2021-2022学年北京密云十里堡中学高三数学文测试题含解析

2021-2022学年北京密云十里堡中学高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 把的图象经过某种平移后得到的图象，则平移方式可为
（A）按平移
（B）按平移
（C）先向右平移个单位再向上平移个单位
（D）先向左平移个单位再向下平移个单位
参考答案：
B
2. 函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象可以由y=3sin2x的图象（）
A．向右平移个单位长度得到B．向左平移个单位长度得到
C．向右平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到
参考答案：
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：把y=3sin2x的图象向右平移个单位长度，可得f（x）═3sin2（x﹣）=3sin（2x﹣）的图象，故选：C．
3. 已知球O外接于正四面体ABCD，小球O'与球O内切于点D，与平面ABC相切，球O的表面积为
9π，则小球O'的体积为（）
A．B．4πC．6πD．
参考答案：
A
【考点】球的体积和表面积．
【分析】设小球O'的半径为r，球O的半径为R，正四面体的高为h，推导出，由球O的表面积
为9π，得，从而r=1，由此能求出小球O'的体积．
【解答】解：设小球O'的半径为r，球O的半径为R，正四面体的高为h，
则由题意，得：，即，
又球O的表面积为9π，即4πR2=9π，则，
所以r=1，则小球O'的体积．
故选：A．
4. x，y∈R，且则z＝x＋2y的最小值等于
A、2
B、3
C、5
D、9
参考答案：
B
5. 已知函数对于任意的满足（其中是函数
的导函数），则下列不等式成立的是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
6. 已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，P，Q均位于第一象限，且=， ?=0，则双曲线C的离心率为（）
A．﹣1 B．C． +1 D． +1
参考答案：
A
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用已知条件可得P是Q，F2的中点，⊥，由条件求出Q坐标，由中点坐标公式，求出P的坐标，代入双曲线方程，即可求解双曲线的离心率．
【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，P、Q均位于第一象限，
且=， ?=0，
可知P是Q，F2的中点，⊥，
Q在直线bx﹣ay=0上，并且|OQ|=c，则Q（a，b），
则P（，），
代入双曲线方程可得：﹣=1，
即有=，
即1+e=．
可得e=﹣1．
故选：A．
7. 设有算法如图所示：如果输入A=144，B=39，则输出的结果是（）
A．144 B．3 C
．0D．12参考答案：
B
8. 已知复数满足，则（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
9. 已知函数则函数的零点个数为
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
10. 设函数的定义域为D，若所有点构成一个正方形区域，则函数的单调增区间为
A. B.
C. D.
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 方程lgx+lg（x﹣1）=lg6的解x= ．
参考答案：
3
考点：对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由已知得，由此能求出结果．
解答：解：∵lgx+lg（x﹣1）=lg6，
∴，
解得x=3．
故答案为：3．
点评：本题考查对数方程的解法，是基础题，解题时要注意对数性质的合理运用．12. 如下图，函数,x∈R,(其中0≤≤)的图像与y轴交于点（0，1）. 设P是图像上的最高点，M、N是图像与x轴的交点，则与的夹角的余弦值
为
．
参考答案：
略
13. 若实数
x ，y满足，则的最小值是
参考答案：
14. 已知向量，，且，则．
参考答案：
4
15. 一枚质地均匀的硬币掷两次，已知第一次是正面，则第二次也是正面的概率为
参考答案：
1/2
略
16. 若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是。

参考答案：
17. 已知、分别是函数
的最大值、最小值，则.
参考答案：
2
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数.
（1）求函数在的最大值与最小值；
（2）若实数使得对任意恒成立，求的值.
参考答案：
（1）最大值为3；最小值为2（2）-1
（1）f（x）=sinx+cosx+1=2（sinx+cosx）+1=2sin（x++1
∵x∈[0，]，∴x+∈[，]∴≤sin（x+）≤1，
∴2≤2sin（x+）+1≤3∴函数f（x）在[0，]的最大值为3；最小值为2．
（2）af（x）+bf（x-c）=a[2sin（x+）+1]+b[2sin（x+-c）+1]=12asin（x+）+2bsin （x+-c）+1=1-a-b2asin（x+）+2bsin（x+）cosc-2bcos（x+）sinc
=1-a-b（2a+2bcosc）sin（x+）-（cos（x+）
=1-a-b sin（x++）sin（x++φ）=1-a-b
因为上式对一切的x恒成立，所以=0
∴∴由2a+2bcosc=0得：=-1．略
19. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，直线l的直角坐标方程为．
（1）求曲线C1的极坐标方程；
（2）若曲线C2的极坐标方程为，与直线l在第三象限交于A点，直线l与C1在第一象限的交点为B,求．
参考答案：
（1）
（2）
，
20. 已知无穷数列满足：，，且对于任意，都有，．（1）求的值；
（2）求数列的通项公式．
参考答案：
解：（1）由条件，，
令，得．
又，且，易求得．
再令，得，求得．
（2）∵ (1)
∴ (2)
由(1)-(2)得，
∴
∴
∴，∴数列为常数数列．
∴∴
∴数列为等差数列．
又公差，∴．
略
21. （本题满分14分）已知椭圆两焦点坐标分别为,，一个顶点为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为的直线，使直线与椭圆交于不同的两点，满足. 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
参考答案：
（Ⅰ）设椭圆方程为.则依题意
，，所以
于是椭圆的方程为
……….4分
（Ⅱ）存在这样的直线. 依题意，直线的斜率存在
设直线的方程为，则
由得
因为得……………… ①设，线段中点为，则
于是
因为，所以.
若，则直线过原点，，不合题意.
若，由得，，整理得………………②
由①②知，，所以
又，所以
.
……….14分
22. 已知抛物线C：x2=2py（p＞0），过其焦点作斜率为1的直线l交抛物线C于M、N两点，且
|MN|=16．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D（0，4），若动圆P与x轴交于A、B两点，且
|DA|＜|DB|，求的最小值．
参考答案：
【考点】KO：圆锥曲线的最值问题；K8：抛物线的简单性质；KH：直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）设抛物线的焦点为，则直线，联立方程组，利用韦达定理得到
x1+x2=2p，y1+y2=3p，通过|MN|=y1+y2+p=4p=16，求出p，即可求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设动圆圆心P（x0，y0），A（x1，0），B（x2，0），得到，圆
，令y=0，解得x1=x 0
﹣4，x2=x0+4，求的表达式，推出x0的范围，然后求解的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的焦点为，则直线，
由，得x2﹣2px﹣p2=0…
∴x1+x2=2p，∴y1+y2=3p，
∴|MN|=y1+y2+p=4p=16，∴p=4…
∴抛物线C的方程为x2=8y…
（Ⅱ）设动圆圆心P（x0，y0），A（x1，0），B（x2，0），则，
且圆，令y=0，整理得：，
解得：x1=x0﹣4，x2=x0+4，…，
，…
当x0=0时，，
当x0≠0时，，∵x0＞0，∴，
，∵，
所以的最小值为．…。