【推荐精选】2018年高中数学 第二章 数列 2.3 等比数列学案 苏教版选修5

2.3 等比数列
第一课时 等比数列的概念及通项公式
1．等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．通常用字母q 表示．
[点睛] (1)“从第二项起”，也就是说等比数列中至少含有三项； (2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”； (3)“同一常数q ”，q 是等比数列的公比，即q ＝
a n a n －1或q ＝a n ＋1
a n
. 特别注意，q 不可以为零，当q ＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．
2．等比数列的通项公式
首项是a 1，公比是q 的等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q
n －1
.
[点睛] (1)在已知首项a 1和公比q 的前提下，利用通项公式a n ＝a 1q n －1
可求出等比数
列中的任一项；
(2)等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1
，可改写为a n ＝a 1
q
·q n
. 当q ＞0且q ≠1时，这
是指数型函数．
[小试身手]
1．若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________． 解析：∵a 5＝a 1q 4
，而a 1＝5，q ＝－3，∴a 5＝405. 答案：405 预习课本P49～53，思考并完成以下问题
2．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－1
2
，则a 6＝______.
解析：由题知a 6＝a 1q 5
＝32×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－125＝－1.
答案：－1
3．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2
，…是等比数列，则实数a 的取值范围是________． 解析：若数列{a n }是等比数列，则数列中a n ≠0，即a ≠1且a ≠0. 答案：a ≠0且a ≠1
4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4
，则公比q ＝________.
解析：由题意知：q 3
＝a 5a 2＝18，∴q ＝12
.
答案：1
2
[典例] 已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝3，求{a n }的通项公式．
[解] 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0，
a 2＝a 3q ＝2
q
，a 4＝a 3q ＝2q ，
∴2q ＋2q ＝203，解得q ＝1
3
或q ＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，此时a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n
；
当q ＝3时，a 1＝29，此时a n ＝29×3n －1＝2×3n －3
.
[活学活用]
1．在等比数列{a n }中，若a 1＝1
27，a 7＝27，试求a n .
解：由a 7＝a 1q 6，得27＝127·q 6
.
∴q 6
＝272
＝36
.∴q ＝±3. 当q ＝3时，a n ＝a 1q
n －1
＝127
×3n －1＝3n －4
； 当q ＝－3时，a n ＝a 1q n －1
＝127
×(－3)n －1 ＝－(－3)－3
·(－3)n －1
＝－(－3)
n －4
.
故a n ＝3
n －4
或a n ＝－(－3)n －4
.
2．在等比数列{a n }中，已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝1
2，求n .
解：法一：∵a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18， ∴a 1q 2
＋a 1q 5
＝36，
① a 1q 3＋a 1q 6＝18，
②
②①得q ＝12，∴14a 1＋1
32a 1＝36，∴a 1＝128， 而a n ＝a 1q
n －1
，∴12＝128×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1
，∴n ＝9.
法二：∵a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝q (a 3＋a 6)， ∴q ＝
a 4＋a 7a 3＋a 6＝1836＝12，而a 3＋a 6＝a 3(1＋q 3
)， ∴a 3＝
a 3＋a 61＋q 3＝
36
1＋
1
8
＝32. ∵a n ＝a 3q
n －3
，∴12＝32×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －3
，∴n ＝9.
[典例] (1)n n n n n ________．
(2)已知等比数列{a n }的通项公式a n ＝3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1
，且b n ＝a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ，求证{b n }成等
比数列．
[解] (1)由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，
a n
a n －1
＝－1(n ≥2)．
故{a n }是公比为－1的等比数列， 令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3， 故a n ＝3·(－1)
n －1
.
[答案] a n ＝3·(－1)n －1
(2)证明：∵a n ＝3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1
，
∴b n ＝a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫123n －3＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123n －2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123n －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫123n －3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12＋14＝ 214⎝ ⎛⎭
⎪⎫123n －3，
∴b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，当n ＝1时，b 1＝214，∴{b n }是以214为首项，公比为1
8
的等比数列．
[活学活用]
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *
)．
(1)求a 1，a 2；
(2)求证：数列{a n }是等比数列．
解：(1)由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝1
3(a 1－1)，
∴a 1＝－1
2
.
又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14
.
(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－1
2，
所以{a n }是首项为－12，公比为－1
2
的等比数列.
[典例] 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．
[解] [法一 利用通项公式设项] 设这三个数依次为a ，aq ，aq 2
，
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
a ·aq ·aq 2
＝27，
a 2＋a 2q 2＋a 2q 4
＝91.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
aq 3
＝27，
a 2＋q 2＋q 4
＝91，即⎩
⎪⎨⎪⎧
aq ＝3，
a 2＋q 2＋q 4
＝91，
故q 21＋q 2＋q 4＝991
得9q 4－82q 2
＋9＝0， 解得q 2＝9或q 2
＝19，∴q ＝±3或q ＝±13.
