高中数一导数及其应用综合检测人教A版选修(2)

第一章导数及其应用综合检测
时间120分钟，满分150分。

、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分・在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1(2010 •全国n文7)若曲线y二x2+ ax+ b在点(0 , b)处的切线方程是x- y+1 = 0,
A. a二1, b二1
B. a二一1, b二1
C. a二1, b二一1 D . a二一1, b二一1
［答案］A
［解析］y r= 2x+ a,「. y'lx=o二(2x+ a)|x=o= a二1,将(0，b)代入切线方程得b二1.
2 .一物体的运动方程为s二2tsi nt +1，则它的速度方程为( )
A. V二2sint + 2tcost+1 B . v=2sin t + 2tcost
C. v= 2sin t
D. v= 2sin t + 2cost + 1
［答案］A
［解析］因为变速运动在1。

的瞬时速度就是路程函数y二s(t)在t。

的导数，S*二2si nt
+ 2t cost + 1，故选A.
3 .曲线y二X2 + 3X在点A(2,10)处的切线的斜率是( )
A. 4 B . 5C. 6 D . 7
［答案］D
［解析］由导数的几何意义知，曲线y=x2+ 3X在点A(2,1O)处的切线的斜率就是函数y =x2 + 3x在x二2时的导数，y T x=2二乙故选D.
4. 函数y二x|x(x—3)|+1()
A. 极大值为f⑵二5,极小值为f(0)二1
B. 极大值为f⑵二5,极小值为f(3)二1
C. 极大值为f (2) = 5,极小值为f (0)二f⑶二1
D. 极大值为f⑵二5,极小值为f(3)二1 , f( — 1)二一3
［答案］B
［解析］y= X| X( X- 3)| + 1
32
X — 3x + 1 (X<0 或X>3)
= 3 2
一X + 3x + 1 (0< X<3)
2
3X - 6X (X<0 或X>3)
—3X + 6X (OW x<3)
X变化时，f'( X
, f(x)变化情况如下表:
5. (2009 •安徽理，9)已知函数f(X)在R上满足f(X)二2f(2 - X)- X2 + 8X - 8,则曲线y 二f(X)在点
(1 , f(1))处的切线方程是( )
A. y= 2x — 1 B . y = xC. y = 3x— 2 D . y二一2x+ 3 ［答案］A ［解析］本题考查函数解析式的求
法、导数的几何意义及直线方程的点斜式.
・ /f (X) = 2f (2 — X)— X2+ 8X — 8,
・ f (2 — X)= 2f(X)— X2— 4X + 4,
2
•• f (x) = X ,・ f'( x)= 2x,
・曲线y二f(x)在点(1 , f(1))处的切线斜率为2,切线方程为y— 1 = 2(x - 1),・y二2X -1.
6.
(X) = x3 + ax2 + 3x — 9,已知f (x)在x=— 3时取得极值，则a等于(
A. 2 B . 3C.4 D . 5
［答案］D
2
［解析］f *(X)= 3X+ 2ax+ 3,
••• f (x)在X二一3时取得极值，
2
・x二一3是方程3x + 2ax+ 3=0的根，
・a= 5,故选D.
7. 设f(x) , g(x)分别是定义在
x<o 时，r(x)g(x)+ f(x)g'(x)>0，且g( - 3) = 0,则不等式
f(x)g(x)<0 的解集是(
A. ( — 3,0) U (3，+A )B・(—3,0) U (0,3 )
C. ( —s — 3) U (3，+A)
D. ( —s — 3) U (0,3)
・g(x)，易知
x<0 时‘ f'(x)g(x)
f(x)g'(x)>0，即F"x)>0,知F(x)在(一s, 0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0,+s)内也单调递增'且由奇函数知f(0)二0,「・F(0)二0.
［答案］D
［解析］令F(x) = f(x)
函数f
)
R上的奇函数和偶函数.当)
F(x)为奇函数，又当
又由 g( - 3)= o,知 g(3)= o •••F(・ 3)二 0,进而 F(3)= 0
于是F(x)二f (x)g(x)的大致图象如图所示
• ・F(x) = f(x) • g(x)<0 的解集为(一8, - 3) U(0,3)，故应选 D.
8•下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是
A.①②B .③DC.①③D •①④ ［答案］B
1
9.
(2010 •湖南理，5) °・dx 等于(
A.- 2ln2 B . 21 n2C . - In2 D . In2 ［答案］D
1
［解析］因为（lnx ） •=
-,
［解析］③不正确；导函数过原点，但三次函数在
X 二0不存在极值；④不正确；三次函
数先增后减再增，而导函数先负后正再负•故应选 B.
