2018-2019学年人教A版必修2 3.2.2 直线的两点式方程 课件(34张)
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第三章 直线与方程
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜率不存在的直线有两点式方程．( × ) (2)与 x 轴平行的直线没有两点式方程．( √ ) (3)过原点的直线没有截距式方程．( √ ) (4)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程是xy－ －yx11＝ xy22－ －yx11．( × )
求直线的两点式方程的策略及注意点 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断 是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标 轴，若满足，则考虑用两点式求方程． (2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字 母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程 时，必须注意坐标的对应关系．
第三章 直线与方程
2．直线ax2－by2＝1(ab≠0)在 y 轴上的截距是(
)
A．a2
B．－b2
C．|a|
D．b2
答案：B
3．过点 P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
答案：B
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第三章 直线与方程
4．下列四个结论： ①方程 k＝xy－＋21与方程 y－2＝k(x＋1)可表示同一直线； ②直线 l 过点 P(x1，y1)，倾斜角为 90°，则其方程是 x＝x1； ③直线 l 过点 P(x1，y1)，斜率为 0，则其方程是 y＝y1； ④所有的直线都有点斜式和截距式方程． 正确的为________．(填序号) 答案：②③
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第三章 直线与方程
2．(1)直线 l1：y＝kx＋b(kb≠0)；直线 l2：xk＋ by＝1 在同一坐标系中的图象可能是( )
(2) 过 点 (1 ， 2) 且 斜 率 为 － 3 的 直 线 的 截 距 式 方 程 为 __________．
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第三章 直线与方程
解析：(1)因为 kb≠0，由四个选项中的 l1 可知 k>0，可排除 A、C；当 b<0 时，可排除 B；当 b>0 时，选项 D 符合题意． (2)由点斜式得 y－2＝－3(x－1)，即 3x＋y－5＝0，即x5＋5y＝
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第三章 直线与方程
若 M、N 分别是 AB、AC 的中点，试求直线 MN 的方程． 解：由中点坐标公式解得 M、N 的坐标分别为 M(1，－1)，
N－32，0，由两点式得
0y－－((－－11))＝－x－32－11，即直线 MN 的方程为 2x＋5y＋3＝0．
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第三章 直线与方程
方程
y－y1 y2－y1 ＝xx2－－xx11
适用范围 不与坐标 轴平行或 重合的直 线
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第三章 直线与方程
名称 已知条件
示意图
截距式
在 x、y 轴上 的截距分别 为 a、b 且
ab≠0
方程
适用范围
不与坐标
x＋y
轴平行或
ab
重合且不
＝1
过原点的
直线
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第三章 直线与方程
2．线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设 M(x，y)是
3 1． 答案：(1)D (2)x5＋5y＝1
3
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第三章 直线与方程
探究点 3 直线方程的应用
直线过点 P43，2且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、
B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列 条件： (1)△AOB 的周长为 12； (2)△AOB 的面积为 6．若存在，求出直线的方程；若不存在， 请说明理由．
x1＋x2
线段 P1P2 的中点，则x＝____y_1＋2__y_2____， y＝______2______.
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第三章 直线与方程
对直线的两点式方程的理解 (1)应用的前提条件 ①当 x1≠x2，y1≠y2，即直线的斜率不存在及斜率为零时没有 两点式方程． ②当 x1＝x2 时，直线方程为 x＝x1； 当 y1＝y2 时，直线方程为 y＝y1．
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第三章 直线与方程
根据题意得 2－5k＝－5－2k，
解得 k＝25或 1． 当 k＝25时，直线 l 的方程为 y－2＝25(x－5)，即 2x－5y＝0； 当 k＝1 时，直线 l 的方程为 y－2＝1×(x－5)，即 x－y－3 ＝0．
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第三章 直线与方程
若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为： “在 x 轴上的截距是 y 轴上截距的 2 倍”，其他条件不变， 如何求解？ 解：(1)当直线 l 在两坐标轴上的截距均为 0 时，方程为 y＝ 25x，即 2x－5y＝0 适合题意．
答案：B 已知 M(－1，2)，N(3，－4)，线段 MN 的中点坐标是
________．
答案：(1，－1)
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第三章 直线与方程
探究点 1 直线的两点式方程 已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC
中， (1)求 BC 边所在直线的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程． 【解】 (1)因为 BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)， 所以由两点式得－y－2－(－(－4)4)＝x0－ －55， 即 2x＋5y＋10＝0． 故 BC 边所在直线的方程为 2x＋5y＋10＝0．
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第三章 直线与方程
所以所求直线的方程为x4＋3y＝1 或51x2＋29y＝1， 即 3x＋4y－12＝0 或 15x＋8y－36＝0． (2)存在．设直线方程为xa＋by＝1(a>0，b>0)，
ab＝12， 由题意可知34a＋b2＝1，
解得a＝4，或a＝2， b＝3 b＝6.
