南京市2019高考数学(文科)二轮复习解答题通关练6函数与导数含答案

6.函数与导数
1.已知函数f (x )＝
2
x 2
＋x
＋ln x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求证：f (x )>0.
(1)解 f (x )＝2x 2＋x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2(2x ＋1)(x 2＋x )2＋1x ＝x 3
＋2x 2
－3x －2
(x 2＋x )2
， 所以f ′(1)＝－1
2，又f (1)＝1，
则切线方程为x ＋2y －3＝0.
(2)证明 令h (x )＝x 3
＋2x 2
－3x －2， 则h ′(x )＝3x 2
＋4x －3， 设h ′(x )＝0的两根为x 1，x 2， 由于x 1x 2＝－1<0， 不妨设x 1<0，x 2>0，
则h (x )在(0，x 2)上是单调递减的，在(x 2，＋∞)上是单调递增的. 而h (0)<0，h (1)<0，h (2)>0，
所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈(1,2)， 所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )≥f (x 0)＝
2
x 20＋x 0
＋ln x 0， 因为x 0∈(1,2)，ln x 0>0，f (x )>2
x 20
＋x 0
>0， 所以f (x )>0.
2.已知函数f (x )＝ln x, g (x )＝f (x )＋ax 2
＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴. (1)确定a 与b 的关系；
(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性. 解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2
＋bx ，x >0， 则g ′(x )＝1
x
＋2ax ＋b ，
由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得，
g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，
∴b ＝－2a －1.
(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2
－()2a ＋1x ＋1
x
＝
()2ax －1()
x －1x
.
∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1
x
， 由g ′()x >0得0<x <1， 由g ′()x <0得x >1； 若0<12a <1，即a >1
2
时，
由g ′()x >0得x >1或0<x <12a ，
由g ′()x <0得1
2a <x <1；
若
12a >1，即0<a <1
2
时， 由g ′()x >0得x >1
2a 或0<x <1，
由g ′()x <0得1<x <1
2a ；
若
12a ＝1，即a ＝1
2
时，在()0，＋∞上恒有g ′()x ≥0. 综上得，当a ＝0时，函数g ()x 在(0,1)上单调递增，在()1，＋∞上单调递减；
当0<a <12时，函数g ()x 在()0，1上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递增；
当a ＝1
2
时，函数g ()x 在()0，＋∞上单调递增；
当a >12时，函数g ()x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减；在()1，＋∞上单调递增.
3.已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2
＋ax －3)e x
(a 为实数). (1)当a ＝5时，求函数g (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；
(3)若存在两个不等实数x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e ，使方程g (x )＝2e x
f (x )成立，求实数a 的取值范围.
解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2
＋5x －3)e x ，g (1)＝e ，g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x
，故切线的斜率为g ′(1)＝4e ，
所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.
(2)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞).因为f ′(x )＝ln x ＋1， 所以在(0，＋∞)上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
当t ≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，当0<t <1e 时，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫t ，1e 上，
f (x )为减函数，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，t ＋2上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ＝－1e
.
(3)由g (x )＝2e x f (x )，可得2x ln x ＝－x 2
＋ax －3， 则a ＝x ＋2ln x ＋3x
，
令h (x )＝x ＋2ln x ＋3
x
，x >0，
则h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)
x
2
. 当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：
因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1
e ＋3e －2，h (e)＝3e ＋e ＋2，h (1)＝4，
所以h (e)－h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－2e ＋2e <0， 所以h (e)<h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，
所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦
⎥⎤4，3e ＋e ＋2. 4.(2018·安徽省六安一中模拟)已知函数f (x )＝x 2
－(a ＋2)x ＋a ln x (a 为实常数). (1)若a ＝－2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；
(2)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≤0成立，求实数a 的取值范围.
解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2
－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x
，f ′(1)＝0，所求切线方程为y ＝1.
(2)f ′(x )＝2x －(a ＋2)＋a x ＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x ＝(2x －a )(x －1)
x
，x ∈[1，e].
当a
2
≤1，即a ≤2时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，此时f (x )在[1，e]上单调递增.
所以f (x )的最小值为f (1)＝－a －1，所以－1≤a ≤2；
当1<a
2<e ，即2<a <2e ，x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1，a 2时，f ′(x )<0，f (x )在⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1，a 2上单调递减；
当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，e 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
2，e 上单调递增， 所以f (x )的最小值为
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 2
4－a ＋a ln a 2＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln a 2－a 4－1.
因为2<a <2e ，所以0<ln a
2
<1，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln a 2－a
4－1<0恒成立，所以2<a <2e ； 当a
2≥e，即a ≥2e 时，x ∈[1，e]，f ′(x )≤0，此时f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (e)＝e 2
－(a ＋2)e ＋a ，因为a ≥2e>e 2
－2e
e －1
，所以f (e)<0，
所以a ≥2e，综上，a ≥－1.。