2021年高三数学第一轮复习课题 抛物线
高三第一轮复习抛物线课件理
特点：对称性、 不变性、可逆性
应用：解决实际问 题，如求抛物线的 顶点、焦点等
注意事项：选择合 适的对称点或对称 直线，避免出现错 误
抛物线在实际生 活中的应用
物理中的抛物线运动
抛物线运动是物体在重力作用下，沿着抛物线轨迹运动的一种运动形式。 抛物线运动的特点是物体在运动过程中，速度、加速度和位移都是变化的。 抛物线运动的应用广泛，如炮弹、火箭、卫星等物体的运动都可以用抛物线运动来描述。 抛物线运动在物理学中具有重要的理论意义和实际应用价值。
抛物线与直线、圆的区别：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其 图像是一条直线；抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
与双曲线的联系与区别
抛物线与双曲线都是二次曲线，具有共同的性质和特点
抛物线是开口向上的曲线，双曲线是开口向下的曲线
抛物线与双曲线的焦点位置不同，抛物线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴 上
抛物线在工程学中的应用： 如桥梁设计、建筑设计等
抛物线在生物学中的应用： 如种群增长、生态平衡等
抛物线与其他曲 线的联系与区别
与直线、圆的关系
抛物线与直线的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其图像是 一条直线。
抛物线与圆的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
抛物线的几何变 换
平移变换
平移变换的定义：将抛物线沿x轴或y轴移动一定距离 平移变换的公式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 平移变换的图形：抛物线沿x轴或y轴移动后的图形 平移变换的应用：解决实际问题，如求抛物线的顶点、对称轴等
伸缩变换
定义：将抛物线沿x轴或y轴进行伸缩变换，得到新的抛物线 伸缩变换公式：x'=kx，y'=ky，其中k为伸缩系数 伸缩变换对抛物线形状的影响：k>1时，抛物线变长；k<1时，抛物线变短 伸缩变换对抛物线顶点的影响：k>1时，顶点向上移动；k<1时，顶点向下移动 伸缩变换对抛物线对称轴的影响：伸缩变换不改变抛物线的对称轴位置
抛物线——高三数学一轮复习课
本堂小结
Instructional design
壹
贰
叁
肆
抛物线的定义
抛物线的标准方程
焦半径公式
最值问题
能根据抛物线的定
义判断动点的轨迹，
并且区别与椭圆、
双曲线的定义
会写抛物线的标准方程， 区分四种抛物线方
也能根据抛物线的标准 程的焦半径公式，
方程写出焦点坐标和准 会应用公式解决问
完成课时作业
相应部分
预习抛物线的
性质
感谢您的观看
business affairs Work camille summary report business affairs
Work report
例3. 已知点 是抛物线C: 2 = 4 上的动点，过点 向 轴作垂线
垂足记为点，若点(3 , 4)，则|| + ||的最小值是( A )
A．2 5－1
B． 5－1
C. 5＋1
D．2 5＋1
变式1. 抛物线 2 = 4上的焦点为，点(4 , 2)，为抛物线上一
点且不在直线上，则∆周长的最小值为 +
变式2.已知为抛物线 2 = 4上的一点，到该抛物线准线的距
离为1 ，到直线 + 2 + 12 = 0的距离为2 ，则1 +2 的最小结
business affairs Work camille summary report business affairs
Work report
一. 由定义判断轨迹
例1. 若动点(, )满足5 ( − 1)2 +( − 2)2 = |3 − 4 + 12|，
则点的轨迹是（ D ）
高考数学一轮复习第七章第七讲抛物线课件
解析：如图 D81，分别过 P，Q 两点作准线 x＝－2p的垂线，
垂足分别为 P1，Q1.分别过 P，Q 两点ห้องสมุดไป่ตู้ x 轴
的垂线，垂足分别为 P2，Q2.准线 x＝－p2交
x 轴于点 D－p2，0.
