2022-2023学年全国高中高二下数学苏教版(2019)月考试卷(含解析)

2022-2023学年全国高二下数学月考试卷
考试总分：110 分考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I（选择题）
一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）
1. 已知，，若，则与的值可以是（ ）
A.
B.
C.，
D.，
2. 已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，给出下列命题：
①②③④，
其中的正确命题序是（ ）
A.②③
B.③④
C.①②
D.①②③④
3. 方程的解为
A.
B.
C.
D.
4. 山东省高考改革后实施选科走班制度，小明需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择
=(λ+1,0,2)
a=(6,2μ−1,2λ)
b//
a bλμ
2,
1
2
−,
1
3
1
2
−32
22
m nαβ
=156
A2n n=()
11
12
13
14
三科作为自己的选科组合，物理和历史不能同时选择，则小明不同的选科情况有（ ）
A.种
B.种
C.种
D.种
5. 的值为（ ）A.B.C.D.
6. 正四棱锥中，设，，，为底面中一点，且 面，则( )
A.B.C.D.
7. 在正方体中为底面的中心，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 A.B.C.14161820+++C 15C 25C 35C 45
32
31
30
29
P −ABCD =AB −→−a →=AD −→−b →=AP −→−c →O ABCD PO ⊥ABCD =PO −→−++a →b →c
→+−a →b →c
→+−12a →12
b →
c →++12a →12
b →
c →ABCD −A 1B 1C 1D 1O ABCD E C C 1A D 1EO ()
2–√2
3–√3
3–√2
–
√
D.
8. 已知向量则 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
9. 若，则可能的取值是 A.B.C.D.
10. 设是空间的一组基底，则下列结论正确的是( )
A.，，可以为任意向量
B.对空间任一向量，存在唯一有序实数组，使
C.若，，则
D.可以作为构成空间的一组基底
11. 若甲、乙等个人站成一排，则下列判断正确的是( )
A.甲、乙不相邻有种
B.甲、乙不相邻有种
C.甲、乙相邻有种
D.甲、乙相邻有种
12. 下列关系中，能成立的是( )
6–√3
=(1,−2,−3)a →||=(a →)
14
14
−−√11
11
−−√4>A m−18
A m 8m ()5
6
7
8
{,,}a →b →c →a →b →c →p →(x,y,z)=x +y +z p →a →b →c
→⊥a →b →⊥b →c →⊥a →c
→{+2,+2,+2}
a →
b →b →
c →c →a →5729012048m
A.B.C.D.卷II （非选择题）
三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13. 已知正方体的棱长为，设，则
________． 14. 向量，是平面内的两个不共线的向量，直线的一个方向向量，则与是否垂直？________（填“是”或“否”）．
15. 正方形中， ， 为中点，为中点，则 ________；若为上的动点，则 的最大值为________.
16. 春节文艺汇演中需要将，，，，，六个节目进行排序，若，两个节目必须相邻，且都不能排在号位置，则不同的排序方式有________种．（用数字作答）
四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
17. ，且，求．
18.
解方程：；解不等式：． 19. 有编号分别为，，，，的五个不同的盒子，现把编号分别为，，，，的五个小球逐个
随机放入盒中．
小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？
若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种放法？
20. （本小题满分分）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，
是以为斜边的等腰直角三角形．且平面平面，，点为棱的中点．
=
C m n m n C m−1n−1=C m n n!
(n −m)!m!
m!=A m n C m n
+m =A m n A m−1n A m n+1
ABCD −A'B'C'D'1=，=，=AB −→−a →AD −→−b →AA'−→−c →|++|=a →b →12
c →=(−1,2,−4)a →=(2,−2,3)b →αl =(2,3,1)m →l αABCD AB =2P BC Q DC ⋅=PQ −→−PC −→−M CD ⋅PQ −→−PM −→−A B C D E F A B 3n ∈N +<+C 5n−1C 6n−1C 4n−1C 3n−1n (1)=(x ∈N)C x 9C 2x−39
(2)>6(x ∈N)A x 9A x−191234512345(1)(2)12P −ABCD BC//AD,AB ⊥AD,△PAB AB PAB ⊥ABCD AB =BC =2,AD =4E PD
求证：平面；
求三棱锥的体积．
21. 如图，在平面四边形中，是的垂直平分线，垂足为，中点为,
沿将 折起，使至 位置，如图.
