【压轴卷】九年级数学下期末一模试题(附答案)

【压轴卷】九年级数学下期末一模试题(附答案)
一、选择题
1．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行,最新统计数据显示,中国每年浪费食物总量折合粮食大约是230000000人一年的口粮,将230000000用科学记数法表示为( ) A ．2.3×109 B ．0.23×109 C ．2.3×108 D ．23×107
2．在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，若一次函数y ＝﹣2x +b 的图象与两坐标轴分别交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0，3），则不等式﹣2x +b ＞0的解集为（ ）
A ．x ＞32
B ．x ＜32
C ．x ＞3
D ．x ＜3
4．通过如下尺规作图，能确定点D 是BC 边中点的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．将抛物线2
3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A ．23(2)3y x =++
B ．23(2)3y x =-+
C ．23(2)3y x =+-
D ．23(2)3y x =--
6．有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（ ）
A ．中位数
B ．平均数
C ．众数
D ．方差
7．如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．22
D ．2 8．定义一种新运算：1a n n n b
n x
dx a b -⋅=-⎰，例如：222k
h
xdx k h ⋅=-⎰，若m 252m x dx --=-⎰，则m =（ ）
A ．-2
B ．25-
C ．2
D ．25
9．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，分别以点A 和点C 为圆心，以大于12
AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD .若34B ∠=︒，则BDC ∠的度数是（ ）
A ．68︒
B ．112︒
C ．124︒
D ．146︒
10．如图，若锐角△ABC 内接于⊙O ，点D 在⊙O 外（与点C 在AB 同侧），则下列三个结论：①sin ∠C ＞sin ∠D ；②cos ∠C ＞cos ∠D ；③tan ∠C ＞tan ∠D 中，正确的结论为（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①②③
D ．①③
11．如图，正比例函数1y=k x 与反比例函数2k y=
x
的图象相交于点A 、B 两点，若点A 的坐标为（2，1），则点B 的坐标是（ ）
A ．（1，2）
B ．（－2，1）
C ．（－1，－2）
D ．（－2，－1）
12．下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =45°，则cos ∠OCB 的值是________.
14．一列数123,,,a a a ……n a ，其中1231211111,,,,1
11n n a a a a a a a -=-=
==---L L ，则1232014a a a a ++++=L L __________. 15．不等式组3241112
x x x x ≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩的整数解是x= ． 16．分式方程32x
x 2--+22x
-=1的解为________. 17．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x 千米/时，依题意，可列方程为_____．
18．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 为边BC 的中点，点P 在对角线BD 上移动，则PE+PC 的最小值是 ．
19．如图，反比例函数y=
k x
的图象经过▱ABCD 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD ⊥DC ，▱ABCD 的面积为6，则k=_____．
20．如图所示，过正五边形ABCDE 的顶点B 作一条射线与其内角EAB ∠的角平分线相交于点P ，且60ABP ∠=︒，则APB ∠=_____度．
三、解答题
21．计算：103212sin45(2π)-+--+-o ．
22．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m ），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）图1中a 的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m 的运动员能否进入复赛．
23．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AC=AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．
（1）求证：BM=MN ；
（2）∠BAD=60°，AC 平分∠BAD ，AC=2，求BN 的长．
24．在□ABCD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF.
（1）求证：四边形BFDE 是矩形；
（2）若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB ．
25．如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分BAC ∠，DC AC ⊥，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ．
(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线．
(2)求证：CD BE AD DE ⋅=⋅．
26．如图1，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA PE =，PE 交CD 于F ，连接CE .
（1）证明：ADP CDP △≌△；
（2）判断CEP △的形状，并说明理由.
（3）如图2，把菱形ABCD 改为正方形ABCD ，其他条件不变，直接．．
写出线段AP 与线段CE 的数量关系.
