§8.2 空间点、线、面的位置关系 5年高考3年模拟(课标版)复习教学案

§8.2空间点、线、面的位置关系
挖命题
【考情探究】
考点内容解读
5年考情
预测热度考题示例考向关联考点
点、线、面的位置关系①理解空间直线、平面位置关
系的定义,并了解四个公理及推
论;②会用平面的基本性质证明
点共线、线共点以及点线共面
等问题;③理解空间两直线的位
置关系及判定,了解等角定理和
推论
2016浙江,2,5分直线、平面的位置关系线面垂直的性质
★★☆
2016山东,6,5分直线、平面的位置关系充分条件与必要条件
2016课标全国Ⅰ,11,5分异面直线所成的角面面平行的性质
2018课标全国Ⅱ,9,5分异面直线所成的角线面垂直的性质
分析解读高考对本节内容的考查主要体现在两个方面:一是以四个公理和推论为基础,考查点、线、面之间的位置关系;二是考查两直线的位置关系.考查形式以选择题和填空题为主,也可能在解答题中出现,本节内容主要考查学生的空间想象能力,所以在备考时应加强训练.
破考点
【考点集训】
考点点、线、面的位置关系
1.(2019届黑龙江顶级名校11月联考,4)若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列说法中正确的是()
A.α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n
B.α⊥γ,β⊥γ⇒α∥β
C.α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β
D.α∩β=m,β∩γ=n,m∥n⇒α∥β
答案C
2.(2018湖南益阳、湘潭两市联考,10)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有()
A.①③
B.②③
C.②④
D.②③④
答案C
3.(2019届四川顶级名校10月联考,6)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线DC1和B1C所成角的大小为()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案C
4.下列说法中,正确的个数是()
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行;③经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;④两条相交直线,其中一条直线与一个平面平行,则另一条直线一定与这个平面平行.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案C
5.若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则()
A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行
B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直
C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交
D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面
答案B
6.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,则异面直线CD1与EF所成的角的大小为.
答案90°
7.求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.
解析已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.
求证:直线a,b,c,l共面.
证明:如图所示,因为a∥b,所以由公理2的推论3可知直线a与b确定一个平面,设为α.
因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.
又因为A∈l,B∈l,所以由公理1可知l⊂α.
因为b∥c,所以由公理2的推论3可知直线b与c确定一个平面β,同理可知l⊂β.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由公理2的推论2知,平面α与平面β重合,所以直线a,b,c,l共面.
炼技法
【方法集训】
方法1证明点共线、线共点及点线共面的方法
1.(2018河南濮阳一高10月月考,18)如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足
AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E,F,G的平面交AD于H,连接EH.
(1)求AH∶HD;
(2)求证:EH,FG,BD三线共点.
解析(1)∵AE
EB =CF
FB
=2,∴EF∥AC,又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴EF∥平面ACD,
又∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ACD=GH,∴EF∥GH.
而EF∥AC,∴AC∥GH,∴AH
HD =CG GD
=3.
∴AH∶HD=3∶1.
(2)证明:∵EF∥GH,且EF
AC =1
3
,GH
AC
=1
4
,∴EF≠GH,
∴四边形EFGH为梯形,∴直线EH,FG必相交.
设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,∴P∈平面ABD,
同理,P∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈BD.
∴EH,FG,BD三线共点.
2.(2017四川成都联考,18)如图所示,已知l1,l2,l3,l4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l1,l2,l3,l4共面.
证明证法一:∵A,C,E不共线,
∴它们确定一个平面α,又A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,
同理,l2⊂α,又B∈l1,D∈l2,∴B∈α,D∈α,
∴l3⊂α,同理,l4⊂α,
故l1,l2,l3,l4四条直线共面.
证法二:∵点A,C,E不共线,
∴它们确定一个平面α,
又∵A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,
又∵F,D,E不共线,
∴它们确定一个平面β.
又D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4,
∴l3⊂β,l4⊂β.
而不共线的三点B,C,D可确定一个平面,
又B,C,D既在α内又在β内,
故平面α与平面β重合.
∴l1,l2,l3,l4四条直线共面.
方法2异面直线所成角的求解方法
1.(2019届广东七校9月联考,10)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AA1=2AB,D是AA1的中点,则BD与A1C1所成角的余弦值为()
A.1
2B.√2
4
C.√2
2
D.2√2
3
答案B
2.(2018湖南永州三模,7)三棱锥A-BCD的所有棱长都相等,M,N分别是棱AD,BC的中点,则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()
A.1
3B.√2
4
C.√3
3
D.2
3
答案D
3.如图,已知在三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,AD的中点,则直线AB与MN所成角的大小为.
答案60°或30°
过专题
【五年高考】
A组统一命题·课标卷题组
考点点、线、面的位置关系
1.(2018课标全国Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()
A.√2
2B.√3
2
C.√5
2
D.√7
2
答案C
2.(2016课标全国Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n 所成角的正弦值为()
A.√3
2B.√2
2
C.√3
3
D.1
3
答案A
B组自主命题·省(区、市)卷题组
考点点、线、面的位置关系
1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()
A.m∥l
B.m∥n
C.n⊥l
D.m⊥n
答案C
2.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案A
3.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
答案D
4.(2015四川,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;
(3)证明:直线DF⊥平面BEG.
