广西南宁市宾阳中学2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(文科) 含解析

2015—2016学年广西南宁市宾阳中学高二（下）期末数学试卷（文科)
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．设集合A={1,2｝，则满足A∪B=｛1,2，3}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．8
2．已知复数z=1﹣i,则=（）
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
3．如图是150辆汽车通过某路段时速度的频率分布直方图，则速度在[50,70）的汽车大约有（）
A．120辆 B．90辆C．80辆D．60辆
4．已知点A(﹣1，1)，B（1，2),C（﹣2,﹣1)，D（3，4），则向量在方向上的投影为（）
A．B． C．D．
5．直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°
6．按照程序框图执行，第3个输出的数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
7．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（)
A．90cm2B．129cm2 C．132cm2 D．138cm2
8．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品的概率是（）
A．1 B． C． D．
9．下列函数中，最小值为4的是（）
A．y=log3x+4log x3 B．y=e x+4e﹣x
C．y=sinx+（0＜x＜π）D．y=x+
10．设a=log32，b=2﹣1，c=log56，则( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
11．设P是椭圆=1上一点,F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F1PF2的最小值是( ）
A．﹣ B．﹣1 C． D．
12．已知函数y=f（x)(x∈R）满足：f（x+2）=f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x)=x2，那么方程f（x)=|lgx｜的解的个数为（）A．1个B．8个 C．9个 D．10个
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．
13．在等差数列｛a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13)=24,则此数列的前13项之和为．
14．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．
15．已知函数f（x）=sin2xcos2φ+cos2xsin2φ(φ＞0）的图象关于直线x=对称，则φ 的最小值为．
16．设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C 于A、B两点，O为坐标原点,则△OAB的面积为．
三、解答题：本大题共6小题,共70分．
17．（10分)已知数列｛a n｝是等差数列，a n+1＞a n,a1•a10=160，a3+a8=37．（1)求数列{a n｝的通项公式；
（2）若从数列｛a n}中依次取出第2项，第4项，第8项,第2n项,按原来的顺序组成一个新数列{b n｝,求S n=b1+b2+…+b n．
18．（12分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c,已知•=2,cosB=，b=3，求：
(Ⅰ）a和c的值;
（Ⅱ）cos（B﹣C)的值．
19．（12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=．
（1)求证：AO⊥平面BCD;
（2）求几何体E﹣ACD的体积．
20．（12分）在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中有6人患色盲．
（1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
（2）若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率会是多少？附1：随机变量：K2=
附2：临界值参考表：
P（K2≥x0)0.100。

050。

025
0.100.0050。

001
x02。

706 3.841 5.0246。

6357。

87910.828
21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x2﹣2x+c
（1）求函数f（x)的单调区间;
（2）若对x∈[﹣1，2］，不等式f(x）＜c2恒成立,求c的范围．
22．（12分）已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1)求椭圆的方程;
（2)已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0)与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
2015-2016学年广西南宁市宾阳中学高二（下）期末数学试卷（文
科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．设集合A=｛1，2｝，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）
A．1 B．3 C．4 D．8
【考点】并集及其运算．
【分析】根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1,2｝的子集个数问题,再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．【解答】解:A=｛1，2}，A∪B={1，2,3｝，
则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A=｛1,2}的子集个数问题,
所以满足题目条件的集合B共有22=4个．
故选择答案C．
【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题,同时考查了等价转化思想．
2．已知复数z=1﹣i，则=（)
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】把z代入分式，然后展开化简,分母实数化，即可．
【解答】解：∵z=1﹣i，
∴，
故选B．
【点评】本题考查复数的代数形式的运算，是基础题．
3．如图是150辆汽车通过某路段时速度的频率分布直方图，则速度在［50,70）的汽车大约有（）
A．120辆 B．90辆C．80辆D．60辆
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据直方图中的各个矩形的面积代表频率值,求出频率再计算对应的频数即可．
【解答】解：速度在［50，70）的汽车的频率为
（0。

