【压轴卷】高中必修二数学下期末试卷(含答案)(1)

【压轴卷】高中必修二数学下期末试卷(含答案)(1)
一、选择题
1．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )
A ．
203
B ．
72
C ．
165
D ．
158
2．ABC V 中，已知sin cos cos a b c
A B C
==，则ABC V 为（ ） A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．有一个内角为30°的直角三角形
D ．有一个内角为30°的等腰三角形
3．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如
下统计数据表： 收入x （万元）
8.2
8.6
10.0 11.3 11.9
支出y （万元）
6.2
7.5
8.0 8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元
B ．11.8万元
C ．12.0万元
D ．12.2万元
4．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥
D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥
5．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3
D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3
6．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ） A ．
(
)
6,10
B ．
(
)
6,22
C ．()
2,22
D ．（2，4）
7．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）
A ．2
B ．422+
C ．442+
D ．642+
8．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o
，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( )
A ．432⎛ ⎝⎭，
B ．432⎡⎢⎣⎦，
C ．432⎡⎢⎣⎭，
D ．43⎛ ⎝⎦
9．已知0,0a b >>，并且111
,,2a b
成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2
B ．4
C ．5
D ．9
10．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数
{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(1,1)(3,4)-U
B ．(1,3)
C ．(1,4)-
D ．(,1)(4,)-∞-+∞U
11．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0相
切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10
D ．1或11 12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则
A C +=
A ．90︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．150︒
二、填空题
13．已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.
14．若,2παπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，1sin 43πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_________
15．函数()2
sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.
16．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(]
,0-∞上是减函数,则不等式
()()1ln f f x <的解集是________.
17．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
18．直线l 与圆2
2
240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为
(0,1)，则直线l 的方程为__________．
19．设
，则
________
20．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．
三、解答题
21．
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y （千亿元）
5 6
7 8 10
（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程
^
^^
t y
b a =+
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（6t =）的人民币储蓄存款.
附：回归方程
^
^^
t y
b a =+中1
1
2
22
1
1
()(),
{
().
n n
i
i
i i
i i n
n
i i i i x x y y x y nxy
b x x x nx a y bx ====---=
=
--=-∑∑∑∑
22．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；
23．如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，
1
2
BC CD AD ==
.
（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面P AB；
（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面P AB，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由.
24．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空，ABC
∆外的地方种草，ABC
∆的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若1
BC=，ABCθ
∠=，
2
π
θ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，，设ABC
∆的面积为
1
S，正方形的面积为
2
.
S
(1)用θ表示1S和2S；
(2)当θ变化时，求1
2
S
S的最小值及此时角
θ的大小.
25．已知函数()()
sin0,
2
f x x
π
ωϕωϕ
⎛⎫
=+><
⎪
⎝⎭
的部分图象如图所示.
(1)求函数()
f x的解析式，并写出()
f x的最小正周期；
(2)令()
1π
212
g x f x
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，若在[]
0,
xπ
∈内，方程()()
2
12320
a g x ag x
⎡⎤
-+-=
⎣⎦有且仅有两解，求a的取值范围.
26．某校高一()1班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
(1)求分数在[)50,60的频数及全班人数；
(2)求分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高； (3)若要从分数在[)80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷
中，至少有一份分数在[
)90,100之间的概率．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即133
1,2,,2222
M a b n =+
====;又由23≤成立，则循环，即2838
2,,,33323
M a b n =+
====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =
+====;又由43≤不成立，则出循环，输出15
8
M =． 考点：算法的循环结构
2．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
因为sin cos cos a b c A B C
==，所以
sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π
==∴== , 即ABC V 为等腰直角三角形.
故选：B .
3．B
解析：B 【解析】 试题分析：由题
，
，所以
．
试题解析：由已知
，
又因为ˆˆˆy
bx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以
，即该家庭支出为
万元．
考点：线性回归与变量间的关系．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断． 【详解】
对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定； 对于B 选项，若l αβ=I ，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；
对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，
n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥；
对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与
平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直． 故选C ． 【点睛】
本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．
5．D
【解析】
试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第
天）人数的平均数
为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感
染人数总数为
，又由于方差大于，故这
天中不可能每天都是，可以有一天大于
，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.
