深圳民治街道牛栏前小学七年级下册数学期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

深圳民治街道牛栏前小学七年级下册数学期末试卷（培优篇）（Word 版 含解
析）
一、解答题
1．如图1，已知直线m ∥n ，AB 是一个平面镜，光线从直线m 上的点O 射出，在平面镜AB 上经点P 反射后，到达直线n 上的点Q ．我们称OP 为入射光线，PQ 为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即
∠OPA=∠QPB ．
（1）如图1，若∠OPQ =82°，求∠OPA 的度数；
（2）如图2，若∠AOP =43°，∠BQP =49°，求∠OPA 的度数；
（3）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m 和n 上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形ABCD ，光线从点O 以适当的角度射出后，其传播路径为 O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ 和∠ORQ 的数量关系，并说明理由．
2．已知//AB CD ，定点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，在平行线AB ，CD 之间有一动点
P ．
（1）如图1所示时，试问AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足怎样的数量关系?并说明理由． （2）除了（1）的结论外，试问AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当EPF ∠满足0180EPF ︒<∠<︒，且QE ，QF 分别平分PEB ∠和PFD ∠， ①若60EPF ∠=︒，则EQF ∠=__________°．
②猜想EPF ∠与EQF ∠的数量关系．（直接写出结论）
3．（1）（问题）如图1，若//AB CD ，40AEP ∠=︒，130PFD ∠=︒．求EPF ∠的度数；
（2）（问题迁移）如图2，//AB CD ，点P 在AB 的上方，问PEA ∠，PFC ∠，EPF ∠之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知EPF α∠=，PEA ∠的平分线和
PFC ∠的平分线交于点G ，用含有α的式子表示G ∠的度数．
4．已知：如图（1）直线AB 、CD 被直线MN 所截，∠1＝∠2．
（1）求证：AB //CD ；
（2）如图（2），点E 在AB ，CD 之间的直线MN 上，P 、Q 分别在直线AB 、CD 上，连接PE 、EQ ，PF 平分∠BPE ，QF 平分∠EQD ，则∠PEQ 和∠PFQ 之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过P 点作PH //EQ 交CD 于点H ，连接PQ ，若PQ 平分∠EPH ，∠QPF ：∠EQF ＝1：5，求∠PHQ 的度数．
5．如图，∠EBF ＝50°，点C 是∠EBF 的边BF 上一点．动点A 从点B 出发在∠EBF 的边BE 上，沿BE 方向运动，在动点A 运动的过程中，始终有过点A 的射线AD ∥BC ．
（1）在动点A 运动的过程中， （填“是”或“否”）存在某一时刻，使得AD 平分∠EAC ？ （2）假设存在AD 平分∠EAC ，在此情形下，你能猜想∠B 和∠ACB 之间有何数量关系？并请说明理由；
（3）当AC ⊥BC 时，直接写出∠BAC 的度数和此时AD 与AC 之间的位置关系．
二、解答题
6．如图1，E 点在BC 上，A D ∠=∠．180ACB BED ∠+∠=︒．
（1）求证：//AB CD
（2）如图2，//,AB CD BG 平分ABE ∠，与EDF ∠的平分线交于H 点，若DEB ∠比DHB ∠大60︒，求DEB ∠的度数．
（3）保持（2）中所求的DEB ∠的度数不变，如图3，BM 平分,EBK DN ∠平分CDE ∠，作
//BP DN ，则PBM ∠的度数是否改变？若不变，请直接写出答案；若改变，请说明理由．
7．综合与探究（问题情境）
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，EF ∥MN ，点A 、B 分别为直线EF 、MN 上的一点，点P 为平行线间一点，请直接写出∠PAF 、∠PBN 和∠APB 之间的数量关系； （问题迁移）
（2）如图2，射线OM 与射线ON 交于点O ，直线m ∥n ，直线m 分别交OM 、ON 于点A 、D ，直线n 分别交OM 、ON 于点B 、C ，点P 在射线OM 上运动．
①当点P 在A 、B （不与A 、B 重合）两点之间运动时，设∠ADP ＝∠α，∠BCP ＝∠β．则∠CPD ，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P 不在线段AB 上运动时（点P 与点A 、B 、O 三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD ，∠α，∠β之间的数量关系．
8．已知射线//AB 射线CD ，P 为一动点，AE 平分PAB ∠，CE 平分PCD ∠，且AE 与CE 相交于点E ．（注意：此题不允许使用三角形，四边形内角和进行解答）
（1）在图1中，当点P 运动到线段AC 上时，180APC ∠=︒．直接写出AEC ∠的度数； （2）当点P 运动到图2的位置时，猜想AEC ∠与APC ∠之间的关系，并加以说明；
（3）当点P 运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出AEC ∠与APC ∠之间的关系，并加以证明． 9．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：
如图1，已知点A 是BC 外一点，连接AB ，AC ，求∠BAC ＋∠B ＋∠C 的度数． （1）阅读并补充下面推理过程 解：过点A 作ED ∥BC ， ∴∠B ＝∠EAB ，∠C ＝ 又∵∠EAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝180° ∴∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180° 解题反思：
从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC ，∠B ，∠C “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用：
（2）如图2，已知AB ∥ED ，求∠B ＋∠BCD ＋∠D 的度数．（提示：过点C 作CF ∥AB ） 深化拓展：
（3）如图3，已知AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧，∠ADC ＝70°，点B 在点A 的左侧，∠ABC ＝60°，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，BE ，DE 所在的直线交于点E ，点E 在AB 与CD 两条平行线之间，求∠BED 的度数．
10．已知：如图1，//AB CD ，点E ，F 分别为AB ，CD 上一点．
（1）在AB ，CD 之间有一点M （点M 不在线段EF 上），连接ME ，MF ，探究
AEM ∠，EMF ∠，∠MFC 之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应