若q ＝3，则a ＝1；若q ＝－3，则a ＝－1； 若q ＝13，则a ＝9；若q ＝－1
3
，则a ＝－9.
故这三个数为1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1. [法二 对称设项]
由题意，可设这三个数分别为a
q
，a ，aq ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a q ·a ·aq ＝27，a 2
q 2
＋a 2
＋a 2q 2
＝91，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝3，a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
1q
2＋1＋q 2＝91，
得9q 4－82q 2＋9＝0.解得q 2＝9或q 2
＝19.
∴q ＝±3或q ±1
3
.
故这三个数为1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.
[活学活用]
已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为－3
2
，求这四个数．
解：设这四个数分别为a ，aq ，aq 2
，aq 3
.
则⎩
⎪⎨⎪⎧
a 4q 6＝1， ①aq ＋q ＝－3
2， ②
由①得a 2q 3
＝±1， ③ 由②得a 2q 2(1＋q )2
＝94
，
④
把a 2q 2＝1q 代入④得q 2
－14q ＋1＝0，此方程无解．
把a 2q 2＝－1q 代入④得q 2
＋174q ＋1＝0，
解得q ＝－4或q ＝－1
4.
当q ＝－1
4时，a ＝8；
当q ＝－4时，a ＝－1
8.
所以，这四个数分别是： 8，－2，12，－18或－18，1
2
，－2,8.
层级一 学业水平达标
1．在等比数列中，已知首项为98，末项为13，公比为2
3，则项数n 为________．
解析：由13＝98×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1
⇒n ＝4.
答案：4
2．已知{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝22，则a 3等于________． 解析：由已知得a 4＝a 1q 3
，∴q 3
＝22，即q ＝2， ∴a 3＝a 1q 2
＝1×(2)2
＝2. 答案：2
3．已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________.
解析：∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n q 2
＝5a n q ，化简得，2q 2
－5q ＋2＝0，由题意知，
q >1，∴q ＝2.
答案：2
4．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且a 1＋a 2＋a 3＝21，则该数列的通项公式a n ＝________.
解析：由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝4n －1
.
答案：4
n －1
5．已知数列{a n }是等比数列，a 1，a 2，a 3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a 1，a 2，a 3中任何两个都不在同一列，则a n ＝________(n ∈N *
).
123n 2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2·3
n －1
.
答案：2·3
n －1
6．某单位某年十二月份的产值是同一年一月份产值的m 倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．
解析：由题意知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，设一月份的产值为a 1，则十二月份产值为a 12，设平均增长率为x ，则a 1(1＋x )11
＝ a 12，∵(1＋x )11
＝
a 12a 1
＝m .∴x ＝11m －1.即此年的月平均增长率为
11
m －1.
答案：
11
m －1
7．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1)(n ≥2，n ∈N *
)，这个数列的通项公式是________．
解析：由已知n ≥2时，a n ＝2S n －1； ① 当n ≥3时，a n －1＝2S n －2， ②
①－②整理得
a n
a n －1
＝3(n ≥3)， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，n ＝1，2×3n －2
，n ≥2.
答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，n ＝1，2×3n －2
，n ≥2
8．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________. 解析：∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1. ∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3
，∴q 3
＝－8，q ＝－2.
又a 5>a 2，即a 2q 3
>a 2，
∴a 2<0.而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)<0， ∴a 1＝1.故a n ＝a 1·(－2)n －1
＝(－2)
n －1
.
答案：(－2)
n －1
9．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．
解：设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为b q
，b ，bq ，则有
b q
·b ·bq ＝b 3
＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ， ∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20
2
16＝25.
即所求的四个数分别为12,16,20,25.
10．已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，求
a n .
解：设等比数列{a n }的公比为q .依题意，知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， ∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＋4＝28， ∴a 3＝8，a 2＋a 4＝20，
∴8q ＋8q ＝20，解得q ＝2或q ＝1
2(舍去)． 又a 1＝a 3
q
2＝2，∴a n ＝2n
.
层级二 应试能力达标
1．某公司第一年获得1万元的利润，以后每年比前一年增加30%的利润，如此下去，则该公司第10年获得利润为________万元．(精确到万元)．
(参考数据：1.39
≈10.60,1.310
≈13.78,1.311
≈17.92)
解析：由题意知各年的利润成公比为 1.3的等比数列，首项a 1＝1，则a 10＝1×1.39
≈10.60≈11(万元)．
答案：11万元
2．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n
，则公比为________．
解析：由a n a n ＋1＝16n ，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得q 2
＝16，∴q ＝±4.∵a 1a 2
＝a 2
1q ＝16>0，∴q >0，∴q ＝4.
答案：4
3．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴……如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂________只．
解析：从第一天起，每一天归巢后，蜂巢中的蜜蜂数依次为：6,62,63
，...，这是一个等比数列，首项为6，公比为6，所以第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂66
只．
答案：66
4．在等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________. 解析：设公比为q ，则
a 19＋a 20a 9＋a 10＝q 10＝
b a ，a 99＋a 100a 9＋a 10＝q 90＝(q 10)9
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 9，故a 99＋a 100＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 9(a 9
＋a 10)＝b 9
a
8.