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第ห้องสมุดไป่ตู้章 直线与方程
经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为( )
A．5x＋3y－25＝0
B．5x－3y－25＝0
C．3x－5y－25＝0
D．5x－3y＋25＝0
解析：选 B．过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为－y－5－00＝
x2－ －55，即 5x－3y－25＝0．
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第三章 直线与方程
(2)设 BC 的中点为 D(x0，y0)， 则 x0＝5＋2 0＝52，y0＝(－4)＋2 (－2)＝－3．
所以 D52，－3，
又 BC 边上的中线经过点 A(－3，2)． 所以由两点式得－y－3－22＝x52－－((－－33))， 即 10x＋11y＋8＝0． 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0．
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第三章 直线与方程
5．直线 l 过点 P(－2，3)，且与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两 点，若点 P 恰为 AB 的中点，则直线 l 的方程为____________． 解析：设 A(x，0)，B(0，y)． 因为点 P 恰为 AB 的中点，则x＋2 0＝－2，0＋2 y＝3，所以 x ＝－4，y＝6，即 A、B 两点的坐标分别为(－4，0)，(0，6)．由 截距式得直线 l 的方程为－x4＋6y＝1， 即 3x－2y＋12＝0． 答案：3x－2y＋12＝0
解得a＝1，或a＝－1， b＝－6 b＝6.
因此所求直线 l 的方程是 x＋－y6＝1 或－x＋6y＝1．
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第三章 直线与方程
1．过点 A(3，0)和 B(2，1)的直线方程为( )
A．x＋y－3＝0
B．x－y－3＝0
C．x＋y＋3＝0
D．x－y＋3＝0
答案：A
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第三章 直线与方程
在 x，y 轴上的截距分别是－3，4 的直线方程是( )
A．－x3＋4y＝1
B．x3＋－y4＝1
C．－x3－4y＝1
D．x4＋－y3＝1
答案：A
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第三章 直线与方程
直线xa＋by＝1 过第一、三、四象限，则(
)
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
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第三章 直线与方程
(2)当直线 l 在两坐标轴上的截距均不为 0 时，可设方程为2xa＋ ay＝1， 又 l 过点(5，2)， 所以25a＋2a＝1，解得 a＝92． 所以 l 的方程为 x＋2y－9＝0．
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第三章 直线与方程
利用截距式求直线方程的策略及注意点 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式 求直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式求直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点 以及能否与两坐标轴垂直．如果题中出现直线在两坐标轴上 的“截距相等”“截距互为相反数”等条件时，采用截距式 求直线方程，要注意考虑“零截距”的情况．
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第三章 直线与方程
【解】 (1)存在．设直线方程为xa＋by＝1(a>0，b>0)，
由题意可知，a＋b＋ a2＋b2＝12．①
又因为直线过点 P43，2，
所以34a＋2b＝1，② 由①②可得 5a2－32a＋48＝0，
解得a＝4，或 a＝152，
b＝3
b＝92.