∵|PP1|＝|PF|＝4，|FP2|＝12|PF|＝2，
图 D81
∴|DF|＝|DP2|－|FP2|＝4－2＝2. ∵|FQ2|＝21|QF|＝12|QQ1|， ∴|DF|＝|QQ1|＋|FQ2|＝23|QF|. ∴32|QF|＝2，|QF|＝43. 答案：34
A.直线 AB 的斜率为 2 6 B.|OB|＝|OF| C.|AB|＞4|OF| D.∠OAM＋∠OBM＜180°
解析：如图 7-7-5，
图 7-7-5 ∵Fp2，0，M(p，0)，且|AF|＝|AM|，
∴A34p， 26p， 由抛物线焦点弦的性质可得 xA·xB＝p42，则 xB＝p3，
则 Bp3，－ 36p，
F0，－p2 y≤0，x∈R
(续表) 准线方程 开口方向
焦半径 通径长
x＝－p2 向右 x0＋p2
x＝p2 向左 －x0＋2p
2p
y＝－p2 向上 y0＋p2
y＝p2 向下 －y0＋2p
【名师点睛】 如图 7-7-1，设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由yy＝ 2＝k4(xx－，1)， 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得 xA·xB＝1，① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得 xA＋1＝2(xB＋1)， 即 xA＝2xB＋1，② 由①②解得 xA＝2，xB＝21， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝29. 答案：B
抛物线课件 高三数学一轮复习
解析：由题意知F(1，0)，设A，B，C的横坐标 分别为x1，x2，x3，
由AF＝13 (AB + AC)，得1－x1＝13(x2－x1＋x3－x1)， 所以x1＋x2＋x3＝3，
由抛物线的定义得|AF|＋|BF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋ 1＋x3＋1＝x1＋x2＋x3＋3＝6.
(2)[2024·广东广州模拟]设动点P在抛物线y＝14x2上，点P在x轴上的射 影为点M，点A的坐标是(2，0)，则|PA|＋|PM|的最小值是___5_－__1__．
题后师说
求抛物线标准方程的常用方法
巩固训练2
(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距
离大1，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x
B．y2＝2x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
答案： C 解析：由题意抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x＝－1 的距离相同，因此－p2＝－1，p＝2，抛物线方程为y2＝4x.故选C.
题后师说
抛物线定义的应用策略
巩固训练1
(1)[2024·辽 宁 辽 阳 模 拟 ] 已 知 抛 物 线 C ： x2 ＝ 2py(p>0) 的 焦 点 为 F ，
M(m，2)在抛物线C上，且|MF|＝4，则p＝( )
A．2
高考数学一轮复习专题训练—抛物线
抛物线考纲要求1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．知识梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下1．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线． (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切．2．顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________． 答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________． 答案 2解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2.4．(2020·全国Ⅰ卷)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9答案 C解析 设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12.又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p2＝12，解得p ＝6.故选C.5．(2020·北京卷)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP答案 B解析 不妨设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，P (x 0，y 0)(x 0>0)，则Q ⎝⎛⎭⎫－p 2，y 0，F ⎝⎛⎭⎫p2，0，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为py 0，又线段FQ 的中点为⎝⎛⎭⎫0，y 02，所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y －y 02＝py 0(x －0)，即2px －2y 0y ＋y 20＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20＝0，又2px 0＝y 20，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上，故选B.6．(2021·昆明诊断)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2,0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________． 答案 [－1,1]解析 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1，因此k 的取值范围是[－1,1]．考点一 抛物线的定义及标准方程1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝－12y 或y 2＝16xB ．x 2＝12y 或y 2＝－16xC ．x 2＝9y 或y 2＝12xD ．x 2＝－9y 或y 2＝－12x答案 A解析 对于直线方程3x －4y －12＝0， 令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 则p2＝3，所以p ＝6， 此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则p2＝4，所以p ＝8， 此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1C ．32D ．2答案 B解析 设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.3．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x . 感悟升华 1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)抛物线焦点到准线的距离为p .2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．考点二 抛物线的几何性质【例1】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．(1,0)D ．(2,0)(2)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时， ∠OF A ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2答案 (1)B (2)A解析 (1)将x ＝2与抛物线方程y 2＝2px 联立，可得y ＝±2p ，不妨设D (2,2p )，E (2，－2p )，由OD ⊥OE ，可得OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x .其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.故选B.(2)过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D (图略)．因为∠OF A ＝120°，所以∠BAF ＝60°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.故选A.