【物理】物理万有引力与航天题20套(带答案)含解析

【物理】物理万有引力与航天题20套(带答案)含解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．如图所示，假设某星球表面上有一倾角为θ＝37°的固定斜面，一质量为m ＝2.0 kg 的小物块从斜面底端以速度9 m/s 沿斜面向上运动，小物块运动1.5 s 时速度恰好为零.已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，该星球半径为R ＝1.2×103km.试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)该星球表面上的重力加速度g 的大小. (2)该星球的第一宇宙速度.
【答案】（1）g=7.5m/s 2 （2）3×103m/s 【解析】 【分析】 【详解】
（1）小物块沿斜面向上运动过程00v at =- 解得：26m/s a =
又有：sin cos mg mg ma θμθ+= 解得：2
7.5m/s g =
（2）设星球的第一宇宙速度为v ，根据万有引力等于重力，重力提供向心力，则有：
2
mv mg R
= 3310m/s v gR ==⨯
2．一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为r ，周期为T ，引力常量为G ，行星半径为求： (1)行星的质量M ；
(2)行星表面的重力加速度g ； (3)行星的第一宇宙速度v ． 【答案】（1） （2）
（3）
【解析】 【详解】
(1)设宇宙飞船的质量为m ，根据万有引力定律
求出行星质量
(2)在行星表面
求出:
(3)在行星表面
求出:
【点睛】
本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力．
3．我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，经过一系列过程，在离月球表面高为h 处悬停，即相对月球静止．关闭发动机后，探测器自由下落，落到月球表面时的速度大小为v ，已知万有引力常量为G ，月球半径为R ，h R <<，忽略月球自转，求： （1）月球表面的重力加速度0g ； （2）月球的质量M ；
（3）假如你站在月球表面，将某小球水平抛出，你会发现，抛出时的速度越大，小球落回到月球表面的落点就越远．所以，可以设想，如果速度足够大，小球就不再落回月球表面，它将绕月球做半径为R 的匀速圆周运动，成为月球的卫星．则这个抛出速度v 1至少为多大？
【答案】（1）202v g h =（2）222v R M hG =（3）2
12v R v h
=【解析】
（1）根据自由落体运动规律2
02v g h =，解得2
02v g h
=
（2）在月球表面，设探测器的质量为m ，万有引力等于重力，02
Mm
G
mg R =，解得月球质量22
2v R M hG
=
（3）设小球质量为'm ，抛出时的速度1v 即为小球做圆周运动的环绕速度
万有引力提供向心力212
''v Mm G m R R =，解得小球速度至少为212v R
v h
=
4．一名宇航员抵达一半径为R 的星球表面后，为了测定该星球的质量，做下实验：将一个小球从该星球表面某位置以初速度v 竖直向上抛出，小球在空中运动一间后又落回原抛出位置，测得小球在空中运动的时间为t ，已知万有引力恒量为G ，不计阻力，试根据题中所提供的条件和测量结果，求：
（1）该星球表面的“重力”加速度g 的大小； （2）该星球的质量M ；
（3）如果在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行周期T 为多大？
【答案】（1）2v g t =（2）2
2vR M Gt
=（3）22Rt T v π= 【解析】 【详解】
（1）由运动学公式得：2v
t g
＝
解得该星球表面的“重力”加速度的大小 2v g t
＝
（2）质量为m 的物体在该星球表面上受到的万有引力近似等于物体受到的重力，则对该星球表面上的物体，由牛顿第二定律和万有引力定律得：mg ＝2
mM
G
R 解得该星球的质量为 2
2vR M Gt
= （3）当某个质量为m′的卫星做匀速圆周运动的半径等于该星球的半径R 时，该卫星运行
的周期T 最小，则由牛顿第二定律和万有引力定律222
4m M m R
G R T
π''＝ 解得该卫星运行的最小周期 22Rt
T v
π
＝ 【点睛】重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由万有引力提供．
5．如图所示，A 是地球的同步卫星．另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面内．已知地球自转角速度为0ω ，地球质量为M ，B 离地心距离为r ，万有引力常量为G ，O 为地球中心，不考虑A 和B 之间的相互作用．（图中R 、h 不是已知条件）
（1）求卫星A 的运行周期A T （2）求B 做圆周运动的周期B T
（3）如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【答案】（1）0
2A T π
ω=（2
）2B T =3
）t ∆=
【解析】 【分析】 【详解】
（1）A 的周期与地球自转周期相同 0
2A T π
ω=
（2）设B 的质量为m ， 对B 由牛顿定律:
2
22()B
GMm m r r T π= 解得：
2B T = （3）A 、B 再次相距最近时B 比A 多转了一圈，则有：0()2B t ωωπ-∆=
解得：
t ∆=
点睛：本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力，向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用；第3问是圆周运动的的追击问题，距离最近时两星转过的角度之差为2π的整数倍．
6．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX ﹣3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成．将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，（如图）所示．引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T ．
（1）可见星A 所受暗星B 的引力FA 可等效为位于O 点处质量为m ′的星体（视为质点）对它的引力，设A 和B 的质量分别为m1、m2，试求m ′（用m1、m2表示）； （2）求暗星B 的质量m2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m1之间的关系式； （3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms 的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A 的速率v ＝2.7×105 m/s ，运行周期T ＝4.7π×104s ，质量m1＝6ms ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G ＝6.67×10﹣11N •m 2/kg2，ms ＝2.0×103 kg ）