所以所求直线的方程为x4＋3y＝1 或x2＋6y＝1， 即 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0．
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第三章 直线与方程
直线方程与三角形的面积、周长之间的关系 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选 择直线方程的截距式，若设直线在 x 轴，y 轴上的截距分别 为 a，b，则直线与坐标轴所围成的三角形面积为 S＝12|a||b|， 周长 c＝|a|＋|b|＋ a2＋b2．
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第三章 直线与方程
(2)对两点式方程形式的两点说明 ①方程yy2－－yy11＝xx2－－xx11也可写成yy1－－yy22＝xx1－－xx22，两者形式有异 但实质相同．但不与xy－ －yx11＝xy22－ －yx11或(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－ y1)(x－x1)等价．两点式方程有它的局限性，而(x2－x1)(y－y1) ＝(y2－y1)(x－x1)则可表示过平面内的任意不同两点的直线． ②要注意方程两边分式的分子、分母四个减式的减数为同一 点的横、纵坐标．
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第三章 直线与方程
1．已知直线 l 经过两点 A(1，0)，B(m，1)， 求直线 l 的方程． 解：当 m≠1 时，直线 l 的方程是1y－－00＝mx－－11， 即 x－(m－1)y－1＝0； 当 m＝1 时，直线 l 的方程为 x＝1．
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第三章 直线与方程
探究点 2 直线的截距式方程 求过点 A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直
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第三章 直线与方程
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第三章 直线与方程
3．已知直线 l 的斜率为 6，且被两坐标轴所 截得的线段长为 37，求直线 l 的方程． 解：设所求直线为xa＋by＝1，则与 x 轴、y 轴的交点分别为(a， 0)，(0，b)，由勾股定理知 a2＋b2＝37．
又 k＝－ba＝6，所以a－2＋ba＝b26＝. 37，
第三章 直线与方程
3．2．2 直线的两点式方程
第三章 直线与方程
1．掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范 围． 2．了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围． 3．会用中点坐标公式求线段的中点坐标．
第三章 直线与方程
1．直线方程的两点式和截距式
名称 已知条件
示意图
两点式
P1(x1，y1)， P2(x2，y2)， 其中 x1≠x2， y1≠y2
线 l 的方程． 【解】 法一：(1)当直线 l 在坐标轴上的截距均为 0 时，方 程为 y＝25x，即 2x－5y＝0； (2)当直线 l 在坐标轴上的截距不为 0 时，可设方程为xa＋－ya＝ 1，即 x－y＝a， 又因为 l 过点 A(5，2)，
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第三章 直线与方程
所以 5－2＝a，a＝3， 所以 l 的方程为 x－y－3＝0， 综上所述，直线 l 的方程是 2x－5y＝0，或 x－y－3＝0． 法二：由题意知直线的斜率一定存在． 设直线的点斜式方程为 y－2＝k(x－5)， x＝0 时，y＝2－5k，y＝0 时，x＝5－2k．
第三章 直线与方程
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜率不存在的直线有两点式方程．( × ) (2)与 x 轴平行的直线没有两点式方程．( √ ) (3)过原点的直线没有截距式方程．( √ ) (4)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程是xy－ －yx11＝ xy22－ －yx11．( × )
求直线的两点式方程的策略及注意点 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断 是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标 轴，若满足，则考虑用两点式求方程． (2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字 母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程 时，必须注意坐标的对应关系．
第三章 直线与方程
2．直线ax2－by2＝1(ab≠0)在 y 轴上的截距是(
)
A．a2
B．－b2
C．|a|
D．b2
答案：B
3．过点 P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
答案：B
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第三章 直线与方程
4．下列四个结论： ①方程 k＝xy－＋21与方程 y－2＝k(x＋1)可表示同一直线； ②直线 l 过点 P(x1，y1)，倾斜角为 90°，则其方程是 x＝x1； ③直线 l 过点 P(x1，y1)，斜率为 0，则其方程是 y＝y1； ④所有的直线都有点斜式和截距式方程． 正确的为________．(填序号) 答案：②③
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第三章 直线与方程
2．(1)直线 l1：y＝kx＋b(kb≠0)；直线 l2：xk＋ by＝1 在同一坐标系中的图象可能是( )
(2) 过 点 (1 ， 2) 且 斜 率 为 － 3 的 直 线 的 截 距 式 方 程 为 __________．
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第三章 直线与方程
解析：(1)因为 kb≠0，由四个选项中的 l1 可知 k>0，可排除 A、C；当 b<0 时，可排除 B；当 b>0 时，选项 D 符合题意． (2)由点斜式得 y－2＝－3(x－1)，即 3x＋y－5＝0，即x5＋5y＝
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第三章 直线与方程
若 M、N 分别是 AB、AC 的中点，试求直线 MN 的方程． 解：由中点坐标公式解得 M、N 的坐标分别为 M(1，－1)，
N－32，0，由两点式得
0y－－((－－11))＝－x－32－11，即直线 MN 的方程为 2x＋5y＋3＝0．
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第三章 直线与方程
方程
y－y1 y2－y1 ＝xx2－－xx11
适用范围 不与坐标 轴平行或 重合的直 线
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第三章 直线与方程
名称 已知条件
示意图
截距式
在 x、y 轴上 的截距分别 为 a、b 且
ab≠0
方程
适用范围
不与坐标
x＋y
轴平行或
ab
重合且不
＝1
过原点的
直线
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第三章 直线与方程
2．线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设 M(x，y)是
3 1． 答案：(1)D (2)x5＋5y＝1
3
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第三章 直线与方程
探究点 3 直线方程的应用
直线过点 P43，2且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、
B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列 条件： (1)△AOB 的周长为 12； (2)△AOB 的面积为 6．若存在，求出直线的方程；若不存在， 请说明理由．
x1＋x2
线段 P1P2 的中点，则x＝____y_1＋2__y_2____， y＝______2______.