答案：b 9
a
8
5．若等比数列{a n }{a n ∈R}对任意的正整数m ，n 满足a m ＋n ＝a m a n ，且a 3＝22，那么a 12
＝________.
解析：令m ＝1，则a n ＋1＝a n a 1⇒a 1＝q ，a n ＝q n
.因为a 3＝q 3
＝22，所以a 12＝q 12
＝64. 答案：64
6．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为________.
解析：由表格知，第一行构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以第一行第四个数
为52，第五个数为3.第三列构成以2为首项，12为公比的等比数列，所以a ＝12.同理，b ＝516
，c ＝316
，所以a ＋b ＋c ＝1.
答案：1
7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式． 证明：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.
∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .
∴a n ＋1＝2a n .① 又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1， ∴a 1＝－1≠0. 由①式可知，a n ≠0， ∴由
a n ＋1a n
＝2知{a n }是等比数列，a n ＝－2n －1
. 8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N ＋. (1)证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N ＋. 又a 1－1＝1，
所以数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列． (2)由(1)可知a n －n ＝4
n －1
，
于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1
＋n .
第二课时 等比数列的性质
[新知初探]
1．等比中项
若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项．
[点睛] (1)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的
预习课本P54习题T 10～T 12，思考并完成以下问题
前一项与后一项的等比中项．
(2)当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．所以“a ，G ，b 成等比数列”与“G ＝ab ”是不等价的．
(3)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2
＝ab (a ，b 均不为0)”，可以用它来判断或证明三数成等比数列．
(4)利用等比中项法：a 2
n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *，且a n ≠0)可证明{a n }是等比数列． 2．等比数列的性质
(1)若数列{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列．特别地，若{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，则{c ·a n }也是等比数列．
(2)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q .特别地，若m ＋n ＝2t (t ∈N *
)，则
a m ·a n ＝a 2t .
(3)数列{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积． (4)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为q
k ＋1
.
(5)当m ，n ，p (m ，n ，p ∈N *
)成等差数列时，a m ，a n ，a p 成等比数列．
[小试身手]
1.2＋1与2－1两数的等比中项是________．
解析：设等比中项为x ，则x 2
＝(2＋1)(2－1)＝1，即x ＝±1. 答案：±1
2．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6＝________. 解析：由等比数列的性质得a 2·a 6＝a 2
4＝42
＝16. 答案：16
3．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为________． 解析：∵{a n }成等比数列．∴a 4，a 6，a 8成等比数列 ∴a 26
＝a 4·a 8，即a 8＝21
2
7
＝63.
答案：63
4．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________. 解析：∵a 6a 10＝a 2
8，a 3a 5＝a 2
4，∴a 2
4＋a 2
8＝41， 又a 4a 8＝4，
∴(a 4＋a 8)2
＝a 2
4＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：7
等比中项及应用
[典例] 等比数列{a n }的前三项的和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项． [解] 设该等比数列的公比为q ，首项为a 1，因为a 2－a 5＝42，所以q ≠1，由已知，得
⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q ＋a 1q 2
＝168，a 1q －a 1q 4
＝42，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧ a 1＋q ＋q 2
＝168，a 1q
－q
3
＝42.
①②
因为1－q 3
＝(1－q )(1＋q ＋q 2
)， 所以由②除以①，得q (1－q )＝14.
所以q ＝12.所以a 1＝42
12－⎝ ⎛⎭⎪⎫124
＝96.
若G 是a 5，a 7的等比中项， 则应有G 2
＝a 5a 7 ＝a 1q 4
·a 1q 6
＝a 21q 10
＝962
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1210＝9.
所以a 5，a 7的等比中项是±3.
1．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为________． 解析：设等差数列的公差为d (d ≠0)， ∴a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d . ∴(a 1＋2d )2
＝(a 1＋d )(a 1＋5d )． ∴d 2
＋2a 1d ＝0. ∵d ≠0，∴d ＝－2a 1.
∴q ＝
a 1＋2d a 1＋d ＝a 1－4a 1
a 1－2a 1
＝3. 答案：3
2．已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c .
解：由题意，得
⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b ＋
c ＝15， ①a ＋c ＝2b ， ②a ＋
c ＋＝b ＋2， ③
由①②两式，解得b ＝5.
将c ＝10－a 代入③，整理得a 2
－13a ＋22＝0，解得a ＝2，或a ＝11，
故a ＝2，b ＝5，c ＝8或a ＝11，b ＝5，c ＝－1, 经验证，上述两组数都符合题意.
[典例] n (1)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值； (2)若a 2＝2，a 6＝16，求a 10； (3)若a 3＝－2，a 7＝－16，求a 5. [解] (1)∵a 3a 4a 5＝8，∴a 3
4＝8，a 4＝2.
