2020-2021初中数学方程与不等式之分式方程单元汇编含答案

2020-2021初中数学方程与不等式之分式方程单元汇编含答案
一、选择题
1．分式方程22111
x x x -=--，解的情况是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝2
C ．x ＝﹣1
D ．无解
【答案】D 【解析】 【分析】
观察式子确定最简公分母为（x+1）（x ﹣1），再进一步求解可得． 【详解】
方程两边同乘以（x+1）（x ﹣1），得： x （x+1）﹣（x 2﹣1）＝2， 解方程得：x ＝﹣1，
检验：把x ＝﹣1代入x+1＝0， 所以x ＝﹣1不是方程的解． 故选：D ． 【点睛】
此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键
2．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为（ ）
A ．10000
x ﹣10=
147000(140)0x + B ．10000
x +10=147000(140)0x +
C ．100000(140)0x -﹣
10=14700
x D ．100000(140)0
x -+10=14700
x
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可． 【详解】
解：设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为：
10000
x +10=()
1470001400
x +． 故选B ． 【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
3．若关于x 的分式方程
2x
x -﹣
12m x
--=3的解为正整数，且关于y 的不等式组2()52
212
6m y y y ⎧-≤⎪⎪⎨
+⎪+>⎪⎩至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m 的取值之和为（ ） A ．1 B ．0
C ．5
D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m 的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m 的值，最后求和即可． 【详解】
解：化简不等式组为25
632y m y y -≤⎧⎨+>+⎩
，
解得：﹣2＜y ≤
52
m +， ∵不等式组至多有六个整数解，
∴
5
2m +≤4， ∴m ≤3，
将分式方程的两边同时乘以x ﹣2，得 x +m ﹣1=3（x ﹣2）， 解得：x =
5
2
m +， ∵分式方程的解为正整数， ∴m +5是2的倍数， ∵m ≤3，
∴m =﹣3或m =﹣1或m =1或m =3， ∵x ≠2，
∴
5
2
m +≠2， ∴m ≠﹣1，
∴m =﹣3或m =1或m =3，
∴符合条件的所有整数m 的取值之和为1， 故选：A ． 【点睛】
本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．
4．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x 公里，根据题意列出的方程正确的是（ ） A ．60(125%)60
60x x ⨯+-=
B ．6060(125%)60x x ⨯+-=
C ．
6060
60(125%)x x
-=+
D ．
606060(125%)x x
-=+ 【答案】D 【解析】 【分析】
设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里，根据题意即可列出分式方程. 【详解】
解：设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里， 依题意得：606060(125%)x x
-=+． 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
5．对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b ＝21
a b a
-．若x ⊗（2x ﹣1）＝1，则x 的值为（ ） A ．1 B ．
13 C ．﹣1
D ．-
13
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=21
121x x x
-=-， 解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解， 故选A ． 【点睛】
本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
6．甲、乙两人同时分别从A ，B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地．已知A ，C 两地间的距离为110千米，B ，C 两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C 地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）
A ．
110100
2x x =+ B ．
110100
2
x x =+ C ．
110100
2x x
=- D ．
110100
2
x x =- 【答案】A 【解析】
设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．
解：设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意得：
1102x +=100
x
， 故选A ．
7．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()2
2
240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程
1311y a y y
+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6- B ．4- C ．2- D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
由一元二次方程()2
2
240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程
1
311y a y y
+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】
方程()2
2
240x a x a --+=有实数解，
∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0， 解得a ⩽2
∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程
1
311y a y y
+-=-- 解得y=
2
a
+2 ∵y 有整数解
∴a=−4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a的值为−4，0，2，
符合条件的a的值的和是−2
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
8．甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是
A．120100
x x10
=
-
B．
120100
x x10
=
+
C．
120100
x10x
=
-
D．
120100
x10x
=
+
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
甲队每天修路xm，则乙队每天修（x－10）m，因为甲、乙两队所用的天数相同，
所以，120100 x x10
=
-
.
故选A.
9．若数a使关于x的不等式组
()
3x a2x1
1x
2x
2
⎧-≥--
⎪
⎨-
-≥
⎪⎩
有解且所有解都是2x+6＞0的解，且
使关于y的分式方程y5
1y
-
-
+3=
a
y1
-
有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是
（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．
【详解】
不等式组整理得：
1
3
x a
x
≥-
⎧
⎨
≤
⎩
，
由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，
分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=
2
2
a-
，
由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．春节期间嘉嘉去距家10千米的电影院看电影，计划骑自行车和坐公交车两种方式，已知汽车的速度是骑车速度的2倍，若坐公交车可以从家晚15分钟出发恰好赶上公交车，结果与骑自行车同时到达，设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是()
A．1010
15
2
x x
-=B．
1010
15
2x x
-=C．
10101
24
x x
-=D．
10101
24
x x
-=
【答案】C
【解析】
【分析】
设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，根据“汽车所用时间-坐公交车所用时间15
=分钟”列出方程即可得．
【详解】
设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，
∴所列方程正确的是：10101
24
x x
-=，
故选：C．
【点睛】
此题考查由实际问题列分式方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是列方程的关键．11．八年级（1）班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（）
A．300300
20
1.2
x x
-=B．
30030020
1.260
x x
=-
C．30030020
1.260
x x x
-=
+
D．
30020300
60 1.2
x x
-=
【答案】D
【解析】
【分析】
原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计
划植300棵树可用时300
x
小时，实际用了
300
1.2x
小时，根据关键语句“结果提前20分钟完
成任务”可得方程． 【详解】
设原计划每小时植树x 棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x 棵，由
题意得：
30020300
60 1.2x x
-=， 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间．
12．方程
1235
x x =+的解为( ). A ．1x =- B ．0x =
C ．3x =-
D ．1x =
【答案】D 【解析】 【分析】
方程两边同乘以3x （x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可求得分式方程的解. 【详解】
方程两边同乘以3x （x+5）得， x+5=6x ， 解得x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解. 故选D. 【点睛】
本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意，解分式方程一定要验根.