的数量关系，选其中一个进行证明．
（2）如图2，在AB ，CD 之两点M ，N ，连接ME ，MN ，NF ，请选择一个图形写出
AEM ∠，EMN ∠，MNF ∠，NFC ∠存在的数量关系（不需证明）．
三、解答题
11．在△ABC 中，射线AG 平分∠BAC 交BC 于点G ，点D 在BC 边上运动（不与点G 重合），过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ．
（1）如图1，点D 在线段CG 上运动时，DF 平分∠EDB
①若∠BAC ＝100°，∠C ＝30°，则∠AFD ＝ ；若∠B ＝40°，则∠AFD ＝ ； ②试探究∠AFD 与∠B 之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D 在线段BG 上运动时，∠BDE 的角平分线所在直线与射线AG 交于点F 试探究∠AFD 与∠B 之间的数量关系，并说明理由
12．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，20B ∠=︒，60C ∠=°．
（1）求CAD ∠、AEC ∠和EAD ∠的度数．
（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当30B ∠=︒，60C ∠=°，则
EAD ∠=__________︒．
当50B ∠=︒，C 60∠=︒时，则EAD ∠=__________︒． 当60B ∠=︒，60C ∠=°时，则EAD ∠=__________︒． 当70B ∠=︒，60C ∠=°时，则EAD ∠=__________︒．
（3）若B 和C ∠的度数改为用字母α和β来表示，你能找到EAD ∠与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．
13．如图，△ABC 中，∠ABC 的角平分线与∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于A 1．
（1）当∠A 为70°时， ∵∠ACD -∠ABD =∠______ ∴∠ACD -∠ABD =______°
∵BA 1、CA 1是∠ABC 的角平分线与∠ACB 的外角∠ACD 的平分线 ∴∠A 1CD -∠A 1BD =1
2
（∠ACD -∠ABD ）
∴∠A 1=______°；
（2）∠A 1BC 的角平分线与∠A 1CD 的角平分线交于A 2，∠A 2BC 与A 2CD 的平分线交于A 3，如此继续下去可得A 4、…、A n ，请写出∠A 与∠A n 的数量关系______；
（3）如图2，四边形ABCD 中，∠F 为∠ABC 的角平分线及外角∠DCE 的平分线所在的直线构成的角，若∠A +∠D =230度，则∠F =______．
（4）如图3，若E 为BA 延长线上一动点，连EC ，∠AEC 与∠ACE 的角平分线交于Q ，当E 滑动时有下面两个结论：①∠Q +∠A 1的值为定值；②∠Q -∠A 1的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 14．如图1，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABD ，DE 平分∠BDC ． （1）求证：∠BED ＝90°；
（2）如图2，延长BE 交CD 于点H ，点F 为线段EH 上一动点，∠EDF ＝α，∠ABF 的角平分线与∠CDF 的角平分线DG 交于点G ，试用含α的式子表示∠BGD 的大小； （3）如图3，延长BE 交CD 于点H ，点F 为线段EH 上一动点，∠EBM 的角平分线与∠FDN 的角平分线交于点G ，探究∠BGD 与∠BFD 之间的数量关系，请直接写出结论： ．
15．如图，//MN GH ，点A 、B 分别在直线MN 、GH 上，点O 在直线MN 、GH 之间，若
116NAO ∠=︒，144OBH ∠=︒．
（1）AOB ∠= ︒；
（2）如图2，点C 、D 是NAO ∠、GBO ∠角平分线上的两点，且35CDB ∠=︒，求ACD ∠ 的度数；
（3）如图3，点F 是平面上的一点，连结FA 、FB ，E 是射线FA 上的一点，若MAE ∠=
n OAE ∠，HBF n OBF ∠=∠，且60AFB ∠=︒，求n 的值．
【参考答案】
一、解答题
1．（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ 【分析】
（1）根据∠OPA=∠QPB ．可求出∠OPA 的度数；
（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ 的度数，转化为（1）来解 解析：（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ =∠ORQ 【分析】
（1）根据∠OPA =∠QP B ．可求出∠OPA 的度数；
（2）由∠AOP =43°，∠BQP =49°可求出∠OPQ 的度数，转化为（1）来解决问题； （3）由（2）推理可知：∠OPQ =∠AOP +∠BQP ，∠ORQ =∠DOR +∠RQC ，从而∠OPQ =∠ORQ ． 【详解】
解：（1）∵∠OPA =∠QPB ，∠OPQ =82°，
∴∠OPA =（180°-∠OPQ ）×1
2=（180°-82°）×1
2=49°， （2）作PC ∥m ， ∵m ∥n ， ∴m ∥PC ∥n ， ∴∠AOP =∠OPC =43°， ∠BQP =∠QPC =49°，
∴∠OPQ =∠OPC +∠QPC =43°+49°=92°，
∴∠OPA =（180°-∠OPQ ）×1
2=（180°-92°）×1
244°，
（3）∠OPQ =∠ORQ ．
理由如下：由（2）可知：∠OPQ =∠AOP +∠BQP ，∠ORQ =∠DOR +∠RQC ， ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴∠AOP =∠DOR ，∠BQP =∠RQC ， ∴∠OPQ =∠ORQ ． 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的．
2．（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF ；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF 【分析】
（1）由于点是平行线，之间
解析：（1）∠AEP +∠PFC =∠EPF ；（2）∠AEP +∠EPF +∠PFC =360°；（3）①150°或30；②∠EPF +2∠EQF =360°或∠EPF =2∠EQF 【分析】
（1）由于点P 是平行线AB ，CD 之间有一动点，因此需要对点P 的位置进行分类讨论：如图1，当P 点在EF 的左侧时，AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足数量关系为：
EPF AEP PFC ∠=∠+∠；
（2）当P 点在EF 的右侧时，AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足数量关系为：
360AEP EPF PFC ∠+∠+∠=︒；
（3）①若当P 点在EF 的左侧时，150EQF BEQ QFD ∠=∠+∠=︒；当P 点在EF 的右侧时，可求得30BEQ QFD ∠+∠=︒；
②结合①可得180218023602()EPF BEQ DFQ BEQ PFD ∠=︒-∠+︒-∠=︒-∠+∠，由