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第三章 直线与方程
对直线的两点式方程的理解 (1)应用的前提条件 ①当 x1≠x2，y1≠y2，即直线的斜率不存在及斜率为零时没有 两点式方程． ②当 x1＝x2 时，直线方程为 x＝x1； 当 y1＝y2 时，直线方程为 y＝y1．
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第三章 直线与方程
根据题意得 2－5k＝－5－2k，
解得 k＝25或 1． 当 k＝25时，直线 l 的方程为 y－2＝25(x－5)，即 2x－5y＝0； 当 k＝1 时，直线 l 的方程为 y－2＝1×(x－5)，即 x－y－3 ＝0．
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第三章 直线与方程
若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为： “在 x 轴上的截距是 y 轴上截距的 2 倍”，其他条件不变， 如何求解？ 解：(1)当直线 l 在两坐标轴上的截距均为 0 时，方程为 y＝ 25x，即 2x－5y＝0 适合题意．
答案：B 已知 M(－1，2)，N(3，－4)，线段 MN 的中点坐标是
________．
答案：(1，－1)
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第三章 直线与方程
探究点 1 直线的两点式方程 已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC
中， (1)求 BC 边所在直线的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程． 【解】 (1)因为 BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)， 所以由两点式得－y－2－(－(－4)4)＝x0－ －55， 即 2x＋5y＋10＝0． 故 BC 边所在直线的方程为 2x＋5y＋10＝0．
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第三章 直线与方程
所以所求直线的方程为x4＋3y＝1 或51x2＋29y＝1， 即 3x＋4y－12＝0 或 15x＋8y－36＝0． (2)存在．设直线方程为xa＋by＝1(a>0，b>0)，
ab＝12， 由题意可知34a＋b2＝1，
解得a＝4，或a＝2， b＝3 b＝6.
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第ห้องสมุดไป่ตู้章 直线与方程
经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为( )
A．5x＋3y－25＝0
B．5x－3y－25＝0
C．3x－5y－25＝0
D．5x－3y＋25＝0
解析：选 B．过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为－y－5－00＝
x2－ －55，即 5x－3y－25＝0．
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第三章 直线与方程
(2)设 BC 的中点为 D(x0，y0)， 则 x0＝5＋2 0＝52，y0＝(－4)＋2 (－2)＝－3．
所以 D52，－3，
又 BC 边上的中线经过点 A(－3，2)． 所以由两点式得－y－3－22＝x52－－((－－33))， 即 10x＋11y＋8＝0． 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0．
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5．直线 l 过点 P(－2，3)，且与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两 点，若点 P 恰为 AB 的中点，则直线 l 的方程为____________． 解析：设 A(x，0)，B(0，y)． 因为点 P 恰为 AB 的中点，则x＋2 0＝－2，0＋2 y＝3，所以 x ＝－4，y＝6，即 A、B 两点的坐标分别为(－4，0)，(0，6)．由 截距式得直线 l 的方程为－x4＋6y＝1， 即 3x－2y＋12＝0． 答案：3x－2y＋12＝0
解得a＝1，或a＝－1， b＝－6 b＝6.