求证：；当平面 平面时，求直线 与平面 所成角的正弦值． 22. 已知斜三棱柱中，，，点是与的交点．
（1）基向量表示向量；
（2）求异面直线与所成的角；
（3）判定平面与平面．
(1)CE//PAB (2)C −ADE (1)ABCD AC BD E AB F AC =3，BD =2,∠BCD =，90∘BD △BCD C C ′(2)(1)A ⊥BD C ′(2)B D ⊥C ′ABD AC ′DF C ′ABC −A 1B 1C 1∠BAC =，∠BA =，∠CA =AB =AC =1π2A 12π3A 1π3A =2A 1O C B 1BC 1，，AB −→−AC −→−AA 1−→−AO −→−AO BC ABC BC B 1C 1
参考答案与试题解析
2022-2023学年全国高二下数学月考试卷
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.
【答案】
A
【考点】
空间向量运算的坐标表示
【解析】
直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出与的值即可．
【解答】
因为，，，所以＝，解得，，解得＝或＝．所以与的值可以是：或，；2.
【答案】B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答3.
【答案】
C 【考点】
λμ=(λ+1,0,2)a =(6,2μ−1,2λ)b //a b 2μ−10μ=12=λ+1622λλ2λ−3λμ2,12−312
排列及排列数公式
【解析】
由排列数公式可得，要求的方程即，从而求得的值．
【解答】
解：由排列数公式可得，方程即，∴．故选．
4.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
分有物理无历史，无物理有历史，无物理无历史讨论即可.
【解答】
解：当选择的科目有物理无历史时，有种情况；
当选择的科目无物理有历史时，有种情况；
当选择的科目无物理无历史时，有种情况，
小明不同的选科情况有种.
故选.
5.
【答案】
C
【考点】
组合及组合数公式
【解析】
把要求值的式子写成的形式，然后利用组合数公式的
性质求值．【解答】
解：．故选．n(n −1)=12×13n =156A 2n n(n −1)=12×13n =13C =6C 24=6C 24=4C 3
46+6+4=16B (+++++)−(+)
C 05C 15C 25C 35C 45C 55C 05C 5
5++
+C 15C 25C 35C 4
5=(+++++)−(+)
C 05C 15C 25C 35C 45C 55C 05C 55
=−2=3025C
6.
【答案】
C
【考点】
空间向量的加减法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵，是正三棱锥底面的一点，
∴为面的中点.
如图：连接，相交于点，
∴，.故选.
7.
【答案】
B
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
先作出异面直线与所成角，再在中即可得解．
【解答】
解：取中点为，连接，，
在正方体中为底面的中心，为的中点，
PO ⊥ABCD O ABCD O ABCD AC BD O =+PO −→−PA −→−AO −→−=+PA −→−12AC −→−=++PA −→−12AD −→−12AB −→−=+−12a →12b →c →C A D 1EO Rt △OEF BC M OM EM ABCD −A 1B 1C 1D 1O ABCD E C C 1
易知：，
异面直线与所成角为，
设正方体边长为，在中：，，，
.故选．
8.
【答案】
B
【考点】
空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】
若，则．由此由，能求出．
【解答】解：∵向量，
∴，
故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
9.
【答案】
B,C,D
【考点】
排列及排列数公式
【解析】
直接利用排列公式，解不等式即可.
A //EM D 1A D 1EO ∠OEM 2△EMO OM =1EM =2–√OE =3–√sin ∠OEM =3–√3
B =(x,y,z)a →||=a →++x 2y 2z 2−−−−−−−−−−√=(1,−2,−3)a →||a →
=(1,−2,−3)a →
||==a →+(−2+(−312)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√14−−√B
【解答】
解：，
，解得，
又∵，
∴，
故可以取.