EQF BEQ DFQ ∠=∠+∠，得出2360EPF EQF ∠+∠=︒；可得EPF BEP PFD =∠+∠，由BEQ DFQ EQF ∠+∠=∠，得出2EPF EQF ∠=∠．
【详解】
解：（1）如图1，过点P 作//PG AB ，
//PG AB ， EPG AEP ∴∠=∠，
//AB CD ，
//PG CD ∴，
FPG PFC ∴∠=∠，
AEP PFC EPF ∴∠+∠=∠；
（2）如图2，当P 点在EF 的右侧时，AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足数量关系为：
360AEP EPF PFC ∠+∠+∠=︒；
过点P 作//PG AB ， //PG AB ，
180EPG AEP ∴∠+∠=︒，
//AB CD ，
//PG CD ∴，
180FPG PFC ∴∠+∠=︒， 360AEP EPF PFC ∴∠+∠+∠=︒；
（3）①如图3，若当P 点在EF 的左侧时，
60EPF ∠=︒，
36060300PEB PFD ∴∠+∠=︒-︒=︒， EQ ，FQ 分别平分PEB ∠和PFD ∠，
1
2BEQ PEB ∴∠=∠，12
QFD PFD ∠=∠，
11
()30015022
EQF BEQ QFD PEB PFD ∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒；
如图4，当P 点在EF 的右侧时，
60EPF ∠=︒， 60PEB PFD ∴∠+∠=︒，
11
()603022
BEQ QFD PEB PFD ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒；
故答案为：150︒或30；
②由①可知：11()(360)22
EQF BEQ QFD PEB PFD EPF ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠，
2360EPF EQF ∴∠+∠=︒；
11
()22EQF BEQ QFD PEB PFD EPF ∠=∠+∠=∠+∠=∠，
2EPF EQF ∴∠=∠．
综合以上可得EPF ∠与EQF ∠的数量关系为：2360EPF EQF ∠+∠=︒或2EPF EQF ∠=∠． 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键．
3．（1）90°；（2）∠PFC=∠PEA+∠P ；（3）∠G=α 【分析】
（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P 点作PN ∥AB ，则PN ∥CD ，可得∠FPN=∠PEA+∠FPE ，进而可得∠PF
解析：（1）90°；（2）∠PFC =∠PEA +∠P ；（3）∠G =1
2α 【分析】
（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P 点作PN ∥AB ，则PN ∥CD ，可得∠FPN =∠PEA +∠FPE ，进而可得∠PFC =∠PEA +∠FPE ，即可求解；
（3）令AB 与PF 交点为O ，连接EF ，根据三角形的内角和定理可得∠GEF +∠GFE ＝
1
2
∠PEA +1
2∠PFC +∠OEF +∠OFE ，由（2）得∠PEA =∠PFC -α，由∠OFE +∠OEF =180°-
∠FOE =180°-∠PFC 可求解． 【详解】
解：（1）如图1，过点P 作PM ∥AB ， ∴∠1=∠AEP ． 又∠AEP =40°， ∴∠1=40°． ∵AB ∥CD ， ∴PM ∥CD ， ∴∠2+∠PFD =180°． ∵∠PFD =130°， ∴∠2=180°-130°=50°． ∴∠1+∠2=40°+50°=90°． 即∠EPF =90°．
（2）∠PFC =∠PEA +∠P ．
理由：过P 点作PN ∥AB ，则PN ∥CD ，
∴∠PEA=∠NPE，
∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN=∠PFC，
∴∠PFC=∠PEA+∠FPE，即∠PFC=∠PEA+∠P；（3）令AB与PF交点为O，连接EF，如图3．
在△GFE中，∠G=180°-（∠GFE+∠GEF），
∵∠GEF＝1
2∠PEA+∠OEF，∠GFE＝1
2
∠PFC+∠OFE，
∴∠GEF+∠GFE＝1
2∠PEA+1
2
∠PFC+∠OEF+∠OFE，
∵由（2）知∠PFC=∠PEA+∠P，
∴∠PEA=∠PFC-α，
∵∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC，
∴∠GEF+∠GFE＝1
2(∠PFC−α)+1
2
∠PFC+180°−∠PFC＝180°−1
2
α，
∴∠G＝180°−(∠GEF+∠GFE)＝180°−180°+1
2α＝1
2
α．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质与判定，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．4．（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线
解析：（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线的性质即可证明；
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，想办法构建方程即可解决问题；
【详解】
（1）如图1中，
∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB//CD．
（2）结论：如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
理由：作EH//AB．
∵AB//CD，EH//AB，
∴EH//CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
∴∠PEQ＝∠1+∠4，
同法可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，
∵∠BPE＝2∠BPF，∠EQD＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，
∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°，
即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°，
∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，
∵EQ//PH，
∴∠EQC＝∠PHQ＝x，
∴x+10y＝180°，
∵AB//CD，
∴∠BPH＝∠PHQ＝x，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH，
∴∠FPH＝y+z﹣x，
∵PQ平分∠EPH，
∴Z＝y+y+z﹣x，
∴x＝2y，
∴12y＝180°，
∴y＝15°，
∴x＝30°，
∴∠PHQ＝30°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键．5．（1）是；（2）∠B＝∠ACB，证明见解析；（3）∠BAC＝40°，AC⊥AD．【分析】
（1）要使AD平分∠EAC，则要求∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD
解析：（1）是；（2）∠B＝∠ACB，证明见解析；（3）∠BAC＝40°，AC⊥AD．
【分析】
（1）要使AD平分∠EAC，则要求∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，
∠ACB＝∠CAD，则当∠ACB＝∠B时，有AD平分∠EAC；
（2）根据角平分线可得∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝
∠CAD，则有∠ACB＝∠B；
（3）由AC⊥BC，有∠ACB＝90°，则可求∠BAC＝40°，由平行线的性质可得AC⊥AD．
【详解】
解：（1）是，理由如下：
要使AD平分∠EAC，
则要求∠EAD＝∠CAD，
由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，
则当∠ACB＝∠B时，有AD平分∠EAC；
故答案为：是；
（2）∠B＝∠ACB，理由如下：
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠B ＝∠EAD ，∠ACB ＝∠CAD ，
∴∠B ＝∠ACB ．
（3）∵AC ⊥BC ，
∴∠ACB ＝90°，
∵∠EBF ＝50°，
∴∠BAC ＝40°，
∵AD ∥BC ，
∴AD ⊥AC ．
【点睛】
此题考查了角平分线和平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行线的有关性质是解题的关键．
二、解答题
6．（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°
【分析】
（1）如图1，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论； （2）如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再 解析：（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°
【分析】
（1）如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据180ACB BED ∠+∠=︒，180CED BED ∠+∠=︒，可得ACB CED ∠=∠，所以//AC DF ，可得A DFB ∠=∠，又A D ∠=∠，进而可得结论； （2）如图2，作//EM CD ，//HN CD ，根据//AB CD ，可得//////AB EM HN CD ，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据DEB ∠比DHB ∠大60︒，列出等式即可求DEB ∠的度数；
（3）如图3，过点E 作//ES CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，根据平行线的性质和角平分线定义可求PBM ∠的度数．
【详解】
解：（1）证明：如图1，延长DE 交AB 于点F ，
180ACB BED ∠+∠=︒，180CED BED ∠+∠=︒，
ACB CED ∴∠=∠，
//AC DF ∴，
A DF
B ∴∠=∠，
A D ∠=∠，
DFB D ∴∠=∠，
//AB CD ∴；
（2）如图2，作//EM CD ，//HN CD ，
//AB CD ，
//////AB EM HN CD ∴，
1180EDF ∴∠+∠=︒，MEB ABE ∠=∠， BG 平分ABE ∠， 12ABG ABE ∴∠=∠， //AB HN ，
2ABG ∴∠=∠，
//CF HN ，
23β∴∠+∠=∠，
∴1
32
ABE β∠+∠=∠， DH 平分EDF ∠，
132
EDF ∴∠=∠， ∴1122
ABE EDF β∠+∠=∠，
1()2EDF ABE β∴∠=∠-∠， 2EDF ABE β∴∠-∠=∠，
设DEB α∠=∠，
1180180()1802MEB EDF ABE EDF ABE αβ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒-∠-∠=︒-∠，
DEB ∠比DHB ∠大60︒，
60αβ∴∠-︒=∠，
1802(60)αα∴∠=︒-∠-︒
解得100α∠=︒
DEB ∴∠的度数为100︒；
（3）PBM ∠的度数不变，理由如下：
如图3，过点E 作//ES CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，
BM 平分EBK ∠，DN 平分CDE ∠，
12
EBM MBK EBK ∴∠=∠=∠， 12
CDN EDN CDE ∠=∠=∠， //ES CD ，//AB CD ，
////ES AB CD ∴，
DES CDE ∴∠=∠，
180BES ABE EBK ∠=∠=︒-∠，
G PBK ∠=∠，
由（2）可知：100DEB ∠=︒，
180100CDE EBK ∴∠+︒-∠=︒，
80EBK CDE ∴∠-∠=︒，
//BP DN ，
CDN G ∴∠=∠，
12
PBK G CDN CDE ∴∠=∠=∠=∠， PBM MBK PBK ∴∠=∠-∠
1122
EBK CDE =∠-∠ 1()2
EBK CDE =∠-∠ 1802
=⨯︒ 40=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 7．（1）∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°；（2）①，见解析；②或
【分析】
（1）作PC ∥EF ，如图1，由PC ∥EF ，EF ∥MN 得到PC ∥MN ，根据平行线的性质得∠PAF ＋∠APC ＝180°，∠
解析：（1）∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°；（2）①CPD αβ∠=∠+∠，见解析；②CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠
【分析】
（1）作PC ∥EF ，如图1，由PC ∥EF ，EF ∥MN 得到PC ∥MN ，根据平行线的性质得∠PAF ＋∠APC ＝180°，∠PBN ＋∠CPB ＝180°，即有∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°；
（2）①过P 作PE ∥AD 交ON 于E ，根据平行线的性质，可得到EPD α∠=∠，
CPE β∠=∠，于是CPD αβ∠=∠+∠；
②分两种情况：当P 在OB 之间时；当P 在OA 的延长线上时，仿照①的方法即可解答．
【详解】
解：（1）∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°，理由如下：
作PC ∥EF ，如图1，
∵PC ∥EF ，EF ∥MN ，
∴PC ∥MN ，
∴∠PAF ＋∠APC ＝180°，∠PBN ＋∠CPB ＝180°，
∴∠PAF ＋∠APC +∠PBN ＋∠CPB ＝360°,
∴∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°；
（2）①CPD αβ∠=∠+∠，
理由如下：如答图，过P 作PE ∥AD 交ON 于E ，
∵AD ∥BC ，
∴PE ∥BC ，
∴EPD α∠=∠，CPE β∠=∠，
∴CPD αβ∠=∠+∠
②当P 在OB 之间时，CPD αβ∠=∠-∠，理由如下：
如备用图1，过P 作PE ∥AD 交ON 于E ，
∵AD ∥BC ，
∴PE ∥BC ，
∴EPD α∠=∠，CPE β∠=∠，
