潍坊市五中数学一元二次方程单元培优测试卷

潍坊市五中数学一元二次方程单元培优测试卷
一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）
1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒
（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积
的7
9
，求t的值；
（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．
【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 4
7
7
58．
【解析】
【分析】
（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD
的面积和是△ABC的面积的7
9
，列出方程、解方程即可解答；
（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】
（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝1
2
×6×6＝18，
∵AP＝t，CP＝6﹣t，
∴△PBC与△PAD的面积和＝1
2t2+
1
2
×6×（6﹣t），
∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的7
9
，
∴1
2t2+
1
2
×6×（6﹣t）＝18×
7
9
，
解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，
①如图1，当0≤t ≤2时，S ＝（2t ）2﹣12t 2＝72t 2＝8， 解得：t 1＝477，t 2＝﹣477
（不合题意，舍去）， ②如图2，当2≤t ≤3时，S ＝12×6×6﹣12t 2﹣12（6﹣2t ）2＝12t ﹣25
t 2＝8， 解得：t 1＝4（不合题意，舍去），t 2＝
45（不合题意，舍去）， ③如图3，当3≤t ≤6时，S ＝12⨯ 6×6﹣12
t 2＝8， 解得：t 1＝25，t 2＝﹣25（不合题意，舍去），
综上，t 的值为4
77或25时，重叠面积为8．
【点睛】
本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.
2．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象1l 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点A 坐标为()9,0，正比例函数12
y x =的图象2l 与1l 交于点(),3C m ，点(),0N n 在x 轴上一个动点，过点N 作x 轴的垂线与直线1l 和2l 分别交于P 、Q 两点．
（1）求m 的值及直线1l 所对应的一次函数表达式；
（2）当03PQ <时，求n 的取值范围；
（3）求出当n 为何值时，PQC ∆面积为12？
【答案】（1）6m =；9y x =-+；（2）46n <或68n <；（3）2n =或10．
【解析】
【分析】
（1）直接将点C 代入正比例函数，可求得m 的值，然后将点C 和点A 代入一次函数，可求得一次函数解析式；
（2）用含n 的式子表示出PQ 的长，然后解不等式即可；
（3）用含有n 的式子表示出△PQC 的底边长和高的长，然后求解算式即可得．
【详解】
（1）将点C(m ，3)代入正比例函数12
y x =得： 3=
1m 2
，解得：m=6 则点C(6，3)
∵A(9，0) 将点A ，C 代入一次函数y kx b =+得：
0936k b k b =+⎧⎨=+⎩
解得：k=－1，b=9
∴一次函数解析式为：y=－x+9
（2）∵N(n ，0)
∴P(n ，9－n)，Q(n ，
12n ) ∴PQ=192
n n -- ∵要使03PQ < ∴0＜1932n n --
≤ 解得：46n <或68n <
（3）在△PQC 中，以PQ 的长为底，则点C 到PQ 的距离为高，设为h
第（2）已知：PQ=139922
n n n --
=- 由图形可知，h=6n -
∵△PQC 的面积为12
∴12=136922
n n -- 情况一：当n ＜6是，则原式化简为：12=
()136922n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 解得：n=2或n=10(舍)
情况二：当n ≥6时，则原式化简为：12=
()136922n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
解得：n=2(舍)或n=10
综上得：n=2或n=10．
【点睛】 本题考查一次函数的综合，用到了解一元二次方程，求三角形面积等知识点，解题关键是用含n 的算式表示出PQ 的长度，注意需要添加绝对值符号．
3．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从去年年底至今年3月20日，猪肉价格不断走高，3月20日比去年年底价格上涨了60%．某市民在今年3月20日购买2.5千克猪肉至少要花200元钱，那么去年年底猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2）3月20日，猪肉价格为每千克60元，3月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克60元的基础上下调a %出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克60元的情况下，该天的两种猪肉总销量比3月20日增加了a %，且储备猪肉的销量占总销量的34
，两种猪肉销售的总金额比3月20日提高了1%10
a ，求a 的值． 【答案】（1）去年年底猪肉的最低价格为每千克50元；（2）a 的值为20．
【解析】
【分析】
（1）设去年年底猪肉价格为每千克x 元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可； （2）设3月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）设去年年底猪肉价格为每千克x 元；
根据题意得：2．5×（1+60%）x ≥200，
解得：x ≥50．
答：去年年底猪肉的最低价格为每千克50元；
（2）设3月20日的总销量为1；
根据题意得：60（1﹣a%）×34
(1+a%）+60×14 (1+a%）=60（1+110a%），
令a%=y ，原方程化为：60（1﹣y ）×
34
(1+y ）+60×14(1+y ）=60（1+110y ）， 整理得：5y 2﹣y=0，
解得：y=0.2，或y=0（舍去），
则a%=0.2，
∴a=20；
答：a 的值为20．
【点睛】 本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用；根据题意列出不等式和方程是解决问题的关键．
4．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．
小张：“该商品的进价为 24元/件．”
成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”
成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？
【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件
【解析】
【分析】
设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是
[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．
【详解】
解：设每件商品定价为x 元．
①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ，
解得：1240,48;x x ==
②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=，
解得：1236,40x x ==（舍去），.
