2020年1月黑龙江佳木斯建三江管理局第一高级中学高2021届高2018级高二第一学期期末考试数学文及参考答案

2019—2020 学年度度 第一学期 期末考试
高中二年级文科数学试题
考试说明：本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

（1） 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,在草稿纸、试题上答题无效。

（3） 保持卡面清洁,不得折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。

一、(1-12 题,每题 5 分共 60 分)
第Ⅰ卷(选择题)
1.已知下面四个命题：
①“若 x2  x  0 ,则 x  0 或 x 1”的逆否命题为“若 x  0 或 x  1,则” x2  x  0
② 残差平方和越大的模型,拟合的效果越好。

③命题 P：存在 x0  R ,使得 x02  x0 1 0 ,则 P ：任意 x  R ,都有 x2  x 1  0
④若 P 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题。

⑤“方程 x2  y2  1表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆”的必要不充分条件是 m＜2 m 6  2m
其中真命题个数为
()
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示的风车图案中,黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成.在图案内随机
取一点,则此点取自黑色部分的概率是
(
)
4.函数 f (x)  x ln x 的单调递减区间是 ( )
(0, 1) A. e
(, 1) B. e
(1 ,1) C. e
(1 , ) D. e
5.甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩如茎叶图所示, x1, x2 分别表示甲、乙两名运动
员这项测试成绩的平均数, s1, s2 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有
(
)
甲
90 6554 1
12
乙
7 3557 3
A． x1＞x2 , s1＜s2
B. x1  x2 , s1＜s2 C. x1  x2 , s1＞s2
D. x1＜x2 , s1＞s2
6.已知椭圆
x2 25

y2 9
=1的右焦点是双曲线
x2 a2

y2 9
=1 的右顶点,则双曲线的渐近线为(
)
A. y=  4 x 5
B. y=  3 x 5
C. y=  3 x 4
D. y=  4 x 3
7.如图所示的程序框图描述的算法称为欧几里得辗转相除法.若输入 m=225,n=135,则输出的 m
的值为( )
1
3
2
1
A.
B.
C.
D.
4
4
3
3
3.某校高中三年级的 300 名学生已经编号为 0,1,……,299 为了了解学生的学习情况,要抽取一个样
本数为 60 的样本,用系统抽样的方法进行抽取,若第 60 段所抽到的编号为 298,则第 1 段抽到的编
号为
A.2
B.3
()
C.4
D.5
A.225
1
B.135
C.45
D.90


8.双曲线 x2  y2 =1 (mn≠0)离心率为 2,其中一个焦点与抛物线 y2＝4x 的焦点重合,则 mn 的值 mn
为
()
A. 3
B. 3
C. 16
D. 8
16
8
3
3
9.若函数
存在单调递增区间,则的取值范围是( )
A.
B.  - 1 ,  e 
C.
-1，- 1e
 
D.
 
-
，- 1 e
 
10.设点
P
是双曲线 x2 a2

y2 b2
 1(a  0,b  0) 与圆 x2

y2
 a2
 b2 在第一象限的交点. F1, F2
分别是双曲线的
左、右焦点,且 PF1  2 PF2 ,则双曲线的离心率为 (
)
A. 5
B. 5 2
C. 10
D. 10 2
15.
已知函数
f
x

x ex
a .若
f
 x 有两个零点,则实数 a
的取值范围是
16.设 F 为抛物线 C：y2=3x 的焦点,过 F 作直线交抛物线 C 于 A、B 两点,O 为坐标原点,SAOF  3SBOF
则 AB=
三、解答题(共 70 分) 17.(本小题满分 10 分)
某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程
n
 
yˆ  bˆx  aˆ ；(相关公式： b 
xi yi
i 1 n
 nx  y

,a 

y bx
)
 xi2  nx 2
i 1
11.若椭圆的中心在原点,一个焦点为 F(0,2) ,直线 y  3x  7 与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标
为 1,则这个椭圆的方程为( )
A. x2  y2  1 16 20
B. x2  y2  1 12 16
C. x2  y2  1 12 8
D. x2  y2  1 8 12
12.已知 f (x) 是定义在区间 (0， ) 上的函数,其导函数为 f (x) ,且不等式 x f (x)  2 f (x) 恒成立,则( )
A. 4 f (1)  f (2)
B. 4 f (1)  f (2)
C. f (1)  4 f (2)
D. f (1)  4 f (2)
二、填空题(13-16 每题 5 分共 20 分)
13. 把 28 化成二进制数为
14. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了100 人,并根据所得数据画出了如图所示的
频率分布直方图,则估计这 100 人的月平均收入为
元.
18.(本小题满分 12 分)
已知函数
,曲线
,
在 处有极值.
求 的解析式.
求
在 上的最小值.
19.(本小题满分 12 分)
2
在点
处的切线方程为