∴CPD αβ∠=∠-∠；
当P 在OA 的延长线上时，CPD βα∠=∠-∠，理由如下：
如备用图2，过P 作PE ∥AD 交ON 于E ，
∵AD ∥BC ，
∴PE ∥BC ，
∴EPD α∠=∠，CPE β∠=∠，
∴CPD βα∠=∠-∠；
综上所述，∠CPD ，∠α，∠β之间的数量关系是CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠.
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．难点是分类讨论作平行辅助线．
8．（1）；（2），证明见解析；（3），证明见解析．
【分析】
（1）过点作，先根据平行线的性质、平行公理推论可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可得； 解析：（1）90︒；（2）2APC AEC ∠=∠，证明见解析；（3）2360APC AEC ∠+∠=︒，证明见解析．
【分析】
（1）过点E 作//EF AB ，先根据平行线的性质、平行公理推论可得
,AEF BAE CEF DCE ∠=∠∠=∠，从而可得AEC BAE DCE ∠=∠+∠，再根据平行线的性质可得180PAB PCD ∠+∠=︒，然后根据角平分线的定义可得11,22
BAE PAB DCE PCD ∠=∠∠=∠，最后根据角的和差即可得； （2）过点E 作//EF AB ，过点P 作//PQ AB ，先根据（1）可得
1()2
AEC BAE DCE PAB PCD ∠=∠+∠=∠+∠，再根据（1）同样的方法可得APC PAB PCD ∠=∠+∠，由此即可得出结论；
（3）过点E 作//EF AB ，过点P 作//PQ AB ，先根据（1）可得2PAB PCD AEC ∠+∠=∠，再根据平行线的性质、平行公理推论可得180,180APQ PAB CPQ PCD ∠=︒-∠∠=︒-∠，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图，过点E 作//EF AB ，
AEF BAE ∴∠=∠，
//AB CD ，
//EF CD ∴，
CEF DCE ∴∠=∠，
AEC AEF CEF BAE DCE ∴∠=∠+∠=∠+∠，
又//AB CD ，且点P 运动到线段AC 上，
180PAB PCD ∴∠+∠=︒，
AE ∵平分PAB ∠，CE 平分PCD ∠， 11,22BAE PAB DCE PCD ∴∠=∠∠=∠， 111()90222
AEC PAB PCD PAB PCD ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒； （2）猜想2APC AEC ∠=∠，证明如下：
如图，过点E 作//EF AB ，过点P 作//PQ AB ，
由（1）已得：1()2
AEC BAE DCE PAB PCD ∠=∠+∠=∠+∠， 同理可得：APC PAB PCD ∠=∠+∠，
2APC AEC ∴∠=∠；
（3）2360APC AEC ∠+∠=︒，证明如下：
如图，过点E 作//EF AB ，过点P 作//PQ AB ，
由（1）已得：1()2
AEC BAE DCE PAB PCD ∠=∠+∠=∠+∠， 即2PAB PCD AEC ∠+∠=∠，
//PQ AB ，
180APQ PAB ∴∠+∠=︒，即180APQ PAB ∠=︒-∠，
//AB CD ，
//PQ CD ∴，
180CPQ PCD ∴∠+∠=︒，即180CPQ PCD ∠=︒-∠，
APC APQ CPQ ∴∠=∠+∠，
180180PAB PCD =︒-∠+︒-∠，
()360PAB PCD =︒-∠+∠，
3602AEC =︒-∠，
即2360APC AEC ∠+∠=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
9．（1）∠DAC ；（2）360°；（3）65°
【分析】
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C 作CF ∥AB 根据平行线的性质得到∠D=∠FCD ，∠B=∠BCF ，然后根据已知条件即可得到结论；
解析：（1）∠DAC ；（2）360°；（3）65°
【分析】
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C 作CF ∥AB 根据平行线的性质得到∠D =∠FCD ，∠B =∠BCF ，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）过点E 作EF ∥AB ，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED 的度数．
【详解】
解：（1）过点A 作ED ∥BC ，
∴∠B =∠EAB ，∠C =∠DCA ，
又∵∠EAB +∠BAC +∠DAC =180°，
∴∠B +∠BAC +∠C =180°．
故答案为：∠DAC ；
（2）过C 作CF ∥AB ，
∵AB ∥DE ，
∴CF ∥DE ，
∴∠D =∠FCD ，
∵CF ∥AB ，
∴∠B =∠BCF ，
∵∠BCF +∠BCD +∠DCF =360°，
∴∠B +∠BCD +∠D =360°；
（3）如图3，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，
∴∠ABE=1
2∠ABC=30°，∠CDE=1
2
∠ADC=35°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
10．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠E
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．
证明：过点M作MP∥AB．
∵AB∥CD，
∴MP∥CD．
∴∠4=∠3．
∵MP∥AB，
∴∠1=∠2．
∵∠EMF=∠2+∠3，
∴∠EMF=∠1+∠4．
∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；
证明：过点M作MQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD．
∴∠CFM+∠1=180°；
∵MQ∥AB，
∴∠AEM+∠2=180°．
∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．
∵∠EMF=∠1+∠2，
∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；
（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，
∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC
=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4
=∠2+∠3
=180°；
如图2第二个图：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2=∠3，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC
=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4
=180°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