故选.
10.
【答案】
B,D
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
【解析】
利用空间向量基底的条件即可判断.
【解答】
解：，作为基底，，的空间向量不能共面，故错误；，为空间向量的基本定理，故正确；
，若，，可能，故错误；
，假设三个向量共面，则存在实数对，使得,则有方程组无解，可见三个向量不共面，可以作为基底，故正确.
故选.11.
【答案】
A,D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不相邻时，先排除甲、乙外的另三人，再对甲、乙插空处理，有种方法；
∵4>A m−18A m
8∴4>8−m +1m >5m 85<m 8m 6,7,8BCD A a →b →c →A B B C ⊥a →b →⊥b →c →//a →c →C D (x,y)+2=x (+2)+y (+2)
c →a →a →b →b →c → x =2，
2y =1，2x +y =0，
D BD =72A 33A 24⋅=48A 2A 4
相邻时，有种方法．
故选．
12.
【答案】
B,C,D
【考点】
排列数公式的推导
【解析】
利用排除法和组合数性质进行求解即可.
【解答】
解：，令，可得不成立，故错误；，原式为组合数的计算公式，故正确；
，原式为排列数与组合数的定义，故正确；
∵，故正确.故选三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
【考点】
空间向量的夹角与距离求解公式
空间向量的数量积运算
【解析】
取中点，连结，，结合正方体的结构特征，利用向量加法三角形法则得到，再利用勾股定理能求出的值．【解答】⋅=48A 22A 44AD A n =3,m =1=C 13
13C 02A B B C C D +m =A m n A m−1n n!(n −m)!+m ⋅n!(n −m +1)!=(n +1)!(n −m +1)!
=A m n+1D BCD.32
CC 1E AC AE ++=++=a →b →12
c →AB −→−BC −→−CE −→−AE −→−|++|a →b →12
c →CC AC AE
解：取中点，连结，，
∵正方体的棱长为，设，则，∴．
故答案为：．14.
【答案】
否
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】利用数量积可得，再利用线面垂直的判定定理即可得出．
【解答】
解：∵，
∴与不垂直．
故答案为否．15.
【答案】
,【考点】
向量的投影
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： ， ，则 在 上的投影最大时，即在点处， 最大，
过作直线的垂线，垂足为,
CC 1E AC AE ABCD −A'B'C'D'1=，=，=AB −→−a →AD −→−b →AA'−→−c →++=++=a →b →12c →AB −→−BC −→−CE −→−AE −→−|++|=||===a →b →12c →AE −→−A +C C 2E 2−−−−−−−−−−√(+)+(121212)2−−−−−−−−−−−−−√3232
⋅≠0m →b →⋅=2×2+(−2)×3+3×1=1≠0
m →b →l α13
⋅=||⋅||PQ −→−PC −→−PQ −→−PC −→−cos =145∘||=PQ −→−2–√PM −→−PQ −→−M D ⋅PQ −→−PM −→−D PQ H
， ，.故答案为：.
16.
【答案】
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
相邻问题利用捆绑法，将捆绑，先确定的位置，再将剩余的节目进行排序，问题得以解决．
【解答】
使用捆绑法，将捆绑，先确定的位置，再将剩余的节目进行排序，故有＝种，
四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
17.
【答案】
解：有组合数的性质，可得，，原不等式可化为，即
，化简可得，，
，
解可得，，
又由，且，
故、、，【考点】
组合及组合数公式
【解析】|QH|=2–√2|PH|=32–√2=×=3(⋅)PQ −→−PM −→−max 2–√32–√21；3144
AB AB AB AB 3A 22A 44144+=C 5n−1C 6n−1C 6n +=C 4n−1C 3n−1C 4n <C 6n C 4n <n!6!⋅(n −6)!n!4!⋅(n −4)!<1301(n −4)⋅(n −5)(n −4)(n −5)<30−1<n <10n −1≥6n ∈N n =789n!n!