02+0.04）×10=0.6，
对应的频数为0。

6×150=90，
即速度在[50，70）的汽车大约有90辆．
故选：B．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．
4．已知点A（﹣1，1)，B（1，2),C（﹣2,﹣1），D(3，4),则向量在方向上的投影为（)
A．B． C．D．
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．
【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．
【解答】解：，，
则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，
故选A．
【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．
5．直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心C到已知直线的距离d，由垂径定理及勾股定理求出直线被圆截得的弦长，由弦长等于圆的半径得到三角形ABC 为等边三角形，即可得到直线被圆截得的劣弧所对的圆心角为60°．
【解答】解：过O作OC⊥AB,垂足为点C，
由圆的方程x2+y2=4，得到圆心O的坐标为(0,0)，半径r=2,
∵圆心到直线x+y﹣2=0的距离d=|OC|==，
∴直线被圆截得的弦｜AB｜=2=2，
∴△AOB为等边三角形，即∠AOB=60°，
∴直线被圆截的劣弧所对的圆心角为60°．
故选C
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有:圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，当直线与圆相交时,常常根据垂径定理由垂直得中点，再由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题．
6．按照程序框图执行，第3个输出的数是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】程序框图．
【分析】执行程序框图,依次写出每次循环得到的S，A的值，当S=6
时，不满足条件S≤5,结束．可得第3个输出的数是5．
【解答】解:执行程序框图，有
A=1，S=1
输出1，
S=2,满足条件S≤5，A=3，输出3，
S=3，满足条件S≤5，A=5，输出5，
S=4，满足条件S≤5，A=7,输出7，
S=5，满足条件S≤5，A=9，输出9，
S=6，不满足条件S≤5，结束．
故第3个输出的数是5，
故选：B．
【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．
7．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）
A．90cm2B．129cm2 C．132cm2 D．138cm2
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断
直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长,把数据代入表面积公式计算．
【解答】解:由三视图知:几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,
其中直三棱柱的侧棱长为3,底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，
四棱柱的高为6,底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，
∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+(4+5)×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
8．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品的概率是（）
A．1 B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】根据已知中五件正品,一件次品，我们易得共有6件产品，由此我们先计算出从中任取出两件产品的事件个数，及满足条件“恰好是一件正品,一件次品”的基本事件个数,然后代入古典概型概率公式，可求出答案．
【解答】解：由于产品中共有5件正品，一件次品,故共有6件产品从中取出两件产品共有：C62==15种
其中恰好是一件正品，一件次品的情况共有：C51=5种
故出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率P==
故选C
【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式,计算出满足条件的基本事件总数及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键．
9．下列函数中,最小值为4的是( )
A．y=log3x+4log x3 B．y=e x+4e﹣x
C．y=sinx+(0＜x＜π）D．y=x+
【考点】基本不等式．
【分析】A。

