的边的讨论．
三、数形结合思想
例5 在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树
20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离
相等，问这棵树有多高？
分析 根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程
求解．
解 如图3，D 为树顶， 10m AB =，C 为池塘，20m AC =，设BD 的长是m x ，则树高(10)x m +．因为AC AB BD DC +=+，所以
2010DC x =+-，在ACD △中，90A ∠=，所以222AC AD DC +=．故22220(10)(30)x x ++=-，解得5x =．所以1015x +=，即树高15米．
说明 勾股定理的本身就是数形结合的体现，求解时它又与方程紧密相联．
四、转化思想
图
3 B
例6 如图4，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 距点C 5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短路程是多少？
分析 由于蚂蚁是沿着长方体的表面爬行的，故需把长方体转化展开成平面图形，根据两点之间线段最短，蚂蚁爬行的路线有两种可能（如图5、图6）利用勾股定理容易求出图
5、图6中AB 的长度，比较后即可求得蚂蚁爬行的最短路程．
解 将长方体展开成平面图形．因为两点之间线段最短，所以所求的爬行路程是线段AB 的长度，根据点B 在图上的位置，展开后线段AB 有两种可能，即图5和图6．
在图5中，由勾股定理，得222
20(105)625AB =++=，所以25AB =，
在图6中，由勾股定理，得22210(205)725AB =++=，
因为625725<，所以蚂蚁需要爬行的最短路程是25cm ．
说明 这里原本是求最短距离，却转化成研究长方体的展开图问题，但最终还是利用勾股定理求两点间的距离问题． 图
4
图5 B A 图6
A B。