考点：众数、中位数、平均数、方差
6．A
解析：A 【解析】
由()4f x f x -=（
）得：4T =，当010]x ∈
（，
时，函数的图象如图：
()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62 log 102a a
<⎧⎨
>⎩，解得610a ∈（，），故选A.
点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】
根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边2,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2， ∴几何体的表面积1
2222222264 2.2
S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ．
本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】
由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得23
x <<.故选A. 【点睛】
本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或
b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 9．D
解析：D 【解析】 ∵
111
,,2a b
成等差数列，
()11114144559a b a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=∴+=++=+++= ⎪⎝⎭
，…， 当且仅当a =2b 即3
3,2
a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】
函数()f x 的图象如图，
直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.
11．A
解析：A 【解析】
试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．
解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为
，
直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=
，
化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5， 解得λ=﹣3或7 故选A
考点：直线与圆的位置关系．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
由已知三边，利用余弦定理可得1
cos 2
B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求A
C +的值． 【详解】
在ABC ∆中，5a =Q ，7b =，8c =，
∴由余弦定理可得：2222564491
cos 22582
a c
b B a
c +-+-===⨯⨯，
b c <Q ，故B 为锐角，可得60B =︒， 18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ． 【点睛】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．
二、填空题
13．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值 解析：3
π
【解析】 【分析】
先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出
m 的表达式，即可求出m 的最小值．
【详解】 由2T π
πω=
=得2ω=，所以sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到
sin[2()]sin(22)33
y x m x m ππ
=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函
数，有2,3
m k k Z π
π+=∈，则6
2
k m π
π=-
+
，故m 的最小值为3π
．
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件．一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2
k π
ϕπ=
+；
cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2
k π
ϕπ=
+；为偶函数，则k ϕπ=．
14．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属
解析：
46
+ 【解析】 【分析】
利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可. 【详解】
因为1sin 43πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故cos 43πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭=
14sin cos 2442336ππαα⎡⎤⎛⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-+=--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦
.
故答案为：46
+【点睛】
本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.
15．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：134
-
【解析】 【分析】
利用换元法，令sin x t =，[]
1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】
令sin x t =，[]
1,1t ∈-，则2
113324
y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当12
t =-
时，函数有最小值134-，故答案为13
4-.
【点睛】
求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2
sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x b
y c x d
+=
+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③
sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值；④形如
()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 16．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为
解析：()10,e,e ∞⎛⎫
⋃+ ⎪⎝⎭
【解析】
由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(]
,0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，
上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<
,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫
⋃+ ⎪⎝⎭
;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫
⋃+ ⎪⎝⎭
. 17．如果l ⊥αm ∥α则l ⊥m 或如果l ⊥αl ⊥m 则m ∥α【解析】【分析】将所给论断分别作为条件结论加以分析【详解】将所给论断分别作为条件结论得到如下三个命题：（1）如果l ⊥αm ∥α则l ⊥m 正确；（2）如果
解析：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【解析】 【分析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】
将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确； （2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；
（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 【点睛】
本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.
18．【解析】【分析】【详解】设圆心直线的斜率为弦AB 的中点为的斜率为则所以由点斜式得
解析：10x y -+=. 【解析】 【分析】 【详解】
设圆心O ，直线l 的斜率为k ，弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，21
10
op k -=
--则l PO ⊥，所以k (1)11op k k k ⋅=⋅-=-∴=由点斜式得1y x =+．
19．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f -2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-
解析：-1 【解析】 【分析】
由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得
的值.
【详解】
， ，
所以，故答案为-1.
