南山区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

南山区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 若复数a 2﹣1+（a ﹣1）i （i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（ ） A ．±1
B ．﹣1
C ．0
D ．1
2． 下列命题中正确的是（ ）
（A ）若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题
（ B ） “0a >，0b >”是“
2b a
a b
+≥”的充分必要条件 （C ） 命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”
（D ） 命题:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥
3． 将函数)63sin(
2)(π+=x x f 的图象向左平移4
π
个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）
A ．3)43sin(
2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=π
x x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)12
3sin(2)(--=π
x x g
【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 4． 已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（ ）
A
． =1.23x+4 B
． =1.23x ﹣0.08 C
． =1.23x+0.8 D
． =1.23x+0.08 5． 已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为（ ）
A ．60°
B ．90°
C ．45°
D ．以上都不正确
6． 设方程|x 2+3x ﹣3|=a 的解的个数为m ，则m 不可能等于（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7． sin （﹣510°）=（ ） A
．
B
．
C
．﹣ D
．﹣
8． 已知椭圆Γ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为2c ，左焦点为F ，若直线y x c =+与椭圆交于,A B 两
点，且3AF FB =,则该椭圆的离心率是（ ）
A ．
14
B ．
12
C
．
2
D
9． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（ ） A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞3 D ．x ＜3
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
10．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f （x ），若f （x
）的导函数存在且满足，则下列不等
式成立的是（ ）
A ．3f （2）＜2f （3）
B ．3f （4）＜4f （3）
C ．2f （3）＜3f （4）
D ．f （2）＜2f （1） 11．为了得到函数y=cos （2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x 的图象上所有的点（ ） A
．向左平移个单位长度 B
．向右平移个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度
12．已知点P 是双曲线C
：22
221(0,
0)x y a b a b
-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且
12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率
是（ ） A.5
B.2
C.3
D.2
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力.
二、填空题
13．命题“∃x ∈R ，2x 2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．
14．设,y x 满足约束条件2110y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则3z x y =+的最大值是____________．
15．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁U A ）∪B= ． 16．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若37116a a a ++=，则13S 等于_________.
17．如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 ．
18．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积3S =， 则边c 的最小值为_______．
【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．
三、解答题
19．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知函数()2
ln f x ax x =+，
()21145ln 639f x x x x =
++，()221
22
f x x ax =+，a R ∈ （1）求证：函数()f x 在点()(),e f e 处的切线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）若()()2f x f x <在区间()1,+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）当2
3
a =
时，求证：在区间()0,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个．（记ln5 1.61,6 1.79ln ==）
20．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＞0，a 1=，且﹣，
，
成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n }满足b n •log 3（1﹣S n+1）=1，求适合方程b 1b 2+b 2b 3+…+b n b n+1=的正整数n 的值．
21．已知f （x ）=x 3+3ax 2+3bx+c 在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行． （1）求函数的单调区间；
（2）若x ∈[1，3]时，f （x ）＞1﹣4c 2恒成立，求实数c 的取值范围．
22．已知斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，|AB|=4．
（I ）求p 的值；
（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．23．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且2S n=a n+1+2n．
（1）求a2；
（2）求数列{a n}的通项公式a n；
（3）令b n=（2n﹣1）（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和T n．
24．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．
南山区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：因为复数a 2
﹣1+（a ﹣1）i （i 为虚数单位）是纯虚数，
所以a 2
﹣1=0且a ﹣1≠0，解得a=﹣1．
故选B ．
【点评】本题考查复数的基本概念的应用，实部为0并且虚部不为0，是解题的关键．
2． 【答案】D
【解析】对选项A ，因为p q ∨为真命题，所以,p q 中至少有一个真命题，若一真一假，则p q ∧为假命题，
故选项A 错误；对于选项B ，2b
a
a
b
+≥的充分必要条件是,a b 同号，故选项B 错误；命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”，故选项C 错误；故选D ．
3． 【答案】B
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x f 的图象向左平移4
π个单位得到函数)4(π
+x f 的图
象，再将)4(π+x f 的图象向上平移3个单位得到函数3)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 3)4
(++π
x f
3)4
3sin(23]6)4(31sin[2++=+++=π
ππx x .