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一、选择题
1．C
【解析】230000000=2.3×108 ,故选C.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用平方根定义估算6的大小，即可得到结果．
【详解】
46 6.25
<<
Q，
26 2.5
∴<<，
则在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是2，
故选：B．
【点睛】
此题考查了实数与数轴，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y=0求出x值，从而找出点B的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．
【详解】
解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），
∴b＝3，
令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝3
2
，
∴点B（3
2
，0）．
观察函数图象，发现：
当x＜3
2
时，一次函数图象在x轴上方，
∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜3
2
．
故选：B．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B 的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
作线段BC 的垂直平分线可得线段BC 的中点．
【详解】
作线段BC 的垂直平分线可得线段BC 的中点．
由此可知：选项A 符合条件，
故选A ．
【点睛】
本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
将抛物线2
3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为23(2)3y x =++，故答案选A ． 6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【详解】
去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选A ．
【点睛】
考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
由A 、B 、P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB=45°，可得△OAB 是等腰直角三角形，继而求得答案．
解：连接OA ，OB ．
∵∠APB =45°，
∴∠AOB =2∠APB =90°．
∵OA =OB =2，
∴AB =
22OA OB +=22．
故选C ．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.
【详解】
根据题意得，
5211m 11(5)25m
x dx m m m m
---⎰-=-=-=-， 则25
m =-， 经检验，25m =-
是方程的解， 故选B.
【点睛】
此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可知DE 是AC 的垂直平分线，CD=DA ．即可得到∠DCE=∠A ，而∠A 和∠B 互余可求出∠A ，由三角形外角性质即可求出∠CDA 的度数.
【详解】
解：∵DE 是AC 的垂直平分线，
∴DA=DC ，
∴∠DCE=∠A ，
∵∠ACB=90°，∠B=34°，
∴∠A=56°，
∴∠CDA=∠DCE+∠A=112°，
故选B ．
【点睛】
本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形有关角的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
10．D
解析：D
【解析】
如图，连接BE ，
根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB ，
∵∠AEB=∠D+∠DBE ，
∴∠AEB>∠D ，
∴∠C>∠D ，
根据锐角三角形函数的增减性，可得，
sin ∠C>sin ∠D ，故①正确；
cos ∠C<cos ∠D ，故②错误；
tan ∠C>tan ∠D ，故③正确；
故选D ．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据正比例函数与反比例函数关于原点对称的性质，正比例函数1y=k x 与反比例函数2k y=x
的图象的两交点A 、B 关于原点对称； 由A 的坐标为（2，1），根据关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的坐标特征，得点B 的坐标是（－2，－1）．
故选：D
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据特殊几何体的展开图逐一进行分析判断即可得答案．
【详解】
A 、圆柱的侧面展开图是矩形，故A 错误；
B 、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B 错误；
C 、圆锥的侧面展开图是扇形，故C 正确；
D 、三棱锥的侧面展开图是三个三角形拼成的图形，故D 错误，
故选C ．
【点睛】
本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．
二、填空题
13．【解析】【分析】根据圆周角定理可得∠BOC=90°易求BC=OC 从而可得cos∠OCB 的值【详解】∵∠A=45°∴∠BOC=90°∵OB=OC 由勾股定理得BC=OC∴cos∠OCB=故答案为【点睛】
解析：2
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可得∠BOC=90°，易求OC ，从而可得cos ∠OCB 的值.
【详解】
∵∠A =45°，
∴∠BOC=90°
∵OB=OC ，
由勾股定理得，OC ，
∴cos ∠OCB =
2OC BC ==.
. 【点睛】 本题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的判定及锐角三角函数的定义，属较简单题目题目．
14．【解析】【分析】分别求得a1a2a3…找出数字循环的规律进一步利用规律解决问题【详解】解：…由此可以看出三个数字一循环2014÷3=671…1则a1+a2+a3+…+a2014=671×（-1++2 解析：20112
【分析】
分别求得a 1、a 2、a 3、…，找出数字循环的规律，进一步利用规律解决问题．
【详解】 解：1234123
11111,,2,1,1211a a a a a a a =-======----… 由此可以看出三个数字一循环，
2014÷3=671…1，则a 1+a 2+a 3+…+a 2014=671×（-1+
12+2）+（-1）=20112． 故答案为20112
． 考点：规律性：数字的变化类.
