2021北京昌平高一(上)期末数学(含答案)

为方程
要使得函数 在区间
上的值域为
，所以
，即
，所
以
为方程
的两不相等的非负实数根，所以
，即
故选：A 第二部分（非选择题 共 100分）
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分） 11.【答案】
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定，可直接得出结果.
【详解】命题
的否定为 ：
.
故答案为： 12.【答案】12
11.已知命题
，则 为_______.
上 值域为 D.
12.已知函数
，则函数在区间 上的平均变化率为_______
，则实
13.已知
，则
的最小值为_____，当 取得最小值时 的值为______.
14.已知向量
，
，且
与 共线，则实数 ______.
15.某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取 10人 进行国学素养测试，这 10名同学的性别和测试成绩 (百分制)的茎叶图如图所示.则男生成绩的 75%分位数为 ______；已知高一年级中男生总数为 80人，试估计高一年级学生总数为________.
最后由
，
，
对应的频率得出答案.
【详解】
，
，
，
对应的频率分别为：
设样本容量为
因为净重小于 94克的个数为 36，所以
，解得
则样本中净重大于或等于 92克并且小于 98克的产品的个数为
故选：D 9.【答案】B
【解析】 【分析】 根据充分条件，必要条件 定义即可判断.
【详解】解：充分性：在四边形
中，
，
，
则四边形
A.
B.
C.
D.
1/1
7.已知
，
，则
（）
A.3
B.4
C.8
D.9
8.某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，
其中产品净重的范围是[90，100]，样品数据分组为
，
，
，
，
.已知样
本中产品净重小于 94克的个数为 36，则样本中净重大于或等于 92克并且小于 98克的产品的个数是（ ）
即可)或
恒成立（
即可）；
② 数形结合(
图象在
上方即可)；
③ 讨论最值
或
恒成立.
21.【答案】（1） 【解析】 【分析】 （1）直接代入计算
； ；（2）
；证明见解析.
和
；（2）根据
，都有
或 ，可计算得
；然后表示出
，分别讨论
与
两种情况.
【详解】（1）
；
（2）证明：因为 或 ，所以得
；
，所以对于任意的 .设
2021北京昌平高一（上）期末
数学
本试卷共 6页，150分.考试时长 120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将 答题卡收回.
第一部分（选择题 共 50分） 一、选择题(本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1.已知集合
，所以函数 是偶函数；
（2）当
时，
所以函数 的值域为
（3）对任意
，
当
，因为
，
，因为 ； 恒成立，等价于
，所以
，所以
，
，
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ以
，解得
12/12
当 ，因为 实数 不存在， 综上得：实数 的取值范围为
，所以 .
，所以函数 无最小值，所以此时
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数
恒成立(
锻炼时长（小时） 5
6
7
8
9
男生人数（人）
1
2
4
3
4
女生人数（人）
3
8
6
2
1
（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长; （Ⅱ）若从锻炼 8小时的学生中任选 2人参加一项活动，求选到男生和女生各 1人的概率；
（Ⅲ）试判断该班男生锻炼时长的方差 与女生锻炼时长的方差 的大小.（直接写出结果）
，解得即可；（Ⅱ）利用韦达定理得到
，再代入方程，解得即可；
（Ⅲ）依题意找出合适的 即可；
【详解】解：（Ⅰ）因为方程
有两个不相等实数根，所以
，即
，解得
，即
（Ⅱ）因为方程
的两个实根为 ，所以
，
，又
，所以
，解得
或
，又
（Ⅲ）当
，所以 时，方程
，解得
，
满足条件；
19.【答案】（Ⅰ） 小时（Ⅱ） （Ⅲ）
【解析】 【分析】 （Ⅰ）由表中数据计算平均数即可； （Ⅱ）列举出任选 2人的所有情况，再由古典概型的概率公式计算即可； （Ⅲ）根据数据的离散程度结合方差的性质得出
5.【答案】B
【解析】
【分析】
对称，再由换元法求出
先由题中条件，得到
，再由平面向量的线性运算，用 和 表示出 ，即可得出结果.
【详解】因为
，所以
，
所以
.
故选：B.
6.【答案】C
【解析】
【分析】
先分别对五个专区作标记，列举出总的基本事件，以及满足“选择的两个专区中包括人工智能及软件技术专区” 所对应的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.
【详解】（Ⅰ）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为
11/11
小时
（Ⅱ）由表中数据可知，锻炼 8小时的学生中男生有 人，记为
从中任选 2人的所有情况为
，
其中选到男生和女生各 1人的共有 种
故选到男生和女生各 1人的概率
，女生有 人，记为 ，
，共 种，
（Ⅲ） 【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是利用列举法得出所有的情况，再结合古典概型的概率公式进行求解.
20.【答案】（1）偶函数；（2）
；（3）
.
【解析】 【分析】 （1）先求得函数的定义域为 R，再由
，可判断函数 是奇偶性；
（2）由
，所以
的值域；
（3）对任意
，
可求得实数 的取值范围.
恒成立，等价于
，以及对数函数的单调性可得函数
，分
，和 ，分别求得函数的最值，
【详解】（1）因为
且
，所以其定义域为 R，又
为平行四边形，不一定是矩形；
必要性：四边形
是矩形，则一定有
；
7/7
故“ 故选：B. 10.【答案】A 【解析】 【分析】
”是“四边形
是矩形”的必要而不充分条件.
由函数解析式可得函数在
上单调递增，依题意可得
，即可得到
的两不相等的非负实数根，利用根的判别式及韦达定理计算可得；
【详解】解：因
，所以
在
上单调递增，
【解析】 【分析】 根据题中条件，由交集的概念，可直接得出结果.
【详解】因为集合
，
，
所以
.