三、解答题
11．（1）①115°；110°；②；理由见解析；（2）；理由见解析 【分析】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由
解析：（1）①115°；110°；②1902
AFD B ∠=︒+∠；理由见解析；（2）
1
902
AFD B ∠=︒-∠；理由见解析
【分析】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由角平分线定义得出1502
BAG BAC ∠=∠=︒，1152
FDG EDB ∠=∠=︒，由三角形的外角性质得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性质即可得出结果；若∠B=40°，则
∠BAC+∠C=180°-40°=140°，由角平分线定义得出12BAG BAC ∠=∠，1
2FDG EDB ∠=∠，由
三角形的外角性质即可得出结果；
②由①得：∠EDB=∠C ，1
502
BAG BAC ∠=∠=︒，1152
FDG EDB ∠=∠=︒，由三角形的外角性质得出∠DGF=∠B+∠BAG ，再由三角形的外角性质即可得出结论；
（2）由（1）得：∠EDB=∠C ，12BAG BAC ∠=∠，11
22BDH EDB C ∠=∠=∠,由三角形的外
角性质和三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°， 则∠B=180°-100°-30°=50°， ∵DE ∥AC ， ∴∠EDB=∠C=30°，
∵AG 平分∠BAC ，DF 平分∠EDB ，
∴1
502
BAG BAC ∠=∠=︒，1152
FDG EDB ∠=∠=︒， ∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°， ∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°； 若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°-40°=140°， ∵AG 平分∠BAC ，DF 平分∠EDB ，
∴12BAG BAC ∠=∠，1
2FDG EDB ∠=∠，
∵∠DGF=∠B+∠BAG ，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG
=()1
2
B BA
C C ∠+
∠+∠ 1
401402=︒+⨯︒
4070110=︒+︒=︒
故答案为：115°；110°； ②1902
AFD B ∠=︒+∠；
理由如下：由①得：∠EDB=∠C ，12BAG BAC ∠=∠，1
2FDG EDB ∠=∠，
∵∠DGF=∠B+∠BAG ， ∴∠AFD=∠DGF+∠FDG =∠B+∠BAG+∠FDG =()1
2
B BA
C C ∠+
∠+∠ ()1
1802
B B =∠+
︒-∠ 1
902
B =︒+∠；
（2）如图2所示：1902
AFD B ∠=︒-∠； 理由如下：
由（1）得：∠EDB=∠C ，12BAG BAC ∠=∠，11
22BDH EDB C ∠=∠=∠，
∵∠AHF=∠B+∠BDH ， ∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF
1
1802BAC B BDH
=︒-∠-∠-∠
11
18022
BAC B C =︒-∠-∠-∠
()1
1802
B BA
C C =︒-∠-
∠+∠ ()1
1801802
B B =︒-∠-
︒-∠ 1
180902
B B =︒-∠-︒+∠
1
902
B =︒-∠．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．
12．（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当时，；当时，． 【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，进而可求和的度数；
解析：（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当αβ<时，1()2EAD βα∠=-；当αβ>时，1
()2
EAD αβ∠=-．
【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出
EAC ∠和DAC ∠的度数，进而可求AEC ∠和EAD ∠的度数；
（2）先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出
EAC ∠和DAC ∠的度数，则前三问利用EAD EAC DAC ∠=∠-∠即可得出答案，第4问利
用EAD DAC EAC ∠=∠-∠即可得出答案；
（3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案． 【详解】
（1）∵20B ∠=︒，60C ∠=°， ∴180100BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1
502EAC BAC ∠=∠=︒．
∵AD 是高，
90ADC ADE ∴∠=∠=︒ ， 9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ， 20EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ， 9070AEC EAD ∴∠=︒-∠=︒ ．
（2）当30B ∠=︒，60C ∠=°时， ∵30B ∠=︒，60C ∠=°， ∴18090BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1
452EAC BAC ∠=∠=︒．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ， 15EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当50B ∠=︒，60C ∠=°时， ∵50B ∠=︒，60C ∠=°， ∴18070BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1
352EAC BAC ∠=∠=︒．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ， 5EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当60B ∠=︒，60C ∠=°时， ∵60B ∠=︒，60C ∠=°， ∴18060BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1
302EAC BAC ∠=∠=︒．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ， 0EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当70B ∠=︒，60C ∠=°时， ∵70B ∠=︒，60C ∠=°， ∴18050BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1
252EAC BAC ∠=∠=︒．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
5EAD DAC EAC ∴∠=∠-∠=︒ ．
（3）当B C ∠<∠ 时，即αβ<时， ∵B α∠=，C β∠=，