4． 【答案】D
【解析】解：设回归直线方程为=1.23x+a
∵样本点的中心为（4，5），
∴5=1.23×4+a
∴a=0.08
∴回归直线方程为=1.23x+0.08
故选D ．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
5． 【答案】B
【解析】解：∵E 是BB 1的中点且AA 1=2，AB=BC=1， ∴∠AEA 1=90°， 又在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，
∴A 1D 1⊥AE ， ∴AE ⊥平面A 1ED 1，
故选B
【点评】本题考查线面角的求法，根据直线与平面所成角必须是该直线与其在这个平面内的射影所成的锐角，还有两个特殊角，而立体几何中求角的方法有两种，几何法和向量法，几何法的思路是：作、证、指、求，向量法则是建立适当的坐标系，选取合适的向量，求两个向量的夹角．
6． 【答案】A
【解析】解：方程|x 2+3x ﹣3|=a 的解的个数可化为函数y=|x 2
+3x ﹣3|与y=a 的图象的交点的个数，
作函数y=|x 2
+3x ﹣3|与y=a 的图象如下，
，
结合图象可知， m 的可能值有2，3，4； 故选A ．
7． 【答案】C
【解析】解：sin （﹣510°）=sin （﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin30°=
﹣， 故选：C ．
8． 【答案】C
【解析】22
221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222
()20a b y b cy b c a b +-+-=，
∴22224
()20a b y b cy b +--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，
∴24
12122222
2,b c b y y y y a b a b -+==++．
∵3AF FB =，∴123y y =-，
∴242222222
22,3b c b y y a b a b
-==++，∴222
3a b c +=，
∴2
2
2a c =，∴2212c a =，∴2
e =
9． 【答案】A
【解析】解：当x ＞2时，x ＞1成立，即x ＞1是x ＞2的必要不充分条件是， x ＜1是x ＞2的既不充分也不必要条件， x ＞3是x ＞2的充分条件，
x ＜3是x ＞2的既不充分也不必要条件， 故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
10．【答案】A
【解析】解：∵f （x ）为（0，+∞）上的单调递减函数， ∴f ′（x ）＜0，
又∵＞x ，
∴＞0⇔
＜0⇔[
]′＜0，
设h （x ）=，则h （x ）=为（0，+∞）上的单调递减函数，
∵
＞x ＞0，f ′（x ）＜0，
∴f （x ）＜0．
∵h （x ）=为（0，+∞）上的单调递减函数，
∴
＞
⇔
＞0⇔2f （3）﹣3f （2）＞0⇔2f （3）＞3f （2），故A 正确；
由2f （3）＞3f （2）＞3f （4），可排除C ； 同理可判断3f （4）＞4f （3），排除B ； 1•f （2）＞2f （1），排除D ； 故选A ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，求得[]′＜0是关键，考查等价转化思想与分析推理能
力，属于中档题．
11．【答案】A
【解析】解：∵，故将函数y=cos2x 的图象上所有的点向左平移个单位长
度，
可得函数y=cos （2x+1）的图象， 故选：A ．
【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
12．【答案】A. 【
解
析
】
二、填空题
13．【答案】﹣2
≤a ≤2
【解析】解：原命题的否定为“∀x ∈R ，2x 2
﹣3ax+9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，
只需△=9a 2
﹣4×2×9≤0，解得：﹣2
≤a ≤2．
故答案为：﹣2≤a ≤2
【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．
14．【答案】73
【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点12,
33A ⎛⎫
⎪⎝⎭
处取得最大值为73.
