【新教材】2.3 全称量词命题与存在量词命题 课件
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例1 判断下列语句是全称命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于360°； 解 可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题. (2)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1； 解 含有全称量词“任意”，故是全称命题. (3)矩形的对角线不相等； 解 可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题. (4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.
类型四 存在量词命题的否定
例4 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x0>1，使 x20－2x0－3＝0； 解 ￢p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假) (2)p：有些素数是奇数； 解 ￢p：所有的素数都不是奇数.(假) (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解 ￢p：所有的平行四边形都是矩形.(假)
必修第一册
2．3 全称量词命题与存在量词命题
问题导学
思考 观察下列命题： (1)所有的质数都是奇数； (2)每一个四边形都有外接圆； (3)任意实数x，x2≥0. 以上三个命题有什么共同特征？ 答案 都使用了表示“全部”的量词，如“所有”、“每一个”、“任意”.
梳理
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
跟踪训练 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； 解 命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实 数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (2)某些平行四边形是菱形； 解 命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边 形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. (3)∃x0，y0∈Z，使得 2x0＋y0＝3. 解 命题的否定是“∀x，y∈Z， 2x＋y≠3”. 当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.
跟踪训练 写出下列全称命题的否定： (1)p：每一个四边形的四个顶点共圆； 解 ￢p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)p：所有自然数的平方都是正数； 解 ￢p：有些自然数的平方不是正数. (3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根； 解 ￢p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根. (4)p：对任意实数x，x2＋1≥0. 解 ￢p：存在实数 x0，使得 x20＋1<0.
达标检测
1.下列命题正确的是 A.∀x∈Z，x4≥1 B.∃x0∈Q，x20＝3
C.∀x∈R，x2－ 2x－1>0
√D.∃x0∈N，|x0|≤0
解析 对于A，如x＝0，不合题意； 对于 B，x＝± 3，错误；
对于C，如x＝0时，－1<0，错误.故选D.
2.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为 _∃__x0_<_0_，__(_1_＋__x_0)_(_1_－__9_x_0)_>_0__.
符号
∀
全称命题
含有全称量词 的命题
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为 形式 “ ∀x∈M，p(x) ”
思考 观察下列命题： (1)有些矩形是正方形； (2)存在实数x，使x>5； (3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0. 以上三个命题有什么共同特征？ 答案 都使用了表示“存在”的量词，如“有些”、“存在”、“至 少有一个”.
梳理
全称命题p
￢p
结论
∀x∈M，p(x)
_∃__x_0_∈___M__，___￢__p__(_x_0_) 全称命题的否定是__存___在___量__词______ 命题
思考 对下列存在量词命题如何否定？ (1)有些四棱柱是长方体； 答案 所有的四棱柱都不是长方体； (2)存在有理数x，使x2－2=0. 答案 所有有理数x，x2－2≠0.
∴不存在 x0∈R，使 2x20＋x0＋1<0. 故该命题是假命题. (2)每一条线段的长度都能用正有理数表示； 解 假命题，如：边长为 1 的正方形的对角线长为 2，它的长度就不是 有理数. (3)存在一个实数 x0，使等式 x20＋x0＋8＝0 成立. 解 假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解.
梳理 存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词 命题
含有 存在量词 的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为 “ ∃x0∈M，p(x0) ”
思考 对下列全称命题如何否定？ (1)所有的正方形都是矩形； 答案 有的正方形不是矩形； (2)对任意实数x，都有x2－2x＋1>0. 答案 存在实数 x0，使 x20－2x0＋1≤0.
梳理 存在量词命题p ∃x0∈M，p(x0)
￢p ∀__x_∈___M__，___￢___p_(_x_)_
结论
存在量词命题的否定是 全称量词 命题
对全称命题与存在量词命题否定时，首先找出命题中的量词，是全称量 词的改为存在量词，是存在量词的改为全称量词，然后再对结论否定.
题型探究
类型一 全称命题与存在量词命题的辨析
解 若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题.
跟踪训练 将下列命题用“∀”或“∃”表示. (1)实数的平方是非负数； 解 ∀x∈R，x2≥0. (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根； 解 ∃x0<0，ax20＋2x0＋1＝0(a<0).
类型二 全称命题与存在量词命题的真假判断 例2 判断下列命题的真假. (1)∃x0∈R，2x20＋x0＋1<0； 解 ∵2x20＋x0＋1＝2x0＋142＋78≥78>0，
√C.∃x0∈R，|x0|＋x20<0
D.∃x0∈R，|x0|＋x20≥0
5.命题“∀x∈R，x>sin x”的否定是_∃__x0_∈__R__，__x0_≤__s_in__x_0_.
规律与方法
1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改 写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否 定，如：将“≥”否定为“<”. 2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改 写成全称量词；第二步，将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定 是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词， 要注意判断.