∴180180BAC B C αβ∠=︒-∠-∠=︒-- ． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1111
(180)902222EAC BAC αβαβ∠=∠=︒--=--．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9090CAD C β∴∠=︒-∠=︒- ，
1
()2
EAD EAC CAD βα∴∠=∠-∠=- ；
当B C ∠>∠ 时，即αβ>时， ∵B α∠=，C β∠=，
∴180180BAC B C αβ∠=︒-∠-∠=︒-- ． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1111
(180)902222
EAC BAC αβαβ∠=∠=︒--=--．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9090CAD C β∴∠=︒-∠=︒- ，
1
()2
EAD DAC EAC αβ∴∠=∠-∠=- ；
综上所述，当αβ<时，1()2EAD βα∠=-；当αβ>时，1
()2
EAD αβ∠=-．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理和三角形的角平分线，高，掌握三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余是解题的关键．
13．（1）∠A ；70°；35°； （2）∠A=2n ∠An （3）25°
（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确，Q+∠A1=180°． 【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC ，∠A1CD
解析：（1）∠A ；70°；35°； （2）∠A=2n ∠A n （3）25°
（4）①∠Q+∠A 1的值为定值正确，Q+∠A 1=180°． 【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠A 1BC=1
2∠ABC ，∠A 1CD=1
2∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解；
（2）由∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，∠ACD=∠ABC+∠A ，而A 1B 、A 1C 分别平分∠ABC 和∠ACD ，得到∠ACD=2∠A 1CD ，∠ABC=2∠A 1BC ，于是有∠BAC=2∠A 1，同理可得∠A 1=2∠A 2，即∠A=22∠A 2，因此找出规律；
（3）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°-∠DCE ）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-2∠DCF ）=180°-2（∠DCF-∠FBC ）=180°-2∠F ，从而得出结论；
（4）依然要用三角形的外角性质求解，易知2∠A 1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE ），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE ，即可得到∠A 1和∠Q 的关系． 【详解】
解：（1）当∠A 为70°时， ∵∠ACD-∠ABD=∠A ， ∴∠ACD-∠ABD=70°，
∵BA 1、CA 1是∠ABC 的角平分线与∠ACB 的外角∠ACD 的平分线， ∴∠A 1CD-∠A 1BD=1
2（∠ACD-∠ABD ）
∴∠A1=35°；
故答案为：A，70，35；
（2）∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=2∠A1=80°，
∴∠A1=40°，
同理可得∠A1=2∠A2，
即∠BAC=22∠A2=80°，
∴∠A2=20°，
∴∠A=2n∠A n，
故答案为：∠A=2∠A n．
（3）∵∠ABC+∠DCB=360°-（∠A+∠D），
∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（∠A+∠D）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，
∴360°-（α+β）=180°-2∠F，
2∠F=∠A+∠D-180°，
∴∠F=1
2
（∠A+∠D）-90°，
∵∠A+∠D=230°，
∴∠F=25°；
故答案为：25°．
（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确．
∵∠ACD-∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线∴∠A1=∠A1CD-∠A1BD=
1
2
∠BAC，
∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分线，
∴∠QEC+∠QCE=1
2（∠AEC+∠ACE）=1
2
∠BAC，
∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-1
2
∠BAC，
∴∠Q+∠A1=180°．
【点睛】
本题主要考查三角形的外角性质和角平分线的定义的运用，根据推导过程对题目的结果进行规律总结对解题比较重要．
14．（1）见解析；（2）∠BGD＝；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．
【分析】
（1）根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB＝（∠ABD+∠BDC），根据平行线的性质∠ABD+∠BDC＝180°
解析：（1）见解析；（2）∠BGD＝90
2
a
︒-
；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．
【分析】
（1）根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB＝1
2
（∠ABD+∠BDC），根据平行线的性质∠ABD+∠BDC＝180°，从而根据∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）即可得到答案；
（2）过点G作GP∥AB，根据AB∥CD，得到GP∥AB∥CD，从而得到∠BGD＝
∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG，然后根据∠EBD+∠EDB＝90°，∠ABD+∠BDC＝180°，
得到∠ABE+∠EDC＝90°，即∠ABE+α+∠FDC＝90°，再利用角平分线的定义求出
2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α即可得到答案；
（3）过点F、G分别作FM∥AB、GM∥AB，从而得到AB∥GM∥FN∥CD，得到∠BGD＝
∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，根据BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，∠4＝1
2∠FBP＝1
2
（180°
﹣∠3），∠6＝1
2∠FDQ＝1
2
（180°﹣∠5），即可求解.