∴a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 2
4·a 2
4·a 4＝32.
(2)∵a 2·a 10＝a 26
，∴a 10＝a 26
a 2＝162
2
＝128.
(3)∵a 3·a 7＝a 2
5，∴a 5＝± a 3a 7＝±4 2. 又∵a 5＝a 3q 2
<0，∴a 5＝－4 2.
1．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29
a 11
的值为________．
解析：由a 3a 5a 7a 9a 11＝243，得a 5
7＝243，
∴a 7＝3.∴a 29
a 11＝a 7·a 11a 11
＝a 7＝3.
答案：3
2．已知数列{a n}是等比数列，且a2a6＝2a4，则a3a5＝________.
解析：∵a2a6＝2a4，
由等比数列的性质可知，a2a6＝a3a5＝a24，
∴a24＝2a4，∴a4＝2，∴a3a5＝4.
答案：4
[典例] 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值．
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
[解] (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，a n，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，
a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{a n}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，∴a n＝a1·q n－1＝13.5×(0.9)n－1.
∴第n年车的价值为a n＝13.5×(0.9)n－1万元．
(2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1≈8.857.
∴用满4年时卖掉时，他大概能得到8.857万元．
某工厂2016年1月的生产总值为a万元，计划从2016年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？
解：设从2016年开始，第n个月该厂的生产总值是a n万元，则a n＋1＝a n＋a n m%，∴a n＋1 a n
＝
1＋m%.
∴数列{a n}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．
∴a n＝a(1＋m%)n－1.
∴2017年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19万元．
层级一 学业水平达标
1．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 1a 7＝________. 解析：由等比数列的性质可得：a 1a 7＝a 2
4＝16. 答案：16
2．已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz ＝________. 解析：由等比中项知y 2
＝3，∴y ＝±3，又∵y 与－1，－3符号相同，∴y ＝－3，
y 2＝xz ，所以xyz ＝y 3＝－3 3.
答案：－3 3
3．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 2
5，a 2＝1，则a 1＝________. 解析：因为a 3·a 9＝2a 2
5＝a 2
6所以q 2
＝2， 因为各项为正数，所以q ＝2， 由a 2＝1，所以a 1＝22
. 答案：
22
4．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n
(n ≥3)，则log 2a 1＋log 2a 3
＋…＋log 2a 2n －1＝________.
解析：∵a 5·a 2n －5＝a 2
n ＝22n
，且a n >0，∴a n ＝2n
， ∵a 2n －1＝2
2n －1
，∴log 2a 2n －1＝2n －1，
∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1 ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n [1＋2n －1]
2
＝n 2
.
答案：n 2
5．在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1
a 10＝________.
解析：a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝
158，a 8a 9＝a 7a 10＝－98，∴1a 7＋1a 8＋1a 9＋1
a 10
＝a 8a 9a 10＋a 7a 9a 10＋a 7a 8a 10＋a 7a 8a 9
a 7a 8a 9a 10
＝
a 8a 9a 10＋a 9＋a 8＋a 7
a 7a 8a 9a 10
＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 7a 10＝15
8－98
＝－53
.
答案：－5
3
6．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 8＋a 9
a 6＋a 7＝________.
解析：由条件知a 3＝a 1＋2a 2，∴a 1q 2
＝a 1＋2a 1q ， ∵a 1≠0，∴q 2
－2q －1＝0.∵q >0，∴q ＝1＋2， ∴
a 8＋a 9a 6＋a 7
＝q 2
＝3＋2 2. 答案：3＋2 2
7．等比数列{a n }中a 1＝2，公比q ＝－2，记Πn ＝a 1·a 2·…·a n (即Πn 表示数列{a n }的前n 项之积)，Π8，Π9，Π10，Π11中值最大的是________．
解析：由a 1＝2，q ＝－2， Πn ＝a 1×a 2×…×a n ＝(a 1)n
q
n n －1
2
.
Π8＝28
(－2)28
＝236
；Π9＝29
(－2)36
＝245
； Π10＝210
(－2)45
＝－255
；Π11＝211
(－2)55
＝－266
； 所以Π8，Π9，Π10，Π11中值最大的是Π9. 答案：Π9
8．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________. 解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3
与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12
可得q 9
＝3，a n －1a n a n
＋1
＝a 31q
3n －3
＝324，因此q
3n －6
＝81＝34＝q 36
，所以n ＝14.
答案：14
9．等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝32
9，且公比q ∈(0,1)．求数列{a n }的通项
公式．
解：因为a 3·a 4＝a 1·a 6＝32
9，又a 1＋a 6＝11，
故a 1，a 6可看作方程x 2
－11x ＋329＝0的两根，
又q ∈(0,1)，所以a 1＝323，a 6＝1
3
，
所以q 5
＝a 6a 1＝132，所以q ＝12
，
所以a n ＝323·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝13·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －6
.