15．﹣4【解析】【分析】先求出不等式组的解集再得出不等式组的整数解即可
【详解】解：∵解不等式①得：x≤﹣4解不等式②得：x ＞﹣5∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4∴不等式组的整数解为x=﹣4故答案为﹣4【
解析：﹣4．
【解析】
【分析】
先求出不等式组的解集，再得出不等式组的整数解即可．
【详解】 解：3241112
x x x x ≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩①②, ∵解不等式①得：x≤﹣4，
解不等式②得：x ＞﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4，
∴不等式组的整数解为x=﹣4，
故答案为﹣4．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的性质求出不等式组的解集是解此题的关键．
16．【解析】【分析】根据解分式方程的步骤即可解答【详解】方程两边都乘以得：解得：检验：当时所以分式方程的解为故答案为【点睛】考查了解分式方程解分式方程的基本思想是转化思想把分式方程转化为整式方程求解解分 解析：x 1=
【解析】
【分析】
根据解分式方程的步骤，即可解答．
方程两边都乘以x 2-，得：32x 2x 2--=-，
解得：x 1=，
检验：当x 1=时，x 21210-=-=-≠，
所以分式方程的解为x 1=，
故答案为x 1=．
【点睛】
考查了解分式方程，()1解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解().2解分式方程一定注意要验根．
17．【解析】【分析】设复兴号的速度为x 千米/时则原来列车的速度为（x-
40）千米/时根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可
【详解】设复兴号的速度为x 千米/时则原来列车的速度为（x ﹣40 解析：
13201320304060
x x -=-． 【解析】
【分析】 设“复兴号”的速度为x 千米/时，则原来列车的速度为（x-40）千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可．
【详解】
设“复兴号”的速度为x 千米/时，则原来列车的速度为（x ﹣40）千米/时， 根据题意得：
13201320304060x x -=-． 故答案为：
13201320304060
x x -=-． 【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 18．【解析】试题分析：要求PE+PC 的最小值PEPC 不能直接求可考虑通过作辅助线转化PEPC 的值从而找出其最小值求解试题解析：如图连接AE∵点C 关于BD 的对称点为点A∴PE+PC=PE+AP 根据两点之间
【解析】
试题分析：要求PE+PC 的最小值，PE ，PC 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE ，PC 的值，从而找出其最小值求解．
试题解析：如图，连接AE ，
∵点C关于BD的对称点为点A，
∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，
∴BE=1，
∴AE=22
125
+=．
考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．
19．-3【解析】分析：由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积在得到矩形PDOE面积应用反比例函数比例系数k的意义即可详解：过点P做PE⊥y轴于点E∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD又∵BD⊥x轴∴
解析：-3
【解析】
分析：由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
详解：过点P做PE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6
∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO•EO=3
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=﹣3
故答案为：﹣3
点睛：本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义以及平行四边形的性质．
20．66【解析】【分析】首先根据正五边形的性质得到度然后根据角平分线的定义得到度再利用三角形内角和定理得到的度数【详解】解：∵五边形为正五边形∴度∵是的角平分线∴度∵∴故答案为：66【点睛】本题考查了多 解析：66
【解析】
【分析】
首先根据正五边形的性质得到108EAB ∠=度，然后根据角平分线的定义得到
54PAB ∠=度，再利用三角形内角和定理得到APB ∠的度数．
【详解】
解：∵五边形ABCDE 为正五边形，
∴108EAB ∠=度，
∵AP 是EAB ∠的角平分线，
∴54PAB ∠=度，
∵60ABP ∠=︒，
∴180605466APB ∠=︒-︒-︒=︒．
故答案为：66．
【点睛】
本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理．
三、解答题
21．13
【解析】
【分析】
根据负指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值及零指数幂的性质分别化简各项后，再合并即可解答．
【详解】
原式112132=
+-⨯+
=1113
13
=． 【点睛】
本题主要考查了实数运算，利用负指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值及零指数幂的性质正确化简各数是解题关键．
22．(1) 25 ; (2) 这组初赛成绩数据的平均数是1.61.；众数是1.65；中位数是1.60；（3）初赛成绩为1.65 m 的运动员能进入复赛.