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外
依次求值．
20．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图 7
【解析】
试题分析：该三棱锥底面是边长为23，有两个侧面是底边为2，高为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2，腰为2277．
考点：三视图．
三、解答题
21．（Ⅰ） 1.2.6ˆ3y
t =+，（Ⅱ）10.8千亿元. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）列表分别计算出,x y ，2
1
1
,.n
n
nt i
ny i i i i l t
nt l t y nty ===
-=-∑∑的值，然后代
入ˆny nt
l b
l =求得ˆb
，再代入ˆˆa y bt =-求出ˆa 值，从而就可得到回归方程 1.2.6ˆ3y t =+， （Ⅱ）将6t =代入回归方程 1.2.6ˆ3y
t =+可预测该地区2015年的人民币储蓄存款． 试题解析： （1）列表计算如下 i
i t
i y
2i t
i i t y
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
这里11136
5,3,7.2.55
n i i i i n t t y y n n =====
====∑∑ 又2
2
1
1
555310,120537.212.n
n
nt i
ny i i i i l t
nt l t y nty ===
-=-⨯==-=-⨯⨯=∑∑
从而12 1.2,7.2 1.23 3.610
ˆˆˆny nt l b a y bt l =
===-=-⨯=. 故所求回归方程为 1.2.6ˆ3y
t =+. （2）将6t =代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
1.26 3.610.8(ˆ).y
=⨯+=千亿元 考点：线性回归方程.
22．（1）0.9（2）0.085,0.125a b == 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由频率/组距求出a 、b 的值
试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有
6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是10
10.9100
-=． 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9
（2）课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，
所以0.17
0.0852
a =
==频率组距， 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，
所以0.25
0.1252
b =
==频率组距 考点：频率分布直方图
23．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意可得CD ⊥平面P AD ，从而易得CD ⊥PD ； （Ⅱ）要证BD ⊥平面P AB ，关键是证明BD AB ⊥；
（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 【详解】
（Ⅰ）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥P A .
因为CD ⊥AD ，PA AD A ⋂=， 所以CD ⊥平面P AD . 因为PD ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥PD .
(II )因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥P A .
在直角梯形ABCD 中，1
2
BC CD AD ==， 由题意可得2AB BD BC ==，
所以222AD AB BD =+，
所以BD AB ⊥. 因为PA AB A =I ， 所以BD ⊥平面P AB .
（Ⅲ）解：在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 证明：取P A 的中点N ，连接MN ，BN ，
因为M 是PD 的中点，所以1
2
MN AD P . 因为1
2
BC AD P
，所以MN BC P . 所以MNBC 是平行四边形， 所以CM ∥BN .
因为CM ⊄平面P AB , BN ⊂平面P AB . 所以//CM 平面P AB . 【点睛】
本题考查平面与平面垂直的判定定理,以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
24．（1）2
121sin cos sin cos 41sin cos S S θθθθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭
，；（2）最小值944πθ=， 【解析】 【分析】
（1）在Rt ABC ∆中，可用,R θ表示,AB AC ，从而可求其面积，利用三角形相似可得
PS 的长度，从而可得2S .
（2）令sin 2t θ=，从而可得
(]21144,0,14t t S t S ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，利用(]4
,0,1s t t t
=+∈的单调性可求1
2
S S 的最小值. 【详解】
（1）在Rt ABC ∆中，cos ,sin AB AC θθ==，所以11sin cos 2S θθ=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，. 而BC 边上的高为
sin cos sin cos 1
θθ
θθ=， 设APS ∆斜边上的为1h ，ABC ∆斜边上的高为2h ，
因APS ABC ∆∆:，所以12sin cos sin cos h PS PS
BC h θθθθ
-==， 故sin cos 1sin cos PS θθθθ=+，故2
2
2sin cos 1sin cos S PS θθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭
，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. （2）
()()21
2221sin cos 2sin 224sin 2sin cos 1si 1sin cos 2sin cos n cos S S θθθθθθθθθθθθ++===⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，
令(]sin 2,0,1t t θ=∈，则()2
12214444t t S t t S
+⎛⎫==++ ⎪
⎝⎭
. 令(]4
,0,1s t t t
=+
∈，设任意的1201t t <<≤， 则()()12121212
40
t t t t s s t t ---=
>，故(]4
,0,1s t t t
=+
∈为减函数， 所以min 5s =，故m 12in
94S S ⎛⎫=
⎪⎝⎭，此时1t =即4π
θ=.