10．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝6，a 3＋a 4＝3，求a 5＋a 6＋a 7＋a 8. 解：因为{a n }为等比数列
所以a 3＋a 4是a 1＋a 2与a 5＋a 6的等比中项，
所以(a 3＋a 4)2
＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)，
所以a 5＋a 6＝
a 3＋a 4
2
a 1＋a 2
＝32
6＝32
， 同理，a 5＋a 6是a 3＋a 4与a 7＋a 8的等比中项， 所以(a 5＋a 6)2
＝(a 3＋a 4)(a 7＋a 8)，
故a 7＋a 8＝
a 5＋a 6
2
a 3＋a 4
＝34
， 所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝32＋34＝9
4
.
层级二 应试能力达标
1．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．
解析：由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
2b ＝a ＋c ，
b 2
＝ac ，
∴2b ＝a ＋b 2a
.即a 2＋b 2
＝2ab .
∴(a －b )2
＝0.∴a ＝b ≠0.∴q ＝b a
＝1. 答案：1
2．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．
解析：由已知得S 1·S 4＝S 2
2，
即a 1·(4a 1－6)＝(2a 1－1)2
，解得a 1＝－12.
答案：－1
2
3.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A
作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.
解析：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，
A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4
·a n ＝
22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14
. 答案：14
4．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________. 解析：∵a 4＋a 7＝2，由等比数列的性质可得，
a 5a 6＝a 4a 7＝－8，
∴a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4， 当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3
＝－12，
则a 1＝－8，a 10＝1， ∴a 1＋a 10＝－7，
当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3
＝－2， 则a 10＝－8，a 1＝1， ∴a 1＋a 10＝－7， 综上可得，a 1＋a 10＝－7. 答案：－7
5．在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则a 10＝________. 解析：由a 4·a 7＝－512，得a 3·a 8＝－512.
由⎩⎪⎨⎪⎧
a 3·a 8＝－512，a 3＋a 8＝124，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 3＝－4，a 8＝128
或⎩⎪⎨⎪⎧
a 3＝128，
a 8＝－4.
(舍去)．
所以q ＝
5a 8
a 3
＝－2.
所以a 10＝a 3q 7
＝－4×(－2)7
＝512. 答案：512
6．已知a ，b ，c 成等比数列，如果a ，x ，b 和b ，y ，c 都成等差数列，则a x ＋c
y
＝________. 解析：设公比为q ，则b ＝aq ，c ＝aq 2
，
x ＝12(a ＋b )＝12
a (1＋q )， y ＝12
(b ＋c )＝12
aq (1＋q )，
所以a x ＋c y ＝ay ＋cx
xy
＝
12a 2q ＋q ＋12
a 2q
2
＋q
14
a 2
q ＋q 2
＝2.
答案：2
7．已知数列{a n }为等差数列且公差d ≠0，{a n }的部分项组成下列数列：ak 1，ak 2，…，
ak n 恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k n .
解：由题设有a 2
k 2＝ak 1ak 3，即a 2
5＝a 1a 17， ∴(a 1＋4d )2
＝a 1(a 1＋16d )，
∴a 1＝2d 或d ＝0(舍去)，∴a 5＝a 1＋4d ＝6d ， ∴等比数列的公比q ＝
ak 2ak 1＝a 5
a 1
＝3. 由于ak n 是等差数列的第k n 项，又是等比数列的第n 项， 故ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝ak 1q
n －1
，∴k n ＝2·3
n －1
－
1.
8．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．
解：∵a 1a 5＝a 2
3，a 3a 7＝a 2
5， ∴由题意，得a 2
3－2a 3a 5＋a 2
5＝36， 同理得a 2
3＋2a 3a 5＋a 2
5＝100，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 3－a 52＝36，a 3＋a 5
2
＝100.
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 3－a 5＝±6，
a 3＋a 5＝10.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 3＝2，
a 5＝8或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 3＝8，
a 5＝2.
分别解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝32，q ＝1
2
.
∴a n ＝2
n －2
或a n ＝26－n
.
第三课时 等比数列的前n 项和
1．等比数列的前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
na 1q ＝，
a 1－q n
1－q
q
S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
na 1q ＝，a 1－a n q
1－q
q
[点睛] 在应用公式求和时，应注意到S n ＝1
1－q
的使用条件为q ≠1，而当q ＝1
时应按常数列求和，即S n ＝na 1.
2．等比数列前n 项和的性质 (1)等比数列{a n }中，若项数为2n ，则
S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1
S 偶
＝q . (2)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…，成等比数列(其中S n ，
S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…，均不为0)．
(3)若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *
)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *
)⇔数列{a n }为等比数列．
[小试身手]
1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝16，则a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝________.
解析：根据a 4＝a 1q 3
＝16，解得q ＝2，所求和即以a 2为首项，公比为4的等比数列求和，
∴a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝
n －
3
.
