鹤壁市高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式笔记重点大全

鹤壁市高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式笔记重点大全
单选题
1、不等式3x2−x−2≥0的解集是（）
A．{x|−2
3≤x≤1}B．{x|−1≤x≤2
3
}
C．{x|x≤−2
3或x≥1}D．{x|x≤−1或x≥2
3
}
答案：C
分析：利用一元二次不等式的解法求解即可．
解：3x2−x−2=(3x+2)(x−1)≥0
解得：x≤−2
3
或x≥1.
故选：C.
2、不等式1+x
1−x
≥0的解集为（）
A．{x|x≥1或x≤−1}B．{x∣−1≤x≤1} C．{x|x≥1或x<−1}D．{x|−1≤x<1}
答案：D
分析：不等式等价于x+1
x−1
≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，由此求得不等式的解集．
不等式等价于x+1
x−1
≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，解得−1≤x<1，
故不等式的解集为{x|−1≤x<1}，
故选：D．
3、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）
A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b
答案：C
分析：利用不等式的性质逐一判断即可.
A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；
B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；
C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b
2)
2
+3b2
4
]>0，
所以a 3>b 3，故C 正确；
D ，若a =1,b =−2，则√a 2+b 2>a +b ，故D 错误.
故选：C
4、已知a >0，b >0且ab ＝1，不等式
12a +12b +m a+b ≥4恒成立，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥2B ．m ≥4C ．m ≥6D ．m ≥8
答案：D
分析：由条件结合基本不等式可求a +b 的范围，化简不等式可得m ≥4(a +b )−
(a+b )22，利用二次函数性质求4(a +b )−
(a+b )22的最大值，由此可求m 的取值范围. 不等式12a +12b +m a+b ≥4可化为
a+b 2ab +m a+b ≥4，又a >0，b >0，ab ＝1， 所以m ≥4(a +b )−(a+b )22，
令a +b =t ，则m ≥4t −t 22， 因为a >0，b >0，ab ＝1，所以t =a +b ≥2√ab =2，当且仅当a =b =1时等号成立，
又已知m ≥4t −t 22在[2,+∞)上恒成立，所以m ≥(4t −t 22
)max 因为4t −t 22=12(8t −t 2)=−12(t −4)2+8≤8，当且仅当t =4时等号成立，
所以m ≥8，当且仅当a =2−√3，b =2+√3或a =2−√3，b =2+√3时等号成立，
所以m 的取值范围是[8,+∞)，
故选：D.
5、已知x >2，则x +
4x−2的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．2
答案：A
分析：利用基本不等式可得答案.
∵x >2，∴x −2>0，
∴x +4x−2= x −2+
4x−2+2≥2√(x −2)⋅4x−2+2＝6， 当且仅当x −2=4x−2即x =4时， x +4x−2取最小值6，
故选：A ．
填空题
6、不等式x+3x−1>0的解集为______________．
答案：{x |x <−3或x >1}
分析：由题可得(x −1)(x +3)>0，进而即得.
由x+3x−1>0，得(x −1)(x +3)>0，
所以x <−3或x >1，
故不等式得解集为{x |x <−3或x >1}．
所以答案是：{x |x <−3或x >1}．
7、不等式x 2+6x +8>0的解集为______．
答案：(−∞,−4)∪(−2,+∞)
分析：把不等式化简为(x +2)(x +4)>0，求出解集即可.
∵不等式x 2+6x +8>0等价于(x +2)(x +4)>0，
所以不等式的解集为(−∞,−4)∪(−2,+∞)．
所以答案是：(−∞,−4)∪(−2,+∞).
8、已知正数m ，n 满足m +8n =mn ，则m +2n 的最小值为______．
答案：18
分析：由m +8n =mn 可得1n +8m =1，m +2n =(m +2n )(1n +8m )展开利用基本不等式即可求解. 由m +8n =mn 可得1n +8m =1，
所以m +2n =(m +2n )(1n +8m )=10+
m n +16n m ≥10+2√m n ×16n m =18， 当且仅当{m n =16n m m n =16n m
即{n =3m =12 时等号成立，
所以m +2n 的最小值为18，
所以答案是：18
9、已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为(2,4)，则不等式cx 2+bx +a <0的解集为___________.
答案：{x|x>1
2或x<1
4
}
分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+1>0，即可解得.
因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，
所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.
所以{2+4=−b
a
2×4=c
a
可得：{
b=−6a
c=8a，
所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，
因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，
即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>1
2或x<1
4
，
所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>1
2或x<1
4
}.
所以答案是：{x|x>1
2或x<1
4
}.