【答案】（1）()32
2
12'm m m m =+()
332
2
122m v T G
m m π=+(3)有可能是黑洞 【解析】
试题分析：（1）设A 、B 圆轨道的半径分别为12r r 、，由题意知，A 、B 的角速度相等，为
0ω，
有：2101A F m r ω=，2
202B F m r ω=，又A B F F =
设A 、B 之间的距离为r ，又12r r r =+ 由以上各式得，12
12
m m r r m +=
① 由万有引力定律得12
2
A m m F G
r = 将①代入得()312
2
121A m m F G m m r =+
令121'
A m m F G r =，比较可得()
32212'm m m m =+② （2）由牛顿第二定律有：2
11
211
'm m v G m r r =③ 又可见星的轨道半径12vT r π
=④ 由②③④得
()
3
32
2
122m v T G
m m π=+ （3）将16s m m =代入
()
332
2
122m v T G m m π=+得()3322226s m v T
G
m m π=+⑤ 代入数据得
()
3
2
2
2 3.56s s m m m m =+⑥
设2s m nm =，（n ＞0）将其代入⑥式得，()
32
2
2
12 3.561s s
m n m m m m n =
=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
⑦
可见，
()
32
2
26s m m m +的值随n 的增大而增大，令n=2时得
2
0.125 3.561s s s
n m m m n =<⎛⎫+ ⎪⎝⎭
⑧
要使⑦式成立，则n 必须大于2，即暗星B 的质量2m 必须大于12m ，由此得出结论，暗星B 有可能是黑洞．
考点：考查了万有引力定律的应用
【名师点睛】本题计算量较大，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解，在万有引力这一块，设计的公式和物理量非常多，在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算
7．2016年2月11日，美国“激光干涉引力波天文台”（LIGO ）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13亿光年之外一个双黑洞系统的合并．已知光在真空中传播的速度为c ，太阳的质量为M 0，万有引力常量为G ．
（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26倍和39倍，合并后为太阳质量的62倍．利用所学知识，求此次合并所释放的能量．
（2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在．假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体．
a ．因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在．天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T ，半径为r 0的匀速圆周运动．由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞．利用所学知识求此黑洞的质量M ；
b ．严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在．我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m 1、m 2的质点相距为r 时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为12
p m m E G
r
=-（规定无穷远处势能为零）．请你利用所学知识，推测质量为M′的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径R 最大不能超过多少？
【答案】（1）3M 0c 2
（2）23
02
4r M GT
π=；22GM R c '＝ 【解析】
【分析】 【详解】
（1）合并后的质量亏损
000(2639)623m M M M ∆=+-=
根据爱因斯坦质能方程
2E mc ∆=∆
得合并所释放的能量
203E M c ∆=
（2）a ．小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m 根据万有引力定律和牛顿第二定律
2
0202Mm G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
解得
23
02
4r M GT π=
b ．设质量为m 的物体，从黑洞表面至无穷远处；根据能量守恒定律
2102Mm mv G R ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
解得
22GM R v '
=
因为连光都不能逃离，有v =c 所以黑洞的半径最大不能超过
2
2GM R c '
=
8．假设在月球上的“玉兔号”探测器，以初速度v 0竖直向上抛出一个小球，经过时间t 小球落回抛出点，已知月球半径为R ，引力常数为G ． (1)求月球的密度．
(2)若将该小球水平抛出后，小球永不落回月面，则抛出的初速度至少为多大？ 【答案】（1）032v GRt π （2
【解析】 【详解】
(1)由匀变速直线运动规律：02
gt
v = 所以月球表面的重力加速度0
2v g t
=
由月球表面，万有引力等于重力得
2
GMm
mg R = G
gR M 2
= 月球的密度03=
2v M V GRt
ρπ= (2)由月球表面，万有引力等于重力提供向心力：2
v mg m R
=
可得：v =
9．根据我国航天规划，未来某个时候将会在月球上建立基地，若从该基地发射一颗绕月卫星，该卫星绕月球做匀速圆周运动时距月球表面的高度为h ，绕月球做圆周运动的周期为T ，月球半径为R ，引力常量为G ．求： （1）月球的密度ρ；
（2）在月球上发射绕月卫星所需的最小速度v ．
【答案】（1）3
23
3()R h GT R π+（2 【解析】 【详解】
(1)万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G 2()Mm R h =+m 224T
π（R +h ）， 解得月球的质量为：23
2
4()R h M GT
π+=； 则月球的密度为：
3
23
3()M R h V GT R
πρ+==； （2）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G 2Mm R =m 2
v R
，
解得：v =
10．双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动．已知某双星系统中两颗星之间的距离为 r ，运行周期为 T ，引力常量为 G ，求两颗星的质量之和．
【答案】23
2
4r GT
π 【解析】 【详解】
对双星系统，角速度相同，则：22122Mm
G
M r m r r
ωω== 解得：221Gm r r ω=； 22
2GM r r ω=；
其中2T
π
ω=
，r =r 1+r 2； 三式联立解得：23
2
4r M m GT π+=。