因此所求直线 l 的方程是 x＋－y6＝1 或－x＋6y＝1．
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第三章 直线与方程
1．过点 A(3，0)和 B(2，1)的直线方程为( )
A．x＋y－3＝0
B．x－y－3＝0
C．x＋y＋3＝0
D．x－y＋3＝0
答案：A
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第三章 直线与方程
在 x，y 轴上的截距分别是－3，4 的直线方程是( )
A．－x3＋4y＝1
B．x3＋－y4＝1
C．－x3－4y＝1
D．x4＋－y3＝1
答案：A
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第三章 直线与方程
直线xa＋by＝1 过第一、三、四象限，则(
)
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
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第三章 直线与方程
(2)当直线 l 在两坐标轴上的截距均不为 0 时，可设方程为2xa＋ ay＝1， 又 l 过点(5，2)， 所以25a＋2a＝1，解得 a＝92． 所以 l 的方程为 x＋2y－9＝0．
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第三章 直线与方程
利用截距式求直线方程的策略及注意点 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式 求直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式求直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点 以及能否与两坐标轴垂直．如果题中出现直线在两坐标轴上 的“截距相等”“截距互为相反数”等条件时，采用截距式 求直线方程，要注意考虑“零截距”的情况．
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第三章 直线与方程
【解】 (1)存在．设直线方程为xa＋by＝1(a>0，b>0)，
由题意可知，a＋b＋ a2＋b2＝12．①
又因为直线过点 P43，2，
所以34a＋2b＝1，② 由①②可得 5a2－32a＋48＝0，
解得a＝4，或 a＝152，
b＝3
b＝92.
所以所求直线的方程为x4＋3y＝1 或x2＋6y＝1， 即 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0．
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第三章 直线与方程
直线方程与三角形的面积、周长之间的关系 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选 择直线方程的截距式，若设直线在 x 轴，y 轴上的截距分别 为 a，b，则直线与坐标轴所围成的三角形面积为 S＝12|a||b|， 周长 c＝|a|＋|b|＋ a2＋b2．
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第三章 直线与方程
(2)对两点式方程形式的两点说明 ①方程yy2－－yy11＝xx2－－xx11也可写成yy1－－yy22＝xx1－－xx22，两者形式有异 但实质相同．但不与xy－ －yx11＝xy22－ －yx11或(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－ y1)(x－x1)等价．两点式方程有它的局限性，而(x2－x1)(y－y1) ＝(y2－y1)(x－x1)则可表示过平面内的任意不同两点的直线． ②要注意方程两边分式的分子、分母四个减式的减数为同一 点的横、纵坐标．
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第三章 直线与方程
1．已知直线 l 经过两点 A(1，0)，B(m，1)， 求直线 l 的方程． 解：当 m≠1 时，直线 l 的方程是1y－－00＝mx－－11， 即 x－(m－1)y－1＝0； 当 m＝1 时，直线 l 的方程为 x＝1．
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第三章 直线与方程
探究点 2 直线的截距式方程 求过点 A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直
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第三章 直线与方程
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第三章 直线与方程
3．已知直线 l 的斜率为 6，且被两坐标轴所 截得的线段长为 37，求直线 l 的方程． 解：设所求直线为xa＋by＝1，则与 x 轴、y 轴的交点分别为(a， 0)，(0，b)，由勾股定理知 a2＋b2＝37．
又 k＝－ba＝6，所以a－2＋ba＝b26＝. 37，
第三章 直线与方程
3．2．2 直线的两点式方程
第三章 直线与方程
1．掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范 围． 2．了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围． 3．会用中点坐标公式求线段的中点坐标．
第三章 直线与方程
1．直线方程的两点式和截距式
名称 已知条件
示意图
两点式
P1(x1，y1)， P2(x2，y2)， 其中 x1≠x2， y1≠y2
线 l 的方程． 【解】 法一：(1)当直线 l 在坐标轴上的截距均为 0 时，方 程为 y＝25x，即 2x－5y＝0； (2)当直线 l 在坐标轴上的截距不为 0 时，可设方程为xa＋－ya＝ 1，即 x－y＝a， 又因为 l 过点 A(5，2)，
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第三章 直线与方程
所以 5－2＝a，a＝3， 所以 l 的方程为 x－y－3＝0， 综上所述，直线 l 的方程是 2x－5y＝0，或 x－y－3＝0． 法二：由题意知直线的斜率一定存在． 设直线的点斜式方程为 y－2＝k(x－5)， x＝0 时，y＝2－5k，y＝0 时，x＝5－2k．