13．如果关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，且关于x 的分式方程
233x a a x x -+=--有整数解，则 符合条件的整数a 有（ ）个． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
由一元二次方程根的判别式求得a 的取值范围，再解分式方程，利用解为整数分析得出答
案． 【详解】
解：因为：关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，
所以：244(3)0a -⨯-≥，且0a ≠， 解得：4
3
a ≥-且0a ≠，
因为：
233x a a x x
-+=--， 所以：23x a ax a -+=-， 所以：(1)22a x a -=+，
当1a =时，方程无解， 当1a ≠时，方程的解为224
211
a x a a +==+--， 因为x 为整数且3x ≠，
所以1a -是4的约数，所以11,12,14,a a a -=±-=±-=± 所以a 的值为：3,1,0,2,3,5--， 又因为：4
3
a ≥-且0a ≠，1,a ≠ 3x ≠，
所以3,0,5a a a =-==不合题意舍掉， 所以a 的值为：1,2,3,-． 故选B ． 【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解的情况，掌握知识点并能注意到分式方程的增根是解题关键．
14．若关于x 的方程
333x m m x x
++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜
92 B ．m ＜
92
且m≠32
C ．m ＞﹣9
4
D ．m ＞﹣9
4且m≠﹣34
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
解：去分母得：x+m ﹣3m=3x ﹣9， 整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=29
2
m -+， 已知关于x 的方程
333x m m
x x
++--=3的解为正数， 所以﹣2m+9＞0，解得m ＜
92
，
当x=3时，x=
292m -+=3，解得：m=3
2
， 所以m 的取值范围是：m ＜92
且m≠3
2．
故答案选B ．
15．已知关于x 的分式方程213
x m
x -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤ B ．3m <
C ．3m >-
D ．3m ≥-
【答案】A 【解析】 【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可 【详解】
213
x m
x -=-， 方程两边同乘以3x -，得
23x m x -=-，
移项及合并同类项，得
3x m =-，
Q 分式方程213x m
x -=-的解是非正数，30x -≠，
30(3)30m m -≤⎧∴⎨--≠⎩
， 解得，3m ≤， 故选：A ． 【点睛】
此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值
16．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】C 【解析】
设每个A 型包装箱可以装书x 本，则每个B 型包装箱可以装书（x+15）本，根据单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个，列方程得：
，故选C.
17．解分式方程
21211
x x =--时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） A ．x +1＝2（x ﹣1） B ．x ﹣1＝2（x +1） C ．x ﹣1＝2 D ．x +1＝2 【答案】D 【解析】 【分析】
先确定分式方程的最简公分母，然后左右两边同乘即可确定答案； 【详解】
解：由题意可得最简公分母为（x+1）（x-1） 去分母得：x +1＝2， 故答案为D ． 【点睛】
本题考查了分式方程的解法，解答的关键在于最简公分母的确定.
18．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列方程为（ ） A ．900900
213
x x ⨯=+- B ．
900900
213
x x =⨯+- C ．
900900213
x x ⨯=-+ D ．
900900
213x x =⨯-+ 【答案】A 【解析】 【分析】
设规定时间为x 天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度
关系即可列出方程． 【详解】
解：设规定时间为x 天，则慢马需要的时间为（x +1）天，快马的时间为（x -3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍
∴
900900
213x x ⨯=+- 故选A ． 【点睛】
本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．
19．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A ．60048040x x
=- B ．
60048040x x =+ C ．60048040
x x =+ D ．60048040x x =- 【答案】B
【解析】
【分析】 由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可．
【详解】
解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：
48060040
x x =+. 故选B ．
【点睛】
读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为
480x 天和现在生产600台机器所需时间为60040
x +天是解答本题的关键． 20．若关于x 的方程244
x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4
B ．2
C ．0
D ．4 【答案】D
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4.
【详解】
解：由分式方程的最简公分母是x-4，
∵关于x 的方程
244x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，
∴分式方程的增根是x=4．
关于x 的方程244
x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a,
代入x=4得a=4
故选D．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．。