0＜x＜1时，y＜0，即可判断出正误；
B．由e x＞0,利用基本不等式的性质即可判断出正误．
C．令sinx=t∈（0,1)，则y=f（t）=t+，利用导数研究其单调性即可判断出正误．
D．x＜0时，y＜0，即可判断出正误．
【解答】解：A.0＜x＜1时，y＜0，不正确
B．∵e x＞0，∴=4，当且仅当x=ln2时取等号，正确．C．令sinx=t∈(0，1），则y=f（t)=t+，y′=1﹣＜0，因此函数f（t)在（0，1）上单调递减，∴f(t）＞f（1）=5，不正确．
D．x＜0时，y＜0，不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．
10．设a=log32,b=2﹣1，c=log56，则（）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【考点】对数值大小的比较．
【分析】由a=log32＞=,再利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=log32＞=，b=2﹣1=,c=log56＞1,
∴b＜a＜c．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
11．设P是椭圆=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F1PF2的最小值是（）
A．﹣ B．﹣1 C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆的定义，余弦定理，结合基本不等式，即可求cos ∠F1PF2的最小值是
【解答】解：由题意，|PF1|+｜PF2｜=6，｜F1F2|=2
∴cos∠F1PF2==
∵｜PF1｜+｜PF2|=6≥2
∴|PF1||PF2|≤9
∴≥
故选A．
【点评】本题考查椭圆的定义，余弦定理,考查基本不等式，属于基
础题．
12．已知函数y=f（x）（x∈R）满足：f（x+2)=f（x），且当x∈[﹣1，1]时,f（x）=x2,那么方程f(x）=|lgx|的解的个数为（）A．1个B．8个 C．9个 D．10个
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】f(x）是周期为2的周期函数，作出y=f（x）和y=|lgx|两个函数的图象，利用数形结合思想能求出方程f（x）=｜lgx|的解的个数．
【解答】解:函数y=f（x）（x∈R)满足：f(x+2)=f（x）,
∴f（x)是周期为2的周期函数，
∵当x∈[﹣1，1]时,f(x）=x2，
∴作出y=f（x）和y=｜lgx｜两个函数的图象，如下图:
结合图象，得：方程f（x）=|lgx|的解的个数为10个．
故选:D．
【点评】本题考查方程的解的个数的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意二次函数、对数函数的性质及数形结合思想的合理运用．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．
13．在等差数列{a n｝中,3（a3+a5）+2（a7+a10+a13)=24,则此数列的前13项之和为26 ．
【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前n项和．
【分析】在等差数列中，利用“等差中项”的性质与等差数列的求和公式即可解决．
【解答】解：根据题意得：a3+a5=2a4，a7+a10+a13=3a10，
∴a4+a10=4，∴此数列的前13项之和．
故答案为:26．
【点评】本题考查等差数列的性质与求和，重点在于等差中项性质的灵活应用，属于基础题．
14．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为9 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x,将l0平移与可行域有公共点,直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．
【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时,函数z=2x﹣y有最大值9．
【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．
15．已知函数f（x)=sin2xcos2φ+cos2xsin2φ（φ＞0）的图象关于直线x=对称，则φ 的最小值为．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】f(x)=sin2xcos2φ+cos2xsin2φ=sin(2x+2φ）的图象关于直线x=对称,可得2×+2φ=kπ+，即可求出φ 的最小值．
【解答】解：∵f（x）=sin2xcos2φ+cos2xsin2φ=sin(2x+2φ）的图象关于直线x=对称,
∴2×+2φ=kπ+，
∴φ=﹣，
∵φ＞0，∴φ 的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查和角的正弦公式，考查三角函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．
16．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为．【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，
写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程,由根与系数关系得到A,B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=3x，得2p=3，p=，
则F（,0）．
∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），
即x=y+．
联立，得4y2﹣12y﹣9=0．
设A（x1,y1），B（x2,y2），
则y1+y2=3，y1y2=﹣．
∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=×｜y1﹣y2｜
==×=．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题,常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．（10分）（2016春•宾阳县校级期末)已知数列｛a n｝是等差数列，a n+1＞a n，a1•a10=160,a3+a8=37．
(1）求数列{a n}的通项公式;
(2）若从数列｛a n｝中依次取出第2项,第4项，第8项，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列｛b n}，求S n=b1+b2+…+b n．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a n+1＞a n,a1•a10=160，a3+a8=37．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2)b n==3×2n+2．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1)设等差数列{a n｝的公差为d,∵a n+1＞a n，a1•a10=160，a3+a8=37．
∴，化为﹣37a1+160=0，
解得a1=32，或5．
∴（舍去）,．
∴a n=5+3（n﹣1）=3n+2．
（2)b n==3×2n+2．
∴S n=b1+b2+…+b n=3(21+22+…+2n)+2n
=+2n
=3×2n+1﹣6+2n．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．
18．(12分）（2014•辽宁）在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3,求：
（Ⅰ)a和c的值;
（Ⅱ）cos（B﹣C)的值．
【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．
【分析】（Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB 的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式,将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；
（Ⅱ）由cosB的值,利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解:（Ⅰ）∵•=2,cosB=，
∴c•acosB=2，即ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，
∴a2+c2=13②，
联立①②得：a=3，c=2；
(Ⅱ）在△ABC中，sinB===，
由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，
∵a=b＞c，∴C为锐角，
∴cosC===，
则cos（B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
19．(12分）(2016春•宾阳县校级期末)如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求几何体E﹣ACD的体积．
【考点】直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（1）连接OC，由等腰三角形三线合一，可得AO⊥BD,CO ⊥BD，再勾股定理可得AO⊥OC,进而根据线面垂直的判定定理得到AO⊥平面BCD；
（2）根据等积法可得V E﹣ACD=V A﹣CDE,结合（1）中结论,可得AO即为棱锥的高,代入棱锥的体积公式，可得答案．
【解答】证明：（1)连接OC
∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．…（2分）
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中,由已知可得．而AC=2，
∴AO2+CO2=AC2，
∴∠AOC=90°，
即AO⊥OC．…
又AO⊥BD，BD∩OC=O，BD，OC⊂平面BCD
∴AO⊥平面BCD…（7分）
解:(2)∵V E﹣ACD=V A﹣CDE，
在△ACD 中，，
而，…（12分）
∴．…（14分）
【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积公式，熟练掌握空间直线与直线垂直与直线与平面垂直相互之间的转化关系是解答的关键．
20．(12分)（2016春•宾阳县校级期末）在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中有6人患色盲．
（1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
（2)若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率会是多少？附1：随机变量：K2=
附2:临界值参考表：
0.100。