3.有以下四个命题：
(1)没有男生爱踢足球；(2)所有男生都不爱踢足球；(3)至少有一个男 生不爱踢足球；(4)所有女生都爱踢足球.其中是命题“所有男生都爱 踢足球”的否定是
A.(1)
√C.(3)
B.(2) D.(4)
4.命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是 A.∀x∈R，|x|＋x2<0 B.∀x∈R，|x|＋x2≤0
类型三 全称命题的否定
例3 写出下列全称命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； 解 其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数； 解 其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数. (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； 解 其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在. (4)可以被5整除的整数末位是0. 解 其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
类型四 存在量词命题的否定
例4 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x0>1，使 x20－2x0－3＝0； 解 ￢p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假) (2)p：有些素数是奇数； 解 ￢p：所有的素数都不是奇数.(假) (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解 ￢p：所有的平行四边形都是矩形.(假)
必修第一册
2．3 全称量词命题与存在量词命题
问题导学
思考 观察下列命题： (1)所有的质数都是奇数； (2)每一个四边形都有外接圆； (3)任意实数x，x2≥0. 以上三个命题有什么共同特征？ 答案 都使用了表示“全部”的量词，如“所有”、“每一个”、“任意”.
梳理
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
跟踪训练 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； 解 命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实 数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (2)某些平行四边形是菱形； 解 命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边 形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. (3)∃x0，y0∈Z，使得 2x0＋y0＝3. 解 命题的否定是“∀x，y∈Z， 2x＋y≠3”. 当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.
跟踪训练 写出下列全称命题的否定： (1)p：每一个四边形的四个顶点共圆； 解 ￢p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)p：所有自然数的平方都是正数； 解 ￢p：有些自然数的平方不是正数. (3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根； 解 ￢p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根. (4)p：对任意实数x，x2＋1≥0. 解 ￢p：存在实数 x0，使得 x20＋1<0.
达标检测
1.下列命题正确的是 A.∀x∈Z，x4≥1 B.∃x0∈Q，x20＝3
C.∀x∈R，x2－ 2x－1>0
√D.∃x0∈N，|x0|≤0
解析 对于A，如x＝0，不合题意； 对于 B，x＝± 3，错误；
对于C，如x＝0时，－1<0，错误.故选D.
2.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为 _∃__x0_<_0_，__(_1_＋__x_0)_(_1_－__9_x_0)_>_0__.
符号
∀
全称命题
含有全称量词 的命题
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为 形式 “ ∀x∈M，p(x) ”
思考 观察下列命题： (1)有些矩形是正方形； (2)存在实数x，使x>5； (3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0. 以上三个命题有什么共同特征？ 答案 都使用了表示“存在”的量词，如“有些”、“存在”、“至 少有一个”.
梳理
全称命题p
￢p
结论
∀x∈M，p(x)
_∃__x_0_∈___M__，___￢__p__(_x_0_) 全称命题的否定是__存___在___量__词______ 命题
思考 对下列存在量词命题如何否定？ (1)有些四棱柱是长方体； 答案 所有的四棱柱都不是长方体； (2)存在有理数x，使x2－2=0. 答案 所有有理数x，x2－2≠0.
∴不存在 x0∈R，使 2x20＋x0＋1<0. 故该命题是假命题. (2)每一条线段的长度都能用正有理数表示； 解 假命题，如：边长为 1 的正方形的对角线长为 2，它的长度就不是 有理数. (3)存在一个实数 x0，使等式 x20＋x0＋8＝0 成立. 解 假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解.
梳理 存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词 命题
含有 存在量词 的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为 “ ∃x0∈M，p(x0) ”
思考 对下列全称命题如何否定？ (1)所有的正方形都是矩形； 答案 有的正方形不是矩形； (2)对任意实数x，都有x2－2x＋1>0. 答案 存在实数 x0，使 x20－2x0＋1≤0.
梳理 存在量词命题p ∃x0∈M，p(x0)
￢p ∀__x_∈___M__，___￢___p_(_x_)_
结论
存在量词命题的否定是 全称量词 命题
对全称命题与存在量词命题否定时，首先找出命题中的量词，是全称量 词的改为存在量词，是存在量词的改为全称量词，然后再对结论否定.
题型探究
类型一 全称命题与存在量词命题的辨析
解 若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题.
跟踪训练 将下列命题用“∀”或“∃”表示. (1)实数的平方是非负数； 解 ∀x∈R，x2≥0. (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根； 解 ∃x0<0，ax20＋2x0＋1＝0(a<0).
类型二 全称命题与存在量词命题的真假判断 例2 判断下列命题的真假. (1)∃x0∈R，2x20＋x0＋1<0； 解 ∵2x20＋x0＋1＝2x0＋142＋78≥78>0，
√C.∃x0∈R，|x0|＋x20<0
D.∃x0∈R，|x0|＋x20≥0
5.命题“∀x∈R，x>sin x”的否定是_∃__x0_∈__R__，__x0_≤__s_in__x_0_.
规律与方法
1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改 写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否 定，如：将“≥”否定为“<”. 2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改 写成全称量词；第二步，将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定 是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词， 要注意判断.
3.有以下四个命题：
(1)没有男生爱踢足球；(2)所有男生都不爱踢足球；(3)至少有一个男 生不爱踢足球；(4)所有女生都爱踢足球.其中是命题“所有男生都爱 踢足球”的否定是
A.(1)
√C.(3)
B.(2) D.(4)
4.命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是 A.∀x∈R，|x|＋x2<0 B.∀x∈R，|x|＋x2≤0
类型三 全称命题的否定
例3 写出下列全称命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； 解 其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数； 解 其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数. (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； 解 其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在. (4)可以被5整除的整数末位是0. 解 其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.