故选：C. 2.【答案】B
【解析】
【分析】 将选项中的函数逐一检验，可得答案．
【详解】对于 A，
不是奇函数，错误；
对于 B， 对于 C，
既是奇函数又在
上是增函数，正确；
不是奇函数，错误；
对于 D，
在
上是减函数，错误；
2/2
16.已知函数
（Ⅰ）若 ，则函数
零点是________；
（Ⅱ）如果函数
满足对任意
，都存在
，使得
，称实数 为函数
的包容数.在给出的① ；② ；③ 三个数中，为函数
的包容数是________．（填出所有正确答
案的序号） 三、解答题(本大题共 5小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
， ，即对
，都有
则
，当
时，
；
当
时，
.
所以
【点睛】解答该题的关键是需要注意理解并表示出
判断
与
两种情况.
13/13
，然后代入化简
14/14
17.【答案】（I） 或
【解析】 【分析】
，
或
，
10/10
；（II）
（I）利用集合的交并补运算的定义求解即可；
（II）
，即
，列不等式可得实数 a的取值范围．
详解】（I）当 时，
或
，
，
则
，
或
，
，
；
（II）
，即
则
或
，即实数 a的取值范围是
或
18.【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）
【解析】 【分析】
（Ⅰ）依题意
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
2.下列函数中，既是奇函数又在
上是增函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知点
，则
（）
A.
B.
C.
4.函数 A.
的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线
B.
C.
D.
关于直线
对称，则
D.
（）
5.已知矩形
中，
，若
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
6.2020年 11月 5日—11月 10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展 区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区.现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、 “人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的 概率是（ ）
【详解】因为向量
，
，所以
，
又
与 共线，
所以
，解得
.
故答案为：
15.【答案】 (1).
(2).200
【解析】
【分析】
根据 75%分位数的求法，结合题中数据，即可得答案；根据分层抽样的定义，即可求得高一年级学生总数.
【详解】将男生成绩从小到大排列可得：64、76、77、78，共 4个数据，且
，
所以男生成绩的 75%分位数为
3/3
20.已知函数
且
.
（1）试判断函数
的奇偶性；
（2）当
时，求函数 的值域；
（3）若对任意
，
恒成立，求实数 的取值范围．
21.已知集合
.对于
与 的差为
； 与 之间的距离为
（1）当
时，设
（2）若对于任意的
，有
，求
；
，求 的值并证明：
，定义： .
.
4/4
2021北京昌平高一（上）期末数学
参考答案
第一部分（选择题 共 50分） 一、选择题(本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项) 1.【答案】C
；
设高一年级学生总数为 n， 因为用分层抽样方法抽取 10人中，男生有 4人，且高一年级中男生总数为 80人，
所以
，解得
，
9/9
故答案为： ；200. 16.【答案】 (1). (2).②③
【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据函数解析式，令
，再分类讨论，分别计算可得；
（Ⅱ）由题意可得
的值域为
的单调性，求得值域，即可判断．
，共 个基本事件；
6/6
因此，选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是
.
故选：C. 7.【答案】A
【解析】 【分析】
根据指对运算化简
，再根据对数运算法则计算
的值.
【详解】
，
.
故选：A.
8.【答案】D
【解析】
【分析】
先得出
，
，
，
对应的频率，再由净重小于 94克的个数为 36，求出样本容量，
故选：B 3.【答案】C
【解析】 【分析】 首先求出 的坐标，再根据向量模的坐标公式计算可得；
【详解】因为
，所以
所以
5/5
故选：C 4.【答案】D
【解析】 【分析】 先得出曲线
关于直线
对称的曲线方程，再由换元法求出函数
的解析式.
【详解】曲线
关于直线
对称的曲线为
，即
令
，则
，即
故选：D
【点睛】关键点睛：解决本题时，关键是由同底的指数函数和对数函数关于直线 解析式.
17.已知全集
，
或
，
.
（I）当 时，求
，
，
；
（II）若
，求实数 a的取值范围.
18.已知关于 的方程 （Ⅰ）求实数 的取值范围； （Ⅱ）设方程的两个实根为 ，且
有两个不等实根. ，求实数 的值；
（Ⅲ）请写出一个整数 值，使得方程有两个正整数的根.（结论不需要证明）
19.某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况，对该班全部 34名学生在某周的锻炼时间 进行了调查，调查结果如下表:
【详解】分别记“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区为 、、、 、；
从这五个专区中选择两个专区参观，所包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个基本事件；
选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区（即 专区），所对应的基本事件有： ， ， ，
的值域的子集，分别讨论三种情况，由指数函数的单调性和一次函数
【详解】解：（Ⅰ）当 ，
，令
，即
或
故函数的零点为 （Ⅱ）由题意可得
的值域为
的值域的子集，
解得
，
当
时，由
时，
；
由
时，
，
，不满足题意；
当 时，由 由 时，
时，
；
，，
， ，满足题意；
当
时，由
时，
，；
由
时，
，
，满足题意．
综上可得函数 的包容数是②③． 故答案为： ；②③ 【点睛】本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考 查化简运算能力． 三、解答题(本大题共 5小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
【解析】 【分析】 根据平均变化率的定义计算可得答案.
8/8
，解得
【详解】由定义可知，平均变化率为
.
13.【答案】 (1). (2). 【解析】 分析】 利用基本不等式求出最小值以及 取得最小值时 的值．
【详解】
，
当且仅当
时取等号
故答案为：
14.【答案】 【解析】 【分析】
先得出
，再根据向量共线的坐标表示列出方程，即可求出结果.
A
B.
C.
D.
9.已知四边形
中，
，则 “
”是“四边形
是矩形” （ ）
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
10.已知函数
.若存在实数 ，使得函数 在区间
数 的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
第二部分（非选择题 共 100分）
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分）