050.0250.100.0050。

001
P(K2≥
x0）
x02。

7063。

8415。

0246。

6357.87910.828
【考点】独立性检验的应用．
【分析】(1)根据调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中有6人患色盲，列出列联表;
（2）代入公式计算得出K2值，结合临界值,即可求得结论．
【解答】解：(1）2×2列联表如下
患色盲不患色盲总计
女性6514520
男性38442480
总计449561000
（2）依据公式得K2=≈27。

139．
由于27。

139＞10。

828，
∴有99。

9％的把握认为色盲与性别是有关的，
∴出错的概率会是0。

001．
【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力,属于基础题．
21．(12分）(2016春•宾阳县校级期末)已知函数f（x）=x3﹣x2﹣2x+c （1）求函数f（x）的单调区间;
（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立,求c的范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出导函数f'（x）=3x2﹣x﹣2=0，得出函数的单调区间即可；（2）可判断函数的最大值在f（﹣）或f（2)取得，得出2+c＜c2，求解即可．
【解答】解：(1）f（x）=x3﹣x2﹣2x+c,
∴f’（x)=3x2﹣x﹣2=(3x+2）（x﹣1)，
令f′(x）＞0，解得：x＜﹣或x＞1，
令f′（x）＜0，解得:﹣＜x＜1，
∴函数在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，1)上递减，在(1，+∞）递增；
（2）由（1)得：函数在x=﹣处取得极大值，
f（﹣)=+c＜f（2)=2+c，
∴在[﹣1，2］上，2+c＜c2,
∴c＜﹣1或c＞2．
【点评】考查了利用导函数判断函数在区间内的最值问题．属于中档题型，应熟练掌握．
22．（12分）（2016•西宁校级模拟）已知椭圆的离心率，过点A(0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1)求椭圆的方程;
（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
【考点】圆与圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程．
【分析】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．
（2）假设存在这样的值．，得(1+3k2）x2+12kx+9=0,再
由根的判别式和根与系数的关系进行求解．
【解答】解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，
依题意可得：,
解得：a2=3，b=1，
∴椭圆的方程为．
（2）假设存在这样的值．
，
得（1+3k2）x2+12kx+9=0，
∴△=(12k）2﹣36(1+3k2)＞0…①，
设C(x1,y1）,D（x2，y2），
则
而y1•y2=（kx1+2）(kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2)+4,
要使以CD为直径的圆过点E（﹣1,0)，
当且仅当CE⊥DE时，
则y1y2+（x1+1)（x2+1）=0,
∴（k2+1）x1x2+（2k+1）(x1+x2）+5=0…③
将②代入③整理得k=,
经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．
【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用,解题时要认真审
题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．。