【点睛】
直角三角形中的内接正方形的问题，可借助于解直角三角形和相似三角形得到各边与角的关系，三角函数式的最值问题，可利用三角变换化简再利用三角函数的性质、换元法等可求原三角函数式的最值. 25．(1) ()sin 26f x x π⎛⎫
+ ⎝
=⎪⎭
，最小正周期T π=；(2) 161217a a a ⎧⎫<≤=
⎨⎬⎩⎭
或 【解析】
【试题分析】（1）借助题设提供的图形信息与数据信息可求出周期T π=，再借助
T πω＝
，求出2ω=，再借助点,16π⎛⎫
⎪⎝⎭
在()f x 图象上求出 6πϕ
=；（2）先将原方程可化为()2
13sin 2sin 2a x x +-=，分离参数2
221732sin 3sin 12sin 84x x x a ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭，
再换元sin t x =，将其转化为函数()2
173284f t t ⎛⎫=-- ⎪
⎝⎭
及2y a =图问题来处理：
解：(1)由图象可知：22362T πππ=-=，∴T π=，又T π
ω
＝，∴2ω=. 又∵点,16π⎛⎫
⎪⎝⎭
在()f x 图象上，∴sin 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，∴232k ππϕπ+=+，
∴26
k π
ϕπ=+
，k Z ∈，又∵2
π
ϕ<
，∴6
π
ϕ=
.
∴()sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期T π=. (2)∵()1sin 2
12g x f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴原方程可化为(
)
2
13sin 2sin 2a x x +-=，则0a ≠. ∵[]0,x π∈，[]
sin 0,1x ∈，∴213sin 2sin 0x x +->，
∴2
221732sin 3sin 12sin 84x x x a ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝
⎭， 令sin t x =，则[]0,1t ∈，作出()2
173284f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
及2y a =图象，
当21a ≤
2<或217
8
a =时，两图象在[]0,1内有且仅有一解， 即方程2
21732sin 84x a ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭在[]0,π内有且仅有两解， 此时a 的取值范围为161217a a a ⎧⎫
<≤=
⎨⎬⎩⎭
或.
点睛：求出函数的解析式后，求解第二问时先将原方程可化为(
)
2
13sin 2sin 2a x x +-=，则0a ≠，然后借助[]0,x π∈，[]
sin 0,1x ∈，得到213sin 2sin 0x x +->，进而分离参数
2
221732sin 3sin 12sin 84x x x a ⎛
⎫=-++=-- ⎪⎝⎭，再换元sin t x =，则[]0,1t ∈，从而将问题化为函数()2
173284f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
及2y a =图象的交点的个数问题，然后结合图像求出参数
的取值范围。

26．（1）2，25；（2）0.012；（3）0.7. 【解析】 【分析】
(1)先由频率分布直方图求出[)50,60的频率，结合茎叶图中得分在[)50,60的人数即可
求得本次考试的总人数；(2)根据茎叶图的数据，利用(1)中的总人数减去[
)50,80外的人数，即可得到[)50,80内的人数，从而可计算频率分布直方图中[
)80,90间矩形的高；
(3)用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率
计算公式即可求出结果． 【详解】
(1)分数在[)50,60的频率为0.008100.08⨯=，
由茎叶图知：
分数在[
)50,60之间的频数为2，
∴全班人数为
2
250.08
=． (2)分数在[)80,90之间的频数为25223-=；
频率分布直方图中[
)80,90间的矩形的高为
3
100.01225
÷=． (3)将[)80,90之间的3个分数编号为1a ，2a ，3a ，[)90,100之间的2个分数编号为
1b ，2b ，
在[
)80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为：
()12a ,a ，()13a ,a ，()11a ,b ，()12a ,b ，()23a ,a ，()21a ,b ，()22a ,b ，()31a ,b ，()32a ,b ，()12b ,b 共10个，
其中，至少有一个在[)90,100之间的基本事件有7个，
故至少有一份分数在[
)90,100之间的概率是7
0.710
=． 【点睛】
本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.。