考点：线性规划．
15．【答案】 {2，3，4} ．
【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}， ∴C U A={3，4}， 又B={2，3}，
∴（C U A ）∪B={2，3，4}， 故答案为：{2，3，4}
16．【答案】26 【解析】
试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得371177362a a a a a ++==⇒=，由等差数列的求和
11313713()
13262
a a S a +=
==．
考点：等差数列的性质和等差数列的和．
17．【答案】 64 ．
【解析】解：由图可知甲的得分共有9个，中位数为28 ∴甲的中位数为28
乙的得分共有9个，中位数为36 ∴乙的中位数为36
则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64 故答案为：64．
【点评】求中位数的关键是根据定义仔细分析．另外茎叶图的茎是高位，叶是低位，这一点一定要注意．
18．【答案】1
三、解答题
19．【答案】（1）切线恒过定点1,22e ⎛⎫
⎪⎝⎭
．（2） a 的范围是11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ （3） 在区间()1,+∞上，满足
()()()12f x g x f x <<恒成立函数()g x 有无穷多个
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求得切线方程为11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-
=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故过定点1,22e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
试题解析：
（1）因为()12f x ax x '=+
，所以()f x 在点()(),e f e 处的切线的斜率为12k ae e
=+， 所以()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为()2121y ae x e ae e ⎛
⎫=+-++ ⎪⎝
⎭，
整理得11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以切线恒过定点1,22e ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
（2）令()()()2p x f x f x =-=212ln 02a x ax x ⎛
⎫--+< ⎪⎝
⎭，对()1,x ∈+∞恒成立，
因为()()1212p x a x a x =--+'()2
2121a x ax x --+=()()()
1211*x a x x
⎡⎤---⎣⎦=
令()0p x '=，得极值点11x =，21
21
x a =-，
①当112a <<时，有211x x >=，即1
12
a <<时，在()2,x +∞上有()0p x '>，
此时()p x 在区间()2,x +∞上是增函数，并且在该区间上有()()()2,p x p x ∈+∞，不合题意；
②当1a ≥时，有211x x <=，同理可知，()p x 在区间()1,+∞上，有()()()
1,p x p ∈+∞，也不合题意； ③当1
2
a ≤
时，有210a -≤，此时在区间()1,+∞上恒有()0p x '<， 从而()p x 在区间()1,+∞上是减函数；
要使()0p x <在此区间上恒成立，只须满足()111022
p a a =--≤⇒≥-， 所以11
22
a -
≤≤． 综上可知a 的范围是11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦． （利用参数分离得正确答案扣2分）
（3）当23a =时，()21145ln 639f x x x x =++，()2214
23
f x x x =+ 记()()22115
ln 39
y f x f x x x =-=-，()1,x ∈+∞．
因为22565399x x y x x
='-=-，
令0y '=，得x =
所以()()21y f x f x =-在⎛ ⎝
为减函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上为增函数，
所以当x =
时，min 59
180y =
设()()()159
01180
R x f x λλ=+
<<，则()()()12f x R x f x <<， 所以在区间()1,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立函数()g x 有无穷多个 20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比q ，
由﹣，
，，
成等差数列，
得，
解得或q=﹣1（舍去），
∴
；
（Ⅱ）∵，
∴=﹣n ﹣1，
∴
，
，
=
=
，
解得：n=100．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的概念与性质，以及等比数列的前n 项和公式和裂项相消法求和，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）由题意：f ′（x ）=3x 2+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为﹣3； 由已知
所以
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
所以由f ′（x ）=3x 2﹣6x ＞0得心x ＜0或x ＞2； 所以当x ∈（0，2）时，函数单调递减；
当x ∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）由（1）知，函数在x ∈（1，2）时单调递减，在x ∈（2，3）时单调递增； 所以函数在区间[1，3]有最小值f （2）=c ﹣4要使x ∈[1，3]，f （x ）＞1﹣4c 2恒成立 只需1﹣4c 2＜c ﹣4恒成立，所以c ＜
或c ＞1．
故c的取值范围是{c|c或c＞1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为，准线方程为．
所以，直线l的方程为…
由消y并整理，得…
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，
所以，3p+p=4，所以p=1…
（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．
由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．…
由方程组（1）
可得ky2﹣2y+4k﹣2=0（2）…
当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．
把y=﹣1代入y2=2x，得．
这时．直线m与抛物线只有一个公共点．…
当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）．
由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k2﹣2k﹣1＜0．
解得．
于是，当且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，…
因此，所求m的取值范围是．…
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=a2+2，
∴a2=4…1；
（2）当n≥2时，2a n=2s n﹣2s n﹣1=a n+1+2n﹣a n﹣2（n﹣1）=a n+1﹣a n+2，
∴a n+1=3a n﹣2，
∴a n+1﹣1=3（a n﹣1）…4，
∴，
∴{a n﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5，
∵，
∴，
∴；
（3）∴ (8)
∴① (9)
∴②
①﹣②得：，
=，
=（2﹣2n）×3n﹣4， (11)
∴ (12)
【点评】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），
∴y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．
（2）令x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，
∴f（﹣x）=﹣2x﹣x2，
又f（﹣x）=﹣f（x），
∴在x∈[﹣2，0]，f（x）=2x+x2，
∴x∈[2，4]，那么x﹣4∈[﹣2，0]，那么f（x﹣4）=2（x﹣4）+（x﹣4）2=x2﹣6x+8，
由于f（x）的周期是4，所以f（x）=f（x﹣4）=x2﹣6x+8，
∴当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8．
（3）当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．
∴f（0）=0，f（1）=1，
当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8，
∴f（2）=0，f（3）=﹣1，f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0﹣1+0=0，
∵y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．
∴2016=4×504
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=504×0=0，
即求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=0．
【点评】本题主要考查函数周期性的判断，函数奇偶性的应用，综合考查函数性质的应用．。