感悟升华 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【训练1】 (2021·长春质量监测)过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线与该抛物线交于A ，B 两点，若3|AF |＝|BF |，O 为坐标原点，则|AF ||OF |＝( )A.43 B ．34C ．4D ．54答案 A解析 由题意，知F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线l ：y ＝－p 2. 作AE ⊥l 于点E ，BG ⊥l 于点G ，过点A 作AD ⊥BG 于点D ，交y 轴于点H ，设|AF |＝x ，则|BF |＝3x .由抛物线的定义，知|AE |＝|AF |＝x ，|BG |＝|BF |＝3x ，|AB |＝x ＋3x ＝4x ，|BD |＝3x －x ＝2x ，|FH |＝p －x .由△AHF ∽△ADB ，得|AF ||AB |＝|FH ||BD |，即x 4x ＝p －x 2x ，解得x ＝23p ，所以|AF ||OF |＝23pp 2＝43，故选A.考点三 与抛物线有关的最值问题角度1到焦点与定点距离之和(差)的最值问题【例2】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|P A|＋|PF|的最小值为________；(2)|P A|－|PF|的最小值为________，最大值为________．答案(1)3(2)－2 2解析(1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|P A|＋|PF|＝|P A|＋|PH|，从而最小值为A 到准线的距离为3.(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在F A延长线上时，|P A|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ 2.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|P A|－|PF|有最大值为|AF|＝ 2.故|P A|－|PF|最小值为－2，最大值为 2.感悟升华 1.解决到焦点与定点距离之和的最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题．2．到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取得最值．角度2到点与准线的距离之和的最值问题【例3】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x ＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝ 5.感悟升华 解决到点与准线的距离之和的最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．角度3 动弦中点到坐标轴距离的最短问题【例4】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B ．32C ．1D ．2答案 D解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D. 感悟升华 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解． 角度4 焦点弦中的距离之和的最小问题【例5】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________． 答案 2解析 由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.感悟升华 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值． 角度5 到定直线的距离的最小问题【例6】 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 答案 43解析 法一 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，故切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二 对y ＝－x 2，有y ′＝－2x ，如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝⎛⎭⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.感悟升华 抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值．【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2,1)的距离之和最小，则该点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(－2，－22)D ．(－2,22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________． 答案 (1)A (2)17－1解析 (1)如图，∵y 2＝－4x ，∴p ＝2，焦点坐标为(－1,0)．依题意可知当A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.将y ＝1代入抛物线方程求得x ＝－14，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－14，1.故选A.(2)由题意知，圆C ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1,0)．根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1. 考点四 直线与抛物线的综合问题【例7】 (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解 设直线l 的方程为y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 其中Δ＝144(1－2t )>0，则x 1＋x 2＝－12t －19. 从而－12t －19＝52，得t ＝－78(满足Δ>0)． 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，其中Δ＝4－8t >0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.所以A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1，故|AB |＝4133. 感悟升华 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【训练3】 (2020·汉中模拟)已知点M 为直线l 1：x ＝－1上的动点，N (1,0)，过M 作直线l 1的垂线l ，l 交MN 的中垂线于点P ，记点P 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (k ≠0)与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线l 2的方程．解 (1)由已知可得，|PN |＝|PM |，即点P 到定点N 的距离等于它到直线l 1的距离，故点P 的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝2－km k 2， y 0＝kx 0＋m ＝2k ，即D ⎝⎛⎭⎫2－km k2，2k ，∵直线l 2与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ， ∴|DE |2＝6，且DE ⊥l 2， 从而⎝⎛⎭⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，k DE ·k ＝－1，即⎩⎨⎧2－kmk 2－3＝－2，⎝⎛⎭⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，整理可得⎝⎛⎭⎫2k 2＝2，即k ＝±2，∴m ＝0， 故直线l 2的方程为2x －y ＝0或2x ＋y ＝0.抛物线的几个“二级结论”的应用抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)． 【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A ．4 B ．92C ．5D ．6答案 B[通法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为 y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[优解]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.