答案：n
－
3
2．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项的和为________．
解析：a 5＝a 1q 4
＝16， 所以q ＝2，即S 7＝a 1
－q 7
1－q
＝127，
答案：127
3．等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为________．
解析：由S 5＝a 1[1－－
5
]
1－－
＝44，得a 1＝4.
答案：4
4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝________. 解析：由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2
＝S 3·(S 9
－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝3
4
.
答案：3∶4
[典例] 在等比数列{a n }中，
(1)若S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n ； (2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝5
4，求a 4和S 5；
(3)若q ＝2，S 4＝1，求S 8. [解] (1)法一：由S n ＝
a 1
－q n
1－q
，
a n ＝a 1q n －1以及已知条件得⎩⎪⎨
⎪⎧
189＝
a 1－2n
1－2，
96＝a 1·2n －1，
∴a 1·2n ＝192，∴2n
＝192a 1
.
∴189＝a 1(2n
－1)＝a 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫192a 1－1，∴a 1
＝3.
又∵2n －1
＝96
3
＝32，∴n ＝6.
法二：由公式S n ＝a 1－a n q
1－q
及条件得 189＝
a 1－96×2
1－2
，解得a 1＝3，又由a n ＝a 1·q n －1
，
得96＝3·2n －1
，解得n ＝6.
(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q 2
＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩
⎪⎨⎪
⎧ a 1＋q 2＝10，a 1q 3＋q 2
＝54.
①②
∵a 1≠0,1＋q 2
≠0，∴②÷①得，
q 3＝1
8，即q ＝12
，∴a 1＝8.
∴a 4＝a 1q 3
＝8×⎝ ⎛⎭
⎪⎫123＝1，
S 5＝
a 1
－q 5
1－q
＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12
＝312.
(3)设首项为a 1， ∵q ＝2，S 4＝1，∴
a 1
－24
1－2
＝1，即a 1＝1
15
，
∴S 8＝a 1
－q 8
1－q
＝
1
15－28
1－2
＝17.
1－n
1－q 在将已知量表示为最基本元素
[活学活用]
1．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4
3，则{a n }的前10项和等于________．
解析：由3a n ＋1＋a n ＝0得a n ＋1＝－13a n ，所以{a n }是公比为－13的等比数列，由a 2＝－4
3
得
a 1＝4，所以由等比数列前n 项和公式得S 10＝3(1－3－10)．
答案：3(1－3
－10
)
2．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项 公式．
解：由题设知a 1≠0，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1q 2＝2， ①a 1－q 41－q
＝5×a 1－q 2
1－q ， ②
由②得1－q 4
＝5(1－q 2
)，即(q 2
－4)(q 2
－1)＝0. ∵q <1，∴q ＝－1或q ＝－2.
当q ＝－1时，代入①得a 1＝2，此时a n ＝2×(－1)
n －1
，
当q ＝－2时，代入①得a 1＝12，此时a n ＝12×(－2)n －1
.
综上，当q ＝－1时，a n ＝2×(－1)n －1
；
当q ＝－2时，a n ＝12
×(－2)n －1
.
[典例] 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝48，前2n 项和S 2n ＝60，则前3n 项和S 3n ＝________.
[解析] [法一 公式法]
设公比为q ，由已知易知q ≠1，由⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1
－q
n
1－q ＝48，
a
1
－q 2n
1－q
＝60
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
q n ＝14，a 1
1－q ＝64，
所
以S 3n ＝
a 1
－q
3n
1－q
＝
a 1
1－q ·[1－(q n )3
]＝64×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－164＝63. [法二 性质法]
由S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，得(S 2n －S n )2
＝S n ·(S 3n －S 2n )，即(60－48)2
＝48(S 3n
－60)⇒S 3n ＝63.
[答案] 63
1．若等比数列{a n }的公比为1
3，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝60，则{a n }的前100项和为________．
解析：令X ＝a 1＋a 3＋…＋a 99＝60，Y ＝a 2＋a 4＋…＋a 100， 则S 100＝X ＋Y ，
由等比数列前n 项和性质知：Y X ＝q ＝1
3
，
所以Y ＝20，即S 100＝X ＋Y ＝80. 答案：80
2．一个项数为偶数的等比数列{a n }，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．
解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，所有奇数项、偶数项之和分别记作S 奇，S 偶，由题意可知，
S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶．
因为数列{a n }的项数为偶数，所以有q ＝
S 偶S 奇＝1
3
. 又因为a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，所以a 31·q 3
＝64，即a 1＝12，故所求通项公式为a n ＝12×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13n －1
.
[典例] 并以此发展旅
游业，根据计划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1
5，本年度当地旅游业
收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14
.
(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n
的表达式；
(2)到第6年时旅游业收入能否超过投入？
[解] (1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15万元，…，第n 年投入为800×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－15n －1
万元．
所以n 年内的总投入
a n ＝800＋800×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－15＋…＋800×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－15
n －1
＝800⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45n －1
＝4 000⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n .