有组合数的性质，可得，由组合数公式展开可得，，化简变形可得，结合组合数的下标的范围，解可得答案．
【解答】解：有组合数的性质，可得，，原不等式可化为，即
，化简可得，，
，
解可得，，
又由，且，
故、、，
18.【答案】解：因为，所以，或，
解得或.
因为，解原不等式即
，其中，，整理得，
解得，
故或，
所以原不等式的解集为．【考点】
组合及组合数公式
排列及排列数公式
【解析】
（1）利用组合数的性质求解即可．
（2）利用排列数的公式化简求解不等式即可．
【解答】
解：因为，所以，或，
解得或.
因为，解原不等式即
，其中，，整理得，
解得，<C 6n C 4n
<n!6!⋅(n −6)!n!4!⋅(n −4)!(n −4)(n −5)<30
+=C 5n−1C 6n−1C 6n +=C 4n−1C 3n−1C 4n <C 6n C 4n <n!6!⋅(n −6)!n!4!⋅(n −4)!<1301(n −4)⋅(n −5)(n −4)(n −5)<30−1<n <10n −1≥6n ∈N n =789(1)=C x 9C 2x−39x=2x −3x +2x −3=9x=3x=4(2)>6A x 9A x−19>9!(9−x)!6×9!(9−x +1)!
2≤x ≤9x ∈N 10−x >6x <4x=23{2,3}(1)=C x 9C 2x−39x=2x −3x +2x −3=9x=3x=4(2)>6A x 9A x−19>9!(9−x)!6×9!(9−x +1)!
2≤x ≤9x ∈N 10−x >6x <4
故或，
所以原不等式的解集为．
19.
【答案】
解：每个球都有种放法，
则有种放法．
每个盒子不空，共有种放法，
所以共有种放法．
【考点】
计数原理的应用
排列、组合及简单计数问题
【解析】
（1）每个球都有种放法，故有种放法．（2）每个盒子不空，共有种放法，所以共有种放法．
【解答】
解：每个球都有种放法，
则有种放法．
每个盒子不空，共有种放法，
所以共有种放法．
20.
【答案】
【考点】
二面角的平面角及求法
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
【解答】
21.
【答案】
x=23{2,3}(1)55×5×5×5×5=3125(2)A 55=120120−1=11955×5×5×5×5=3125A 25=120120−1=119(1)55×5×5×5×5=3125(2)A 55=120120−1=119(1)ABCD AC
证明：在平面四边形中，是 的垂直平分线，垂足为将沿折起，使至 ，则,
∵，平面,
平面',
平面'，
.解：由平面 平面, ，
得⊥平面又，
∴可以为原点，,,为轴，建立如图空间直角坐标系
.
∵，即，，是中点，∴又，，，
，，，设平面 的一个法向量为，则即，取，则.
.∴直线与平面所成角的正弦值为【考点】
用空间向量求直线与平面的夹角
两条直线垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】证明：在平面四边形中，是 的垂直平分线，垂足为将沿折起，使至 ，则,
∵，平面,
(1)ABCD AC BD E.△BCD BD C C ′E ⊥BD ，AE ⊥BD C ′E ∩AE =E ，E C ′C ′AE ⊂A E C ′∴BD ⊥AC E ∵A ⊂C ′AC E ∴A ⊥BD C ′(2)B D ⊥C ′ABD E ⊥BD C ′E C ′ABD.
AE ⊥BD E EA EB EC ′x,y,z ∠BCD =90∘∠B D =C ′90∘BD =2E BD E =1.C ′AC =AE +E =3C ′CE =E =1C ′∴AE =2∴(0,0,1)C ′A(2,0,0)，B(0,1,0)D(0,−1,0)F(1,,0).
12=(−2,0,1)，=(0,−1,−1)，AC ′−→−D C ′−→−=(1,,−1).F C ′−→−12DF C ′m =(x,y,z)⋅=⋅=0，m →CD −→−m →F C ′−→−−y −z =x +y −z =012z =2m =(3,−2,2)cos <，>==m →AC ′−→−⋅m →AC ′−→−||⋅||m →AC ′−→−−6+2⋅17−−√5–√==−−485−−√485−−√85AC ′DF C ′.485−−√85(1)ABCD AC BD E.△BCD BD C C ′E ⊥BD ，AE ⊥BD C ′E ∩AE =E ，E C ′C ′AE ⊂A E C ′∴BD ⊥AC
平面',
平面'，
.解：由平面 平面, ，
得⊥平面又，
∴可以为原点，,,为轴，建立如图空间直角坐标系
.