10.已知三次函数 f(x) = 3X 3一 (4 m-1 )x 2 + (15 m-2m-7)x + 2 在 x€
是增
3 函数，则m 的取值范围是(
)
A. m<2 或 m>4 B .・ 4<m<-2C. 2<m<4 D •以上皆不正确 ［答案］D
［解析］f'(x)二 X 2— 2(4m-1 )X4- 15ni-2m — 7,
由题意得 x ・ 2(4 m- 1)x+ 15m — 2m-7》0恒成立，・・・
4(4 m-1)・4(15 m-2m- 7)
22
二64m ・ 32m A 4— 60m+ 8m A 28
2
=4( m- 6m+ 8) < 0, • 2< me4,故选 D. 11.
+ bx+ cx+ d 在区间［—1,2］上是减函数，那么b+ c （
15 15 15
A.有最大值yB 有最大值一yC.有最小值八D.有最小值—— ［答案］B
［解析］由题意 f'(X)= 3x2 + 2bx+ c 在 L —1,2］上，f'( x)e0 恒成立.
f (― 1) WO 2b — c — 3>0 所以， 即 f ⑵ eO 4b+ c+ 12W0 令b+ c 二z, b 二一 c+乙如图 过A — 6,- 2得z 最大，
3 15
最大值为b + c 二一 6—2二——•故应选B. 12.
设f （x ）、g （x ）是定义域为R 的恒大于0的可导 函数，则当a<x<b 时有（）
A. f(x)g(x)>f (b)g(b)B . f (x)g(a)>f (a) g(x) C. f(x)g(b)>f (b)g(x)D. f (x)g(x)>f (a) g(x) ［答案］C
已知f (x) = x )
15
［解析］
令F （x ）二器则F,
（X ）二
(x)q(x) — f(x)q‘(x)
g 2(x )
所以 4 一dx二In x| 4= In4・ In2= In2.
X
f(x)、g(x)是定义域为R 恒大于零的实数・F(x)在R 上为递减函数,
、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将正确答案填在题中横线上)
! dx
13.
3
2(11 + 5X )
当 x €(a, b)时,
f (x) f ( b)
gCx A gCb)・ f (x)g(b)>f (b)g(x)・故应选 C.
［答案］72
［解析］
1
取 F (x)=- io (5x + 11)2 '从而 F( x) = (ii + 5x)3
! dx
〔
［
2(11 + 5X )3=F(_1)_F(_2) = _WN T OX I
ax_的单调增区间为(° ,+8)，则实数a 的取值范围是
［答案］a>0 ［解析］f ,
(x) =
1 1 1 ,
ax —x J a+丁，由题意得，a+丁》0,对)(€ (0,+付恒成立， 1
・ a 》一x", x €
+ 8)恒成立，・・・a> 0.
15. (2009 •陕西理，
佝设曲线y= X n4(ne N)在点(1,1)处的切线与X 轴的交点的横坐
标为Xn,令 3n= |g Xn,贝 Hl + &2+ — + 399 的值为 ［答案］—2
［解析］本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有尖性质. k 二 y' | xm 二 n+ 1 … 切线 I ： y — 1 二(n+ 1)( x — 1),
n n+7,
1 2 99 1 2
•原式二|g 2+ lg 3+・・・+ lg 硕如 3X A X
14 .若函数f (X )二 99 1 —'9 7QQ=~2-
［答案］|+ In2
16. 如图阴影部分是由曲线y二•，彳二£与直线X二2, y二0围成，则其面积为X
” 得交点B2, 2.
1 y= 一
7 x
2 I
乙,
故所求面积 S 二 1
: Xdx ・ dx 二・x ； I 0+ lnx| i 二 + In2. X32
+ 3
三、解答题(本大题共6个小题，共74分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )
17. (本题满分 12 分)(2010 •江西理，19)设函数 f(x)= lnx+ln(2 - x) + ax(a>0) • ⑴当a 二1时，求f(x)的单调区间;
1
⑵若f(x)在(0,1］上的最大值为2,求a 的值. ［解析］函数f (x)的定义域为(0,2) , f 7x)=(-产+ a,
X 2 — X
—X 2 + 2
I
⑴当a 二1时，f '(x)=為一％)，所以f (x)的单调递增区间为(0 , ,”2)，单调递减区 间为(.2 2)；
2 — 2X
时，f (X)二 x (2-y+a >°,
即f (x)在(0,1］上单调递增，故f(x)在(0,1］上的最大值为f ⑴二a,因此 18•(本题满分 12分)求曲线y= 2x - x 2, y 二2x2— 4x 所围成图形的面积.
c 2
y= 2x ~ 得 Xi= o, X2二 2. X ,
、 、 2 2 2 2 2
由图可知，所求图形的面积为 S 二(2X — X )dx+ I (2X — 4x)d X|二(2X — X )dx — (2 X 2 — 4x)dx.
2 3 2 -X — 2X n
［解析］
，得交点A(1,1)由 (2)当 X € (0,1］
=4.
2 1 3
因为X — 3X
n
［分析］考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想.