第一年旅游业收入为400万元，第二年的旅游业收入为400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14万元，…，第n 年的旅游业收入为400×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋14n －1
万元．
所以n 年内的旅游业总收入
b n ＝400＋400×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋14＋…＋400×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋14
n －1
＝400⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋54＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1
＝1 600⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.
(2)a 6＝4 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫456，b 6＝1 600⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫546－1.
因为a 6－b 6＝4 000－4 000⎝ ⎛⎭⎪⎫456－1 600⎝ ⎛⎭⎪⎫546＋1 600＝5 600－4 000⎝ ⎛⎭⎪⎫456－1 600⎝ ⎛⎭
⎪⎫546
<0
所以，到第6年，旅游业收入超过总投入．
对于有些数列应用题，解题的关键在于认真阅读题意，抓住关键，在一次人才招聘会上，A ，B 两家公司分别开出了工资标准：
大学生王明被A ，B 两家公司同时录取，而王明只想选择一家连续工作10年，经过一番思考，他选择了A 公司，你知道为什么吗？
解：如下表所示.
S 10＝12(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝
12[
10×1 500＋
⎦
⎥⎤10×10－1
2×230＝
T 10＝12(b 1＋b 2＋…＋b 10)＝
12×
2 0001－1.05
10
1－1.05
≈301 869(元)
层级一 学业水平达标
1．等比数列{a n }中，q ＝－1
2
， S 5＝11，则a 1，a 5分别为________，________.
解析：S 5＝a 1⎣
⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12
51－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－12＝11⇒a 1＝16，a 5＝a 1·q 4
＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－124＝1.
答案：16 1
2．在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则数列{a n }的前4项和为________． 解析：设等比数列{a n }中的公比为q ，根据题意及等比数列的性质可知：a 5a 2
＝27＝q 3
，所
以q ＝3，所以a 1＝a 2
q
＝3，所以S 4＝
－34
1－3
＝120.
答案：120
3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2
＝________.
解析：由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4
＝0，所以q ＝－2，则S 5
S 2＝
a 1[1－－
5
]1－－a 1[1－－
2
]
1－－
＝－11. 答案：－11
4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 解析：因为等比数列{a n }中，a 1＝1，S 6＝4S 3，所以q ≠1，所以－q 6
1－q
＝
4×
－q 3
1－q ，解得q 3＝3，所以a 4＝1×q 3
＝3.
答案：3
5．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2
－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.
解析：由题意得，a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，由数列是递增数列得，a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝2，代入等比数列的求和公式得S 6＝63.
答案：63
6．在数列{a n }中，对任意自然数n ∈N *
，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n
＝________.
解析：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，∴a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2
n －1
－1)＝2
n －
1
(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝21－1＝1满足上式．∴a n ＝2
n －1
，∴a 2n ＝4
n －1
，∴a 21＋a 2
2＋…＋a 2
n ＝1
＋4＋42
＋…＋4
n －1
＝
－4n
1－4
＝13
(4n
－1)． 答案：13
(4n
－1)
7．等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比
q ＝________.
解析：由题意知：⎩⎪⎨
⎪
⎧
S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，
∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
S 奇＝－80，S 偶＝－160.
∴公比q ＝
S 偶S 奇＝－160
－80
＝2. 答案：2
8．一个项数为奇数的等比数列{a n }中，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1＝________.
解析：设等比数列{a n }共有2k ＋1(k ∈N *
)项，则a 2k ＋1＝192，则S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1
＋a 2k ＋1＝1q (a 2＋a 4＋…＋a 2k )＋a 2k ＋1＝1q S 偶＋a 2k ＋1＝－126
q
＋192＝255，解得q ＝－2，而S 奇＝
a 1－a 2k ＋1q 21－q 2＝a 1－－
2
1－－
2
＝255，解得a 1＝3.
答案：3
9．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，若b 3＝a 3，T 3＝7，求T n .
解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋d ＝2，a 1＋4d ＝8.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝0，
d ＝2，∴a n ＝2n －2.
(2)设各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q (q ＞0)， 由(1)知a 3＝4，∴b 3＝4.又T 3＝7，∴q ≠1.
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
b 1·q 2
＝4，b 1－q 3
1－q
＝7.解得⎩⎪⎨
⎪⎧
q ＝2，
b 1＝1
或⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝－23，
b 1＝9.
(舍去)
∴T n ＝1×
－2n
1－2
＝2n
－1.
10．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b 人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a 套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x 套旧设备．
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？
(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据提供计算时参考：
解：(1)＋4.9‰)10
＝1.05b ， 由题设可知，1年后的设备为
a ×(1＋10%)－x ＝1.1a －x ，
2年后的设备为(1.1a －x )×(1＋10%)－x ＝1.12
a －1.1x －x ＝1.12
a －x (1＋1.1)， …，10年后的设备为
a ×1.110－x (1＋1.1＋1.12＋…＋1.19)
＝2.6a －x ×
－1.1
10
1－1.1
＝2.6a －16x ，
由题设得2.6a －16x 1.05b ＝2·a
b ，
解得x ＝a
32
. ∴每年应更换的旧设备为a
32套．
(2)全部更换旧设备共需12a ÷a
32＝16年．
∴按此速度全部更换旧设备共需16年．
层级二 应试能力达标
1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
＋a ，若{a n }为等比数列，则a ＝________.