∵，即，，是中点，∴又，，，
，，，设平面 的一个法向量为，则即，取，则.
.∴直线与平面所成角的正弦值为22.【答案】解：设
（2）由题意，可求得，，，，，∴异面直线与所成的角为（3）取的中点，连接，则∵，∴，且，∴∴BD ⊥AC E ∵A ⊂C ′AC E ∴A ⊥BD C ′(2)B D ⊥C ′ABD E ⊥BD C ′E C ′ABD.
AE ⊥BD E EA EB EC ′x,y,z ∠BCD =90∘∠B D =C ′90∘BD =2E BD E =1.C ′AC =AE +E =3C ′CE =E =1C ′∴AE =2∴(0,0,1)C ′A(2,0,0)，B(0,1,0)D(0,−1,0)F(1,,0).
12=(−2,0,1)，=(0,−1,−1)，AC ′−→−D C ′−→−=(1,,−1).F C ′−→−12DF C ′m =(x,y,z)⋅=⋅=0，m →CD −→−m →F C ′−→−−y −z =x +y −z =012z =2m =(3,−2,2)cos <，>==m →AC ′−→−⋅m →AC ′−→−||⋅||m →AC ′−→−−6+2⋅17−−√5–√==−−485−−√485−−√85AC ′DF C ′.485−−√85=，=，=(1)=+=+(+)=(++)AB −→−a →AC −→−b →AA 1−→−c →AO −→−AB −→−BO −→−AB −→−12BC −→−CC 1−→−12a →b →c →=，||=AO −→−232AO −→−6–√2=−BC −→−AC −→−AB −→−⋅=1AO −→−BC −→−||=BC −→−2–√cos <，>=AO −→−BC −→−3–√3AO BC arccos 3–√3BC E AE =(+)=(+)AE −→−12AB −→−AC −→−12a →b →AB =AC AE ⊥BC ⋅=(+)⋅=0AE −→−BB 1−→−12a →b →c →AE ⊥BB 1
AE ⊥B C B C AE ⊂ABC
∴平面，平面，
∴平面与平面．
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】
设直接表示向量即可；（2）求出，利用它们的数量积，求异面直线与所成的角；（3）取的中点，连接，推出，通过得到，证明平面，即可得到平面与平面．
【解答】
解：设（2）由题意，可求得，，，，，∴异面直线与所成的角为（3）取的中点，连接，则∵，∴，且，∴∴平面，平面，
∴平面与平面．AE ⊥B C B 1C 1AE ⊂ABC ABC BC B 1C 1=，=，=(1)AB −→−a →AC −→−b →AA 1−→−c →=+=+(+)AO −→−AB −→−BO −→−AB −→−12BC −→−CC 1−→−，AO −→−BC −→−AO BC BC E AE AE ⊥BC ⋅=0AE −→−BB 1−→−AE ⊥BB 1AE ⊥B C B 1C 1ABC BC B 1C 1=，=，=(1)=+=+(+)=(++)AB −→−a →AC −→−b →AA 1−→−c →AO −→−AB −→−BO −→−AB −→−12BC −→−CC 1−→−12a →b →c →=，||=AO −→−232AO −→−6–√2=−BC −→−AC −→−AB −→−⋅=1AO −→−BC −→−||=BC −→−2–√cos <，>=AO −→−BC −→−3–√3AO BC arccos 3–√3BC E AE =(+)=(+)AE −→−12AB −→−AC −→−12a →b →AB =AC AE ⊥BC ⋅=(+)⋅=0AE −→−BB 1−→−12a →b →c →AE ⊥BB 1AE ⊥B C B 1C 1AE ⊂ABC ABC BC B 1C 1。