答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．
5．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求a 的取值范围；
（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．
【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；
（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣
2-6a a ，x 1x 2=-6a a ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣
66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2．
【详解】
（1）∵原方程有两实数根，
∴260(2)4(6)*0
a a a a -≠⎧⎨∆=-->⎩， ∴a≥0且a≠6．
（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，
∴x 1+x 2=﹣26a a -，x 1x 2=6
a a -， ∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=
-6a a ﹣26a a -+1=﹣66a -． ∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数，
∴﹣
66a -是负整数，即66
a -是正整数． ∵a 是整数，
∴a ﹣6的值为1、2、3或6，
∴a 的值为7、8、9或12．
【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．
6．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2
a ，B 种品牌的建材的销售量
减少了
2%5a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23
a ，求a 的值. 【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30.
【解析】
【分析】
（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可.
【详解】
（1）设销售A 品牌的建材x 件.
根据题意，得()60009000126966000x x +-≥，
解这个不等式，得56x ≤，
答：至多销售A 品牌的建材56件.
（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件，
根据题意，得
()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=， 解这个方程，得1230,10
y y ==， ∴10a =（舍去），230a =，
即a 的值是30.
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
7．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别以3cm /s 、2cm /s 的速度从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动．
(1)若点P 从点A 移动到点B 停止，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是多少cm ？
(2)若点P 从点A 移动到点B 停止，点Q 随点P 的停止而停止移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？
(3)若点P 沿着AB →BC →CD 移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 移动到点D 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ 的面积为12cm 2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）8
5
s或
24
5
s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴2cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=8
5
，x2=
24
5
；
∴经过8
5
s或
24
5
sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤
163时，则PB=16-3y ， ∴12PB•BC=12，即12
×（16-3y ）×6=12， 解得y=4；
②当163
＜x≤223时， BP=3y-AB=3y-16，QC=2y ，则
12BP•CQ=12
（3y-16）×2y=12， 解得y 1=6，y 2=-
23（舍去）； ③223
＜x≤8时， QP=CQ-PQ=22-y ，则
12QP•CB=12
（22-y ）×6=12， 解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．
考点：一元二次方程的应用．
8．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．
己知函数2
22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114
x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．
【答案】（1）当m =0
和
（2）见解析,
（3）AM 的解析式为112
y x =-
-． 【解析】
【分析】
（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】
（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．
（2）令y=0，得△=
∴无论m 取何值，方程
总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有
， 由解得．
∴函数的解析式为
． 令y=0，解得
∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，
则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．
易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．
连结CB’，则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°
∴∠BCB’=90°
即B’（106-，）
设直线AB’的解析式为y kx b =+，则
20{106k b k b -+=+=-，解得112
k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =-
-， 即AM 的解析式为112
y x =--．
9．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在正方形EFGH 的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD 的外接正方形．
探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，
所以EF＝FG＝GH＝HE2EB＝x，则BF2﹣x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF＝AE2﹣x
在Rt△AEB中，由勾股定理，得
x2+2﹣x）2＝12
解得，x1＝x2＝
2 2
∴BE＝BF，即点B是EF的中点．
同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．
所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍
探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）
探究三：已知边长为1的正方形ABCD，一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）
探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）
【答案】不存在，详见解析
【解析】
【分析】
探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．
【详解】
探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，
所以EF=FG=GH=HE3，设EB=x，则BF3x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC，
∴BF=AE3﹣x，
在Rt△AEB中，由勾股定理，得，
x 2+x ）2=12，
整理得x 2x +1=0，
b 2﹣4a
c =3﹣4＜0，
此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的3倍；
探究三：因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为4，
所以EF =FG =GH =HE =2，设EB =x ，则BF =2﹣x ，
∵Rt △AEB ≌Rt △BFC ，
∴BF =AE =2﹣x ，
在Rt △AEB 中，由勾股定理，得，
x 2+（2﹣x ）2=12，
整理得2x 2﹣4x +3=0，
b 2﹣4a
c =16﹣24＜0，
此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的3倍，
故答案为不存在；
探究四：因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为n ，
所以EF =FG =GH =HE ，设EB =x ，则BF ﹣x ，
∵Rt △AEB ≌Rt △BFC ，
∴BF =AE ﹣x ，
在Rt △AEB 中，由勾股定理，得，
x 2+﹣x ）2=12，
整理得2x 2﹣+n ﹣1=0，
b 2﹣4a
c =8﹣4n ＜0，
此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的n 倍．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．
10．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF .
（1）当BG =时，求AE 的长；
（2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；
（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.
【答案】（1）92AE =
；（2）62EF =；（3）185
BG =. 【解析】
【分析】 （1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得；
（2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；
（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得．
【详解】
（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-，
由勾股定理，得()()2
22632x x =-+，解得9
2x =，即92AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，
当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，
当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合，
此时四边形AEGF 是正方形，
∴折痕226662EF =+=.
（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：
①当FG=FC 时，如图2，过F 作FH ⊥CG 于H ，
则有：AF=FG=FC ，CH=DF=GH
设AF=FG=FC=x ，则DF=10-x=CH=GH
在Rt △CFH 中
∵CF 2=CH 2+FH 2
∴x 2=62+（10-x ）2
解得：x=345
，
∴DF=CH=GH=10-16
5
，
即BG=10-16
5
×2=
18
5
，
②当FG=GC时，则有：AF=FG=GC=x，CH=DF=10-x；∴GH=x-（10-x）=2x-10，
在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2=62+（2x-10）2，化简得：3x2-40x+136=0，
∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，
∴此方程没有实数根．
综上可知：BG=18
5
．
【点睛】
本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．。