【详解】
解：（1）证明：∵BE平分∠ABD，
∴∠EBD＝1
2
∠ABD，
∵DE平分∠BDC，
∴∠EDB＝1
2
∠BDC，
∴∠EBD+∠EDB＝1
2
（∠ABD+∠BDC），∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∴∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）＝90°．（2）解：如图2，
由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°，
又∵∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
即∠ABE+α+∠FDC＝90°，
∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，
∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，
∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α，
过点G作GP∥AB，
∵AB∥CD，
∴GP∥AB∥CD
∴∠ABG＝∠BGP，∠PGD＝∠CDG，
∴∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG＝90
2α
-
；
（3）如图，过点F、G分别作FN∥AB、GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GM∥FN∥CD，
∴∠3＝∠BFN，∠5＝∠DFN，∠4＝∠BGM，∠6＝∠DGM，∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠3+∠5，
∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，
∵BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，
∴∠4＝1
2∠FBP＝1
2
（180°﹣∠3），
∠6＝1
2∠FDQ＝1
2
（180°﹣∠5），
∴∠BFD+∠BGD＝∠3+∠5+∠4+∠6，
＝∠3+∠5+1
2（180°﹣∠3）+1
2
（180°﹣∠5），
＝180°+1
2
（∠3+∠5），
＝180°+1
2
∠BFD，
整理得：2∠BGD+∠BFD＝360°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质和三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
15．（1）100；（2）75°；（3）n=3．
【分析】
（1）如图：过O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，
∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OB
解析：（1）100；（2）75°；（3）n =3．
【分析】
（1）如图：过O 作OP //MN ，由MN //OP //GH 得∠NAO +∠POA =180°，
∠POB +∠OBH =180°，即∠NAO +∠AOB +∠OBH =360°，即可求出∠AOB ；
（2）如图：分别延长AC 、CD 交GH 于点E 、F ，先根据角平分线求得58NAC ∠=︒，再根据平行线的性质得到58CEF ∠=︒；进一步求得18DBF ∠=︒，17DFB ∠=︒，然后根据三角形外角的性质解答即可；
（3）设BF 交MN 于K ，由∠NAO =116°，得∠MAO =64°，故∠MAE =641n n ︒⨯+，同理∠OBH =144°，∠HBF =n ∠OBF ，得∠FBH =
1441n n ︒⨯+，从而=n BKA FBH n ∠∠=⨯︒+1441，又∠FKN =∠F +∠FAK ，得
144606411
n n n n ︒︒︒⨯=+⨯++，即可求n ． 【详解】
解：（1）如图：过O 作OP //MN ，
∵MN //GHl
∴MN //OP //GH
∴∠NAO +∠POA =180°，∠POB +∠OBH =180°
∴∠NAO +∠AOB +∠OBH =360°
∵∠NAO =116°，∠OBH =144°
∴∠AOB =360°-116°-144°=100°；
（2）分别延长AC 、CD 交GH 于点E 、F ，
∵AC 平分NAO ∠且116NAO ∠=︒，
∴58NAC ∠=︒，
又∵MN //GH ，
∴58CEF ∠=︒；
∵144OBH ∠=︒，36OBG ∠=︒
∵BD 平分OBG ∠，
∴18DBF ∠=︒，
又∵,CDB ∠=︒35
∴351817DFB CDB DBF ∠=∠-∠=-=︒；
∴175875ACD DFB AEF ∠=∠+∠=︒+︒=︒；
（3）设FB 交MN 于K ，
∵116NAO ∠=︒，则MAO ∠=︒64； ∴641
n MAE n ∠=⨯︒+ ∵144OBH ∠=︒， ∴+1n FBH n ∠=
⨯︒144，=n BKA FBH n ∠∠=⨯︒+1441， 在△FAK 中，64601
n BKA FKA F n ∠=∠+∠=
⨯︒+︒+, ∴144646011n n n n ⨯︒=⨯︒+︒++， ∴3n =．
经检验：3n =是原方程的根，且符合题意.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键．。