［解析］(1)f r(x)= 3x4- 3a.
a, b的值;
因为曲线y二f (x)在点(2 , f (2))处与直线y = :8相切，
F ⑵二0, 3(4 — a)二0,
所以即解得a二4, b二24.
能)二8. 8 一6a+ b二8.
2
(2) F(x)二3( x- a)( 0).
当av0 时‘ f '(x)>0,函数 f (x)在(一g, )上单调递增，此时函数f (x)没有极值点.
当a>0 时，由「( x)二0 得x 二士 a.
当x€ (—g—a)时，f *(x)>0，函数f (x)单调递增；
当)<€ (—a, a)时，F(x)vO,函数f (x)单调递减；
当x €( a +g)时( x)>0，函数f (x)单调递增•此时x二一a是f (x)的极大值点，x二“Ja是f (x)的极小值点.
1 2
20. (本题满分12分)已知函数f(x)二歹+ Inx.
1 2 2 3
⑴求函数f(x)的单调区间；⑵求证:当x>1时，Tx + In x<3x .
2 3
［解析］(1)依题意知函数的定义域为｛x| X>0｝，
1・・・f'(x)二x+八故f '(x)>0，「. f(x)的单调增区间为(0 ' +g)・ X
21. (本题满分12 分)设函数f(x)二x5-|x24- 6x- a.
(1)对于任意实数X, f ' ( x) > m恒成立，求m的最大值；
⑵若方程f(x)二0有且仅有一个实根，求a的取值范围.
・••当x>1刚7X)二(X二1)(2 x+ x+ 1)>o, ・・・g(x)在(1 ,+g)上为增函数,
1 *x24- In
2 3
・ g(x)>g⑴二6>o，二当x>i 时，X<5X
［分析］本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题.
2
［解析］(1)f'(x)= 3x - 9X + 6= 3(X- 1)(X- 2).
因为x€ (— g,+g ). f f( x) > m,即3x — 9x + (6 — m》0 恒成立.
3 3
所以△二81 — 12(6 — n) W 0,得me — 4，即m的最大值为一 /
(2)因为当X<1 时'f'(x)>o ;当1<X<2 时‘ f'(x)<o ;当X>2 时f'(x)>o.
⑵设g(x)二3X—只一In x，・• • g'(x)二2x — x—-
5
5
所以当X 二1时，f(x)取极大值f ⑴二2・a,当x= 2时,f(x)取极小值f(2) = 2-a.
故当f(2)>0或f(1 )<0时，方程f (X )二0仅有一个实根，解得
a<2或a>2・
_
3
2
22. (本题满分14分)已知函数f(x)二・x+ ax+ 1(a€ R). 22
⑴若函数y 二f (X )衽区间0, 3上递增，在区间
A ,-上递减，求a 的值；
(2) 当x € [0,1]时，设函数y 二f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为 0 ,若给定常数
a€ |,+A ，求0的取值范围；
(3) 在⑴的条件下，是否存在实数 m 使得函数g(x)二x 4- 5x 3 + (2 - n)x 2 + 1(R)的图 象与函数y= f (x)的图象恰有三个交点.
若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由.
21212
懈析] ⑴依题意 f‘ 3二 0,由 f "X )二一3X+ 2ax,得一 33+ 2a ・ i= 0，即 a 二 1.
2
2
a 2a (2) 当 x € [0,1]时，tan 0 二 f ' (X )二・ 3x + 2ax=- 3 X-3 + ・. 3
3
3 a 1
由2，+"，得萨2，讯.
a 1 3
a 2
① 当 3€ 2，1，即卩 a € 2 » 3 时，f-(X) max=1 ,
2
a
f (x) min= f ' (0) = 0.此时 Ow tan 0 < —.
3
a
② 当 3 € (1，+A )，即 a € (3，+A )时，f '( x) max 二 f '⑴二 2a- 3, f ' ( x)丽二 f 1 (0)
3 二0,
2
此时 0Wtan0<2a-3.又TO € [0 ,n ),•当 |<a<3 时， 亠 a
0 € 0, arctan ——，
当 a>3 时，0 € [0 , arctan(2 a ・ 3)].
(3) 函数y 二f (x)与g(x)二x 4- 5x 3 + (2 - m)x 2 +1( m€ R)的图象恰有3个交点，等价于方程一 x 3 + X 24- 1= x 4 ・ 5x3 + (2 — m X? + 1 恰有 3 个不等实根，
・x 4-4x 3 + (1 — m)xJ 0,显然x 二0是其中一个根(二重根)，
2
方程x ・4X + (1 — m 二0有两个非零不等实根，则
A = 16-4(1 ・m>0
5 1 - m A0
・m>・3且m A l
故当m>・3且mT时，函数y二f (x)与y二g(x)的图象恰有3个交点.
19.(本题满分12 分)设函数f(x)二x— 3ax+ b(aA o).
(1) 若曲线y二f (x)在点(2 , f(2))处与直线y二8相切，求
(2) 求函数f(x)的单调区间与极值点.。