某校为调查高一、高中二年级学生周日在家学习用时情况,随机抽取了高一、高中二年级各 20 人,对他们的学习时间进行了统计,分别得到了高一学生学习时间(单位：小时)的频数分布表和 高中二年级学生学习时间的频率分布直方图.
高一学生学习时间的频数分布表(学习时间均在区间 内)：
合计
学习时间
频数
3
1
8
4
2
2
高中二年级学生学习时间的频率分布直方图：
,其中 0.025 5.024
. 0.010 6.635
0.005 7.879
20.(本小题满分 12 分)
已知抛物线 C ： y2  2 px ( p  0 )的焦点为 F ,点 D2，y0  在抛物线 C 上,且 DF  3 ,直线
y  x 1与抛物线 C 交于 A , B 两点, O 为坐标原点. (1)求抛物线 C 的方程； (2)求VAOB 的面积.
(1)根据高中二年级学生学习时间的频率分布直方图估计该校高中二年级学生学习时间的中位 数；
(2)利用分层抽样的方法,从高一学生学习时间在 , 的两组里随机抽取 6 人,再从这 6 人
中随机抽取 2 人,求学习时间在 这一组中至少有 1 人被抽中的概率；
(3)若周日学习时间不少于 4 小时为学习投入时间较多,否则为学习投入时间较少,依据上述样
本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关,完成 列联表,并判断是否有 的把握认为
学习投入时间多少与学生所在年级有关.
年级
学习投入时间较多
学习投入时间较少
合计
高一
高中二 年级
21.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 椭 圆 的 一 个 顶 点 为 A(0,-1), 焦 点 在 x 轴 上 . 若 右 焦 点 到 直 线
x  y  2 2  0 的距离为 3.
(1)求椭圆的方程;
(2)椭圆与直线 y  kx m (k  0) 相交于不同的两点 M、N.当 AM  AN 时,求 m 的取值范围.
22.(本小题满分
12
分)设函数
f
(x)

ex
,
g(x)

ln
x
-2.(Ⅰ)证明：
g(x)


e x
；
(Ⅱ)若对所有的 x  0 ,都有 f (x)  1  ax ,求实数 a 的取值范围. f (x)
一、(1-12 题,每题 5 分共 60 分)
1-6 BDBABC
7-12 CABADB
高中二年级文科数学(答案)
3


二、填空题(13-16 每题 5 分共 20 分)
13. 11100(2) 14.2400
三、解答题
17.答案.(Ⅰ)如右图
15.
 
0,
1 e
 
16.4
...........................3
n
 (Ⅱ)解： xi yi =6 2+8  3+10 5+12 6=158, i 1

x
=
6

8
10
12

9
,

y
=
2

3

5

6

4
,
4
4
n
 xi2  62  82 102 122  344 ,
i 1

b

158  4 9 4 344  4 92

14 20

0.7
  
a  y b x  4  0.7  9  2.3 ....
故线性回归方程为 y  0.7x  2.3. ..................10
18.答案及解析：解：
,
.
曲线
在点 P 处的切线方程为
,
即
在 处有极值,所以
,
由
得,
所以
,, ...........................6
由知
.
令
,得
,
..................8
当 当 当
又因
时,
；
时,
；
时,
,................10
,所以
. 在区间
上的最小值为
.....................12
19.答案及解析详解：(1)由图可知,学生学习时间在区间 内的频率为
,
设中位数为,则
,解得 ,
即该校高中二年级学生学习时间的中位数为 3.8
.....................2
(2)根据分层抽样,从高一学生学习时间在 中抽取 4 人,从高一学生学习时间在 中抽取 2
人,
设在
这 一 组 中 至 少 有 1 人 被 抽 中 的 事 件 为 ,( 过 程
略) P（A） 3 ......................6 5
(3)
年级
学习投入时间较多
学习投入时间较少
合计
高一
4
16
20
高中二年级
9
11
20
合计
13
27
40
.............................9
....................11 ,没有 的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关.....................12
20 试题解析：(1)∵ D2，y0  在抛物线 C 上,且 DF  3,
∴由抛物线定义得, 2+ p  3 2
4


∴p2
∴所求抛物线 C 的方程为 y2  4x .....................4
(2)由
{
y y
x 2
1 4x
消去 y ,
并整理得, x2  6x 1  0 ,........................6
设 A x1，y1  , B x2 ，y2 ,则 x1  x2  6 , 由(1)知 F 1，0
∴直线 y  x 1过抛物线 y2  4x 的焦点 F , ∴ AB  x1  x2  P  6  2  8 ...........8
又∵点 O 到直线 y  x 1的距离 d  1  2 , .....10 22
∴ VAOB 的面积 S  1 AB d  1 8 2  2 2 ........12
2
22
21(1)依题意可设椭圆方程为
,
则右焦点
,
由题设
,解得
,
故所求椭圆的方程为
(2)设 P 为弦 MN 的中点,
..................4 ,
由
得
∵直线与椭圆相交,
∴
∴
,从而
, ,① ,
∴ 又|AM|=|AN|,
,............8
∴AP⊥MN,则： 把②代入①得
,解得
,即 ,
, ②..............10
由②得
,
解得
；
综上求得 的取值范围是。

..........................12
22
解：令 F(x)

g(x) 
e x

ln
x
2
e x
, F ( x)

1 x

e x2

xe x2
由 F(x)  0  x  e ∴ F(x) 在 (0,e] 递减,在[e, ) 递增,
∴
e F(x)min  F(e)  ln e  2  e  0
∴ F(x)  0 即 g(x)   e 成立. x
…… 5 分
5


(Ⅱ) 记 h(x)  f (x)  1  ax  e x  1  ax , ∴ h(x)  0 在[0, ) 恒成立,
f (x)
ex
h(x)  e x  1  a , ex
∵ h(x)  ex  1  0( x  0) , ex
∴ h(x) 在[0, ) 递增, 又 h(0)  2  a , …… 7 分
∴ ① 当 a  2 时, h(x)  0 成立, 即 h(x) 在[0, ) 递增,
则 h(x)  h(0)  0 ,即 f (x)  1  ax 成立； …… 9 分 f (x)
② 当 a  2 时,∵ h(x) 在[0, ) 递增,且 h(x)min  2  a  0 , ∴ 必存在 t (0, ) 使得 h(t)  0 .则 x (0,t) 时, h(t)  0 ,
即 x (0,t) 时, h(t)  h(0)  0 与 h(x)  0 在[0, ) 恒成立矛盾,故 a  2 舍去. 综上,实数 a 的取值范围是 a  2 . …… 12 分
6









。