解析：a 1＝S 1＝1
2
＋a ，
a 2＝S 2－S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋a －⎝
⎛⎭
⎪⎫12＋a ＝－14
，
a 3＝S 3－S 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123＋a －⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
2＋a ＝－18
. ∵{a n }为等比数列，∴a 2
2＝a 1·a 3，∴a ＝－1. 答案：－1
2．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.
解析：显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1q ·a 1q 3
＝1，a 1－q 3
1－q ＝7，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝4，q ＝1
2
或⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＝9，q ＝－1
3(舍去)，
∴S 5＝
a 1
－q
5
1－q
＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12
＝314.
答案：314
3．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *
)等于________．
解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1
－q
n
1－q
＝
－2n
1－2
＝2
n ＋1
－2.由2
n ＋1
－2≥100，得2
n ＋1
≥102.由于26＝64,27
＝128，则n ＋1≥7，
即n ≥6.
答案：6
4．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝31
32
，则公比q ＝________. 解析：由
S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，则可得S 10－S 5S 5＝－132
.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5
＝－132，q ＝－12
.
答案：－1
2
5．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的
值为________．
解析：由题意可知，q ≠1，∴S n ＝a 1
－q n
1－q
.
又∵S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列， ∴2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2.即2－2q n ＝2－q n ＋1
－q
n ＋2
.
即2＝q ＋q 2
.
∴q ＝－2(q ＝1不合题意舍去)． 答案：－2
6．在等比数列中，已知a 1＋a 2＋a 3＝6，a 2＋a 3＋a 4＝－3，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝________.
解析：由a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝
a 2
＋q ＋q 2
a 1＋q ＋q 2
＝a 2a 1＝q ＝－12，又由a 1＋a 2＋a 3＝6，且q ＝－1
2
，∴a 1＝8，可得a 2＝a 1q ＝8×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－4.∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝S 7－a 1－a 2＝
a 1－q 7
1－q －8－
(－4)＝11
8
.
答案：118
7．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝56，求a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值． 解：法一：∵S 99＝
a 1
－q
99
1－q
＝56，
∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝a 3(1＋q 3
＋q 6
＋…＋q 96
) ＝a 1q
2
－q
333
]1－q
3
＝a 1q 2·
1－q
99
－q ＋q ＋q
2
＝q 21＋q ＋q 2⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤a 1－q
99
1－q ＝41＋2＋4×56＝32.
法二：设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97.
b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98， b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99，
则b 1q ＝b 2，b 2q ＝b 3且b 1＋b 2＋b 3＝56， ∴b 1(1＋q ＋q 2
)＝56， ∴b 1＝
56
1＋2＋4
＝8，
∴b 3＝b 1q 2
＝32.
即a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝32.
8．已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝1
2
，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，
a 6＋S 6成等差数列．
(1)求等比数列{a n }的通项公式；
(2)对n ∈N *
，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n
＋2个数成等差数列，记插入的这3n
个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2
－3q ＋1＝0， 因为q ≠1，所以q ＝1
2
，
所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝1
2n .
(2)b n ＝
a n ＋a n ＋1
2
·3n
＝34×⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n ，
T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32
＝94⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.
第四课时 数列的求和(习题课
)
[典例] 已知数列{c n }：12，24，38，…，试求{c n }的前n 项和．
[解] 令{c n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝112＋214＋318＋…＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋14＋18
＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
＝
n n ＋
2
＋12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝
n n ＋
2
＋1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
.
即数列{c n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n
2＋1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
.
[活学活用]
1．数列{(－1)n
n }的前n 项和为S n ，则S 2 016等于________． 解析：S 2 016＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 015＋2 016)＝1 008. 答案：1 008
2．已知数列{a n }的首项a 1＝3，通项a n ＝2n p ＋nq (n ∈N *
，p ，q 为常数)，且a 1，a 4，a 5
成等差数列．
(1)求p ，q 的值；
(2)求数列{a n }前n 项和S n 的公式．
解：(1)由a 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为a 4＝24
p ＋4q ，
a 5＝25p ＋5q ，且a 1＋a 5＝2a 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1.
(2)由(1)，知a n ＝2n
＋n ，所以S n ＝(2＋22
＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2
n ＋1
－2＋
n n ＋
2
.
[典例] n 12326(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝－log 3a n ，求数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1b n b n ＋1的前n 项和T n . [解] (1)设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，∴q 2
＝19.
由条件可知q >0，故q ＝1
3
.
由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，∴a 1＝1
3.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝1
3
n .。