解析(1)点F,G,H的位置如图所示.
(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:
因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,
又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,
于是四边形BCHE为平行四边形.
所以BE∥CH.
又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,
所以BE∥平面ACH.
同理BG∥平面ACH.
又BE∩BG=B,
所以平面BEG∥平面ACH.
(3)证明:连接FH.
因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,
因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.
又EG⊥FH,DH∩FH=H,
所以EG⊥平面BFHD.
又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.
同理DF⊥BG.
又EG∩BG=G,
所以DF⊥平面BEG.
C组教师专用题组
考点点、线、面的位置关系
1.(2015浙江,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.()
A.若l⊥β,则α⊥β
B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥β
D.若α∥β,则l∥m
答案A
2.(2014广东,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
答案D
3.(2010全国Ⅰ,6,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案C
4.(2011全国,15,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.
答案2
3
5.(2014陕西,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.
(1)求四面体ABCD的体积;
(2)证明:四边形EFGH是矩形.
解析 (1)由该四面体的三视图可知, BD ⊥DC,BD ⊥AD,AD ⊥DC,BD=DC=2,AD=1, ∴AD ⊥平面BDC,
∴四面体ABCD 的体积V=13×1
2
×2×2×1=23
.
(2)证明:∵BC ∥平面EFGH,
平面EFGH ∩平面BDC=FG,平面EFGH ∩平面ABC=EH, ∴BC ∥FG,BC ∥EH, ∴FG ∥EH.
同理,EF ∥AD,HG ∥AD, ∴EF ∥HG,
∴四边形EFGH 是平行四边形. 又∵AD ⊥平面BDC,BC ⊂平面BDC, ∴AD ⊥BC, ∴EF ⊥FG,
∴四边形EFGH 是矩形.
6.(2013课标Ⅰ,19,12分)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=AA 1,∠BAA 1=60°. (1)证明:AB ⊥A 1C;
(2)若AB=CB=2,A 1C=√6,求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积.
解析 (1)证明:取AB 的中点O,连接OC,OA 1,A 1B.
因为CA=CB,所以OC ⊥AB. 由于AB=AA 1,∠BAA 1=60°, 故△AA 1B 为等边三角形, 所以OA 1⊥AB. 因为OC ∩OA 1=O, 所以AB ⊥平面OA 1C. 又A 1C ⊂平面OA 1C, 所以AB ⊥A 1C.
(2)由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形, 所以OC=OA 1=√3. 又A 1C=√6,
则A 1C 2=OC 2+O A 12
,故OA 1⊥OC.
因为OC∩AB=O,
所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又△ABC的面积S△ABC=√3,
故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC·OA1=3.
【三年模拟】
时间:45分钟分值:50分
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2019届宁夏银川一中11月月考,6)设α、β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是()
A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥α
B.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β
C.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β
D.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α
答案D
2.(2019届辽宁顶级名校10月联考,10)设m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个命题中不正确的是()
A.m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n
B.m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n
C.m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n
D.m⊥α,n⊥β且α∥β,则m∥n
答案B
3.(2018山西临汾模拟,5)如图,在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α,设α∩平面ABC=l,若l∥A1C1,则这3个点可以是()
A.B,C,A1
B.B1,C1,A
C.A1,B1,C
D.A1,B,C1
答案D
4.(2019届陕西四校期中联考,9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为()
A.√14
14B.8√3
14
C.√13
13
D.1
3
答案A
5.(2018广东珠海模拟,8)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处,若M为线段A'C的中点,则异面直线BM与PA'所成角的正切值为()
A.1
2B.2 C.1
4
D.4
答案A
6.(2019届福建四地七校10月联考,10)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P,Q分别是线段AD1和B1C上的动点,且满足AP=B1Q,则下列命题错误的是()
A.存在P,Q在某一位置时,AB∥PQ
B.△BPQ的面积为定值
C.当PA>0时,直线PB1与AQ是异面直线
D.无论P,Q运动到任何位置,均有BC⊥PQ
答案B
7.(2017山西临汾三模,4)已知平面α及直线a,b,则下列说法正确的是()
A.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线平行
B.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线不可能垂直
C.若直线a,b平行,则这两条直线中至少有一条与平面α平行
D.若直线a,b垂直,则这两条直线与平面α不可能都垂直
答案D
8.(2017河南百校联盟质检,10)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1和AB的中点,平面B1EF交棱AD于点P,则PE=()
A.√15
6B.2√3
3
C.√3
2
D.√13
6
答案D
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2019届河南洛阳期中考试,15)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=2,BC=CC1=√2,P是BC1上一动点,则A1P+PC的最小值为.
答案√10
10.(2017湖北武汉武昌调研,16)在矩形ABCD中,AB<BC,现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:
①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;
②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;
③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.
其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)
答案②。