2020届高考数学(天津专用)一轮复习考点规范练33 直线、平面平行的判定与性质 含解析

考点规范练33直线、平面平行的判定与性质
一、基础巩固
1.对于空间的两条直线m,n和一个平面α,下列命题中的真命题是()
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,n⊂α,则m∥n
C.若m∥α,n⊥α,则m∥n
D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
2.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
3.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是()
A.平行
B.相交
C.在平面内
D.不能确定
4.平面α∥平面β的一个充分条件是()
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
5.已知平面α和不重合的两条直线m,n,下列选项正确的是()
A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥α
B.如果m⊂α,n与α相交,那么m,n是异面直线
C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
D.如果m⊥α,n⊥m,那么n∥α
6.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:
①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;
②若m∥l,且m∥α,则l∥α;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;
④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.
其中正确命题的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
7.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有
条.
8.如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,则A1D∶DC1的值为.
9.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q
满足条件时,有平面D1BQ∥平面PAO.
10.如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.
(1)求证:MA∥平面BDE.
(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论.
11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1,试探究:在AC上是否存在点F,满足EF∥平面A1ABB1?若存在,请指出点F的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.
二、能力提升
12.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()
A. B. C. D.
13.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:
①没有水的部分始终呈棱柱形;
②水面EFGH所在四边形的面积为定值;
③棱A1D1始终与水面所在平面平行;
④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.
其中正确命题的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
14.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BC⊥AC,∠BAC=,AC=4,M为AA1的中点,点P为BM的中点,Q 在线段CA1上,且A1Q=3QC,则PQ的长度为.
15.如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,
PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(1)证明:CE∥平面PAB;
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
三、高考预测
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,
PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.
(1)求证:平面CMN∥平面PAB;
(2)求三棱锥P-ABM的体积.
考点规范练33直线、平面平行的判定与性质
1.D解析对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误;对C,m与n垂直而非平行,故C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.
2.C解析对于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB ∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.
3.A解析如图,由,
得AC∥EF.
又因为EF⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,
所以AC∥平面DEF.
4.D解析若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,
则a∥α,a∥β,故排除A.
若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.
若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,
则a∥β,b∥α,故排除C.选D.
5.C解析如图(1)可知A错;如图(2)可知B错;如图(3),m⊥α,n是α内的任意直线,都有n⊥m,故D错.∵n∥α,∴n与α无公共点,∵m⊂α,∴n与m无公共点,又m,n共面,∴m∥n,故选C.
6.B解析对①,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,故①正确;对②,直线l 可能在平面α内,故②错误;对③,三条交线除了平行,还可能相交于同一点,故③错误;对④,结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上①④正确.故选B.
7.6解析过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为
E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.
8.1解析设BC1∩B1C=O,连接OD.
∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD=OD,
∴A1B∥OD.
∵四边形BCC1B1是菱形,
∴O为BC1的中点,
∴D为A1C1的中点,则A1D∶DC1=1.
9.Q为CC1的中点解析如图,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QB∥PA.
连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,
所以D1B∥PO.
又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,
所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.
又D1B∩QB=B,
所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.
10. (1)证明如图,记AC与BD的交点为O,连接OE.
因为O,M分别是AC,EF的中点,四边形ACEF是矩形,
所以四边形AOEM是平行四边形,所以AM∥OE.
又因为OE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,
(2)解l∥m.证明如下:
由(1)知AM∥平面BDE,
又AM⊂平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,
所以l∥AM.同理,AM∥平面BDE,
又AM⊂平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,
所以m∥AM,所以l∥m.
11.解法一当AF=3FC时,FE∥平面A1ABB1.
证明如下:在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G,连接AG.
因为B1E=3EC1,所以EG=A1C1.
又因为AF∥A1C1,且AF=A1C1,
所以AF EG,所以四边形AFEG为平行四边形,所以EF∥AG.
又因为EF⊄平面A1ABB1,AG⊂平面A1ABB1,所以EF∥平面A1ABB1.
解法二当AF=3FC时,EF∥平面A1ABB1.
证明如下:在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G,
因为EG∥BB1,EG⊄平面A1ABB1,BB1⊂平面A1ABB1,所以EG∥平面A1ABB1.因为B1E=3EC1,所以BG=3GC,
所以FG∥AB.
又因为AB⊂平面A1ABB1,FG⊄平面A1ABB1,
又因为EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,
所以平面EFG∥平面A1ABB1.
因为EF⊂平面EFG,所以EF∥平面A1ABB1.
12.A解析(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.
∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n ∥CD1.
∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.
∵△B1D1C为正三角形,
∴∠B1D1C=60°,
∴m,n所成的角的正弦值为.
(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,
补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,
所以平面AEF即为平面α,
m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.
因为△AEF是正三角形,
所以∠EAF=60°,
故m,n所成角的正弦值为.
13.C解析由题图,显然①是正确的,②是错误的;
对于③,∵A1D1∥BC,BC∥FG,
∴A1D1∥FG,且A1D1⊄平面EFGH,FG⊂平面EFGH,
∴A1D1∥平面EFGH(水面).
∴③是正确的;
对于④,∵水是定量的(定体积V),
∴S△BEF·BC=V,即BE·BF·BC=V.
∴BE·BF=(定值),即④是正确的,故选C.
14.解析由题意知,AB=8,过点P作PD∥AB交AA 1于点D,连接DQ,则D为AM的中点,PD=AB=4.
又因为=3,
所以DQ∥AC,∠PDQ=,DQ=AC=3,
在△PDQ中,
PQ=-.
15.(1)证明如图,设PA的中点为F,连接EF,FB.
因为E,F分别为PD,PA的中点,
所以EF∥AD,且EF=AD,
又因为BC∥AD,BC=AD,
所以EF∥BC,且EF=BC,
即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF.
因此CE∥平面PAB.
(2)解分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ,
因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,
所以Q为EF中点.
在平行四边形BCEF中,MQ∥CE.
由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.
由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD.
所以AD⊥平面PBN.
由BC∥AD得BC⊥平面PBN,
那么平面PBC⊥平面PBN.
过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.
MH是MQ在平面PBC上的射影,
所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.
设CD=1.
在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=得CE=,
在△PBN中,由PN=BN=1,PB=得QH=,
在Rt△MQH中,QH=,MQ=,
所以sin∠QMH=.
所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.
16.(1)证明∵M,N分别为PD,AD的中点,
∴MN∥PA.
又MN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,
∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,
∴∠ACN=60°.
又∠BAC=60°,∴CN∥AB.
∵CN⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,
∴CN∥平面PAB.
∵CN∩MN=N,CN,MN⊂平面CMN,
∴平面CMN∥平面PAB.
(2)解由(1)知,平面CMN∥平面PAB,∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.由已知得,AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,
∴BC=,
∴三棱锥P-ABM的体积V=V三棱锥M-PAB=V三棱锥C-PAB=V三棱锥P-ABC=×1××2=.。