10、已知实数x≥y>0,z>0，则2x+3y+4z
2x+y +2x
y+2z
的最小值为_________．
答案：4√3
3
+1
分析：依题意可得2x+3y+4z
2x+y +2x
y+2z
=1+2(y+2z
2x+y
+x
y+2z
)，利用基本不等式及x与y的关系计算可得；
解：因为x≥y>0,z>0，
所以2x+3y+4z
2x+y +2x
y+2z
=2x+y+2(y+2z)
2x+y
+2x
y+2z
=1+2(y+2z
2x+y
+x
y+2z
)
≥1+2×2√
y+2z
2x+y
⋅
x
y+2z
=1+4√
x
2x+y
=1+4√
1
2+
y
x
因为x≥y>0，所以y
x
≤1，
所以原式≥1+4√1
2+1=1+4
3
√3，当且仅当x=y=(√3+1)z时取等号．
所以答案是：4√3
3
+1解答题
11、求下列函数的最值
（1）求函数y =x 2+2x−1(x >1)的最小值.
（2）若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求3x +4y 的最小值.
答案：（1）2+2√3；（2）5.
分析：（1）化为y =(x −1)+
3x−1+2，再根据基本不等式可求出结果； （2）化为3x +4y =3x 5y +
12y 5x +135，再根据基本不等式可求出结果. （1）y =(x−1)2+2(x−1)+3x−1=(x −1)+3x−1+2⩾2√3+2，当且仅当(x −1)2=3即x =√3+1时等号成立，
故函数y 的最小值为2+2√3.
（2）由x +3y =5xy 得15y +35x =1，
则3x +4y =(3x +4y)(15y +35x )=3x 5y +
12y 5x +135⩾135+2√3625=5， 当且仅当12y 5x =3x 5y ,即y =12，x =1时等号成立，
故3x +4y 的最小值为5.
小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12、已知二次函数f (x )=x 2+mx −6(m >0)的两个零点为x 1和x 2，且x 1−x 2=5．
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）解关于x 的不等式f (x )<4−2x ．
答案：（1）f (x )=x 2+x −6；（2）{x |−5<x <2}．
分析：（1）利用根与系数的关系，由x 1−x 2=5求出m =1，即可得到函数f (x )的解析式；
（2）把原不等式转化为x 2+3x −10<0，即可解得.
（1）由题意得：关于x 的方程x 2+mx −6=0(m >0)的两个根为x 1和x 2，
由根与系数的关系得{x 1+x 2=−m,x 1x 2=−6,
故(x2−x1)2=(x1+x2)2−4x1x2=m2+24=25，
故m2=1．∵m>0，∴m=1，
故f(x)=x2+x−6．
（2）由f(x)<4−2x得x2+x−6<4−2x，
即x2+3x−10<0，
即(x+5)(x−2)<0，
解得−5<x<2，
故原不等式的解集是{x|−5<x<2}．
13、设2<a<7，1<b<2，求a+3b，2a−b，a
b
的范围.
答案：5<a+3b<13，2<2a−b<13，1<a
b
<7
分析：根据不等式的基本性质，先求出a+3b与2a−b的范围，再由可乘性得出a
b
的范围即可. ∵2<a<7，1<b<2，
∴4<2a<14，3<3b<6，−2<−b<−1，1
2<1
b
<1，
∴5<a+3b<13，2<2a−b<13，
∴1<a
b
<7.
故5<a+3b<13，2<2a−b<13，1<a
b
<7．
14、解关于x的不等式ax2+(a-1)x-1≤0．
答案：答案见解析
分析：解含参的一元二次不等式，对参数进行分类讨论、借助一元二次函数进行求解. 因为ax2+(a-1)x-1≤0，即(ax-1)(x+1)≤0，
当a=0时，则-x-1≤0，即x≥-1；
当a>0时，则-1≤x≤1
a
；
当a<0时，①当-1<a<0时，则x≤1
a
或x≥-1；
②当a=-1时，则(x+1)2≥0，即x∈R；
③当a<-1时，则x≤-1或x≥1
a
；
综上，当a=0时，不等式的解集为{x|x≥-1}；
当a>0时，不等式的解集为{x|-1≤x≤1
a
}；
当-1<a<0时，不等式的解集为{x|x≤1
a
或x≥-1}；
当a=-1时，不等式的解集为R；
当a<-1时，不等式的解集为{x|x≥1
a
或x≤-1}.
15、已知不等式ax2−3x+b>4的解集为(−∞,1)∪(2,+∞)
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2−(ac+2)x+2c<0.
答案：(1)a=1，b=6
(2)答案见解析
分析：（1）依题意可得x=1或x=2是方程ax2−3x+b−4=0的根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得原不等式可化为(x−c)(x−2)<0，再对参数c分类讨论，即可得解；
（1）解：因为不等式ax2−3x+b>4的解集为{x|x<1或x>2}，
所以x=1或x=2是方程ax2−3x+b−4=0的根，
根据韦达定理{3
a
=1+2
b−4 a =1×2
，
解得a=1，b=6
（2）解：由（1）可知不等式化为x2−(c+2)x+2c<0，即(x−c)(x−2)<0
当c>2时，不等式的解集为{x|2<x<c}，
当c=2时，不等式的解集为∅，
当c<2时，不等式的解集为{x|c<x<2}。