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：(1)、用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a 的值；(2)、根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；(3)、根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛．
试题解析：(1)、根据题意得：1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%=25%； 则a 的值是25；
(2)、观察条形统计图得： 1.502 1.554 1.605 1.656 1.70324563
x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++=1.61； ∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是1.65； 将这组数据从小到大排列为，其中处于中间的两个数都是1.60， 则这组数据的中位数是
1.60．
(3)、能； ∵共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，
∴根据中位数可以判断出能否进入前9名；
∵1.65m ＞1.60m ， ∴能进入复赛
考点：(1)、众数；(2)、扇形统计图；(3)、条形统计图；(4)、加权平均数；(5)、中位数
23．（1）证明见解析；（2
【解析】
【分析】
（1）在△CAD 中，由中位线定理得到MN ∥AD ，且MN=
12AD ，在Rt △ABC 中，因为M 是AC 的中点，故BM=12
AC ，即可得到结论； （2）由∠BAD=60°且AC 平分∠BAD ，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=12
AC=AM=MC ，得到∠BMC =60°．由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°，得到222BN BM MN =+，再由MN=BM=1，得到BN 的长．
【详解】
（1）在△CAD 中，∵M 、N 分别是AC 、CD 的中点，∴MN ∥AD ，且MN=
12AD ，在Rt △ABC 中，∵M 是AC 的中点，∴BM=12
AC ，又∵AC=AD ，∴MN=BM ； （2）∵∠BAD=60°且AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=12
AC=AM=MC ，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．∵MN ∥AD ，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴222BN BM MN =+，而由
（1）知，MN=BM=
12AC=12
×2=1，∴． 考点：三角形的中位线定理，勾股定理．
24．（1）见解析（2）见解析
【解析】 试题分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AB 与CD 的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DF A =∠F AB ，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF =∠DF A ，根据角平分线的判定，可得答案．
试题分析：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ．
∵BE ∥DF ，BE =DF ，
∴四边形BFDE 是平行四边形．
∵DE ⊥AB ，
∴∠DEB =90°，
∴四边形BFDE 是矩形；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥DC ，
∴∠DF A =∠F AB ．
在Rt △BCF 中，由勾股定理，得
BC =，
∴AD =BC =DF =5，
∴∠DAF =∠DF A ，
∴∠DAF =∠F AB ，
即AF 平分∠DAB ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF =∠DF A 是解题关键．
25．(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接OD ，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO ，求得∠CAD=∠ADO ，根据平行线的性质得到CD ⊥OD ，于是得到结论；
（2）连接BD ，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：证明：(1)连接OD ，
∵AD 平分BAC ∠，
∴CAD BAD ∠=∠，
∵OA OD =，
∴BAD ADO =∠∠，
∴CAD ADO ∠=∠，
∴AC OD ∥，
∵CD AC ⊥，
∴CD OD ⊥，
∴直线CD 是⊙O 的切线；
(2)连接BD ，
∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，
∴90ABE BDE ︒∠=∠=，
∵CD AC ⊥，
∴90C BDE ︒∠=∠=，
∵CAD BAE DBE ∠=∠=∠，
∴ACD BDE ∆∆∽， ∴CD AD DE BE
=， ∴CD BE AD DE ⋅=⋅．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（1）证明见解析；（2）CEP ∆是等边三角形，理由见解析；（3）2CE =
. 【解析】
【分析】
（1）由菱形ABCD 性质可知，AD CD =，ADP CDP ∠=∠，即可证明； （2）由△PDA ≌△PDC ，推出PA=PC ，由PA=PE ，推出DCP DEP ∠=∠，可知60CPF EDF ∠=∠=︒，由PA═PE=PC ，即可证明△PEC 是等边三角形；
（3）由△PDA ≌△PDC ，推出PA=PC ，∠3=∠1，由PA=PE ，推出∠2=∠3，推出
∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC ，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC 是等腰直角三角形即可解答；
【详解】
（1）证明：在菱形ABCD 中，AD CD =，ADP CDP ∠=∠，
在ADP ∆和CDP ∆
AD CD ADP CDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ADP CDP SAS ∆≅∆.
（2）CEP ∆是等边三角形，
由（1）知，ADP CDP ∆≅∆，∴DAP DCP ∠=∠，AP CP =，
∵PA PE =，∴DAP DEP ∠=∠，
∴DCP DEP ∠=∠，
∵CFP EFD ∠=∠（对顶角相等），
∴180180PFC PCF DFE DEP ︒-∠-∠=︒-∠-∠，
即60CPF EDF ∠=∠=︒，
又∵PA PE =，AP CP =；
∴PE PC =，
∴CEP ∆是等边三角形.
（3）
2CE AP =.
过程如下：证明：如图1中，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°，
在△PDA 和△PDC 中，
PD PD PDA PDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，，
∴△PDA ≌△PDC ，
∴PA=PC ，∠3=∠1，
∵PA=PE ，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC ，
∴∠FPC=EDF=90°，
∴△PEC 是等腰直角三角形．
∴.
【点睛】
本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形判定、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。