中考数学压轴题专题(2)

6如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点. （1）求抛物线2L 对应的函数表达式；免费资料来自
（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.
7.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．
（1）求梯形ABCD 的面积；
（2）求四边形MEFN 面积的最大值．
（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．
C D A B
E F N
M
8.如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数x
k
y
的图象上． （1）求m ，k 的值；
（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，
试求直线MN 的函数表达式．
（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标 为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平
移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1， 则点P 1的坐标为 ，点Q 1的坐标为
．
友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对
完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．
9.如图16
，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，
抛物线2
(0)y ax x c a =+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．
x
10.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =
，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
6
x
7解：（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ． ……………1分 ∵ AB ∥CD ，
∴ DG ＝CH ，DG ∥CH ．
∴ 四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1．
∵ DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°，
∴ △AGD ≌△BHC （HL ）．
∴ AG ＝BH ＝2
1
72-=
-GH AB ＝3． ………2分 ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴ DG ＝4．
∴ ()174162
ABCD S +⨯==梯形． ………………………………………………3分
（2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，
A B E F G
H A B
E F
∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ． ∴ 四边形MEFN 为矩形． ∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．
∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）．
∴ AE ＝BF ． ……………………4分 设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ． ……………5分 ∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ．
∴ DG
ME AG AE =
． ∴ ME ＝x 34
． …………………………………………………………6分
∴ 6
49
4738)2(7342
+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN 矩形． ……………………8分
当x ＝47时，ME ＝37
＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为6
49．……………9分
（3）能． ……………………………………………………………………10分
由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 3
4
．
若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ．
即 =34x 7－2x ．解，得 10
21
=x ． ……………………………………………11分
∴ EF ＝2114
7272105
x -=-⨯
=＜4． ∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为25196
5142
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=MEFN
S 正方形． 8解：（1）由题意可知，()()()131-+=+m m m m ．
解，得 m ＝3． ………………………………3分
∴ A （3，4），B （6，2）； ∴ k ＝4×3=12． ……………………………4分 （2）存在两种情况，如图：
①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴
上时，设M 1点坐标为（x 1，0），N 1点坐标为（0，y 1）．
∵ 四边形AN 1M 1B 为平行四边形，
∴ 线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位， 再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2
由（1）知A 点坐标为（3，4），B 点坐标为（6，2）， ∴ N 1点坐标为（0，4－2），即N 1（0，2）； ………………………………5分 M 1点坐标为（6－3，0），即M 1（3，0）． ………………………………6分
设直线M 1N 1的函数表达式为21+=x k y ，把x ＝3，y ＝0代入，解得3
2
1-=k ．
∴ 直线M 1N 1的函数表达式为23
2
+-=x y ． ……………………………………8分
②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为（x 2，0），N 2
点坐标为（0，y 2）．
∵ AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2， ∴ N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．
∴ 线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称． ∴ M 2点坐标为（-3，0），N 2点坐标为（0，-2）． ………………………9分
设直线M 2N 2的函数表达式为22-=x k y ，把x ＝-3，y ＝0代入，解得3
2
2-=k ，
∴ 直线M 2N 2的函数表达式为23
2
--=x y ．
所以，直线MN 的函数表达式为23
2
+-=x y 或232--=x y ． ………………11分
（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分 9解：（1）
直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．
(10)A ∴-，
，(0C ， ·
················································································· 1分 点A C ，都在抛物线上，
0a c c ⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩
a c ⎧=
⎪∴⎨⎪=⎩
∴
抛物线的解析式为2y x x =
·
····················································· 3分 ∴
顶点1F ⎛ ⎝
⎭ ······················································································· 4分 （2）存在 ····································································································· 5分
1(0
P ··································································································· 7分
2(2
P ··································································································· 9分 （3）存在 ··································································································· 10分
理由： 解法一：
延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点． ·············································································· 11分 过点B '作B H AB '⊥于点H ．
B
点在抛物线2y x x =
(30)B ∴，
在Rt BOC △
中，tan OBC ∠=，
x
30OBC ∴∠=
，BC =
在Rt BB H '△
中，1
2
B H BB ''=
=
6BH H '==，3OH ∴=
，(3B '∴--， ············································· 12分 设直线B F '的解析式为y kx b =+
3k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩
解得2
k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
62
y x ∴=
-
······················································································ 13分
y y x ⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩
解得377x y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
37M ⎛∴ ⎝⎭
， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △
的周长最小，此时377M ⎛- ⎝
⎭，． ······· 14分 解法二：
过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，则点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH 交
AC 于点M ，则点M 即为所求． ································ 11分
过点F 作FG y ⊥轴于点G ，则OB FG ∥，BC FH ∥．
90BOC FGH ∴∠=∠=，BCO FHG ∠=∠ HFG CBO ∴∠=∠
同方法一可求得(30)B ，
． 在Rt BOC △
中，tan 3OBC ∠=
，30OBC ∴∠=
，可求得3
GH GC ==， GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形，
AC ∴垂直平分FH ．
即点H 为点F 关于AC
的对称点．0H ⎛∴ ⎝⎭
，
··········································· 12分 设直线BH 的解析式为y kx b =+，由题意得
x
03k b b =+⎧⎪⎨
=⎪⎩
解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
y ∴=
······················································································ 13分
y y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩
解得37x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
3177M ⎛∴- ⎝⎭， ∴在直线
AC 上存在点M ，使得MBF △
的周长最小，此时37M ⎛ ⎝⎭
，． 1 10解：（1）点E 在y 轴上 ················································································ 1分 理由如下：
连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，
1AB =
，BO =2AO ∴=
1
sin 2
AOB ∴∠=
，30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠=
306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=
点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． ································································· 3分 （2）过点D 作DM x ⊥轴于点M
1OD =，30DOM ∠=
∴在Rt DOM △中，12DM =
，OM =点D 在第一象限，
∴点D 的坐标为12⎫⎪⎪⎝
⎭， ················································································ 5分 由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上
∴点E 的坐标为(02)，
∴点A
的坐标为( ·
················································································· 6分
抛物线2y ax bx c =++经过点E ，
2c ∴=
由题意，将(A
，122D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，代入22y ax bx =++中得
32131242a a ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩
解得899a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴
所求抛物线表达式为：2829y x x =-+ ·················································· 9分 （3）存在符合条件的点P ，点Q ． ································································· 10分 理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO ==
∴以O B P Q ，，，
为顶点的平行四边形面积为
由题意可知OB 为此平行四边形一边， 又3OB =
OB ∴边上的高为2 ······················································································· 11分
依题意设点P 的坐标为(2)m ， 点P
在抛物线2829y x x =-+上
28229m ∴--+= 解得，10m =
，2m = 1(02)P ∴，
，22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，
PQ OB ∴∥
，PQ OB ==，
∴当点1P 的坐标为(02)，
时，
点Q 的坐标分别为1(Q ，2Q ；
当点2P 的坐标为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
时，
点Q 的坐标分别为32Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，42Q ⎫⎪⎪⎝⎭
． ··········································· 14分 （以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）。