法二 因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B ．938C ．6332D ．94答案 D[通法]由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝y A ＋y B2－4y A y B＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.[优解]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.【例3】 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6C ．163D ．203答案 C[通法]如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[优解]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 思维升华 解决抛物线的焦点弦问题，应掌握通性通法，活用二级结论，提升数学抽象核心素养.A 级 基础巩固一、选择题1．抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是( )A ．2B ．1C ．12D ．14答案 D解析 抛物线标准方程x 2＝2py (p >0)中p 的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14.故选D.2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) A ．1 B ．12C ．2D ．14答案 D解析 因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14.故选D.3．(2021·河南中原名校联考)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1C ．54D ．74答案 C解析 如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，MM 1⊥l 于点M 1，由抛物线的方程知p ＝12，由抛物线定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，所以点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－p 2＝12×3－14＝54，故选C.4．(2021·衡水调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10 ①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .5．(2021·江西五校协作体联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线相交于点M ，若|MN |＝|AB |，则直线l 的倾斜角为( ) A ．15° B ．30°C ．45°D ．60°答案 B解析 分别过A ，B ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，N ′，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|NN ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |，因为|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.故选B.6．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355B ．2C ．115D ．3答案 B解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.二、填空题7．(2020·新高考山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案163解析 由题意得，抛物线焦点为F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝3x －1，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米．9．(2021·昆明诊断)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为________． 答案 3解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 三、解答题10．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．11．(2021·安徽六校第二次联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A (a,3)，点P 为抛物线C 上的动点．(1)若|P A |＋|PF |的最小值为5，求实数a 的值；(2)设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若∠MOA ＝∠MAO ＝∠AOF ，求△OP A 的面积．解 (1)由题意知F (1,0)，当线段AF 与抛物线C 没有公共点，即a >94时，设点P 在抛物线准线x ＝－1上的射影为D ，则D ，P ，A 三点共线时，|P A |＋|PF |有最小值，为|AD |＝a －(－1)＝5，此时a ＝4； 当线段AF 与抛物线C 有公共点，即a ≤94时，则A ，P ，F 三点共线时，|P A |＋|PF |有最小值，为|AF |＝a －12＋32＝5，此时a ＝－3.综上，实数a 的值为－3或4.(2)因为∠MOA ＝∠MAO ＝∠AOF ，所以MA ∥x 轴且|MO |＝|MA |＝|MP |，设M (t,3)，则P (2t,6)，代入抛物线C 的方程得2t ＝9，于是|MO |＝|MA |＝|MP |＝3132，所以S △OP A ＝12|MA |·|y P |＝9132. B 级 能力提升12．(2021·银川联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，半径为3的圆C 过点O ，F ，且与抛物线的准线l 相切，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 C解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝9.∵半径为3的圆C 过点O ，F ，且与抛物线的准线l 相切， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝9，⎝⎛⎭⎫p 2－a 2＋b 2＝9，3＝a ＋p 2⇒⎩⎨⎧ p 2－a ＝a ，a ＝3－p 2⇒p ＝4.故选C. 13．(2020·贵阳模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在双曲线C ：x 24－y 22＝1的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|OF |＝|PF |，则△PFO 的面积为________．答案 23解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，双曲线C ：x 24－y 22＝1的渐近线方程为x ±2y ＝0， 不妨设P 在渐近线x －2y ＝0上，可设P (2m ，m )，m >0，由|OF |＝|PF |可得2m －12＋m 2＝1，解得m ＝223， 则△PFO 的面积为12|OF |·|y P |＝12×1×223＝23. 14．(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明 设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12. (2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎨⎧ y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12. 因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行， 所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.。
2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§9.5 抛物线(讲解部分)
则x1+x2=12,x1x2=4,
由抛物线定义知|FP|=x1+2,|FQ|=x2+2,
所以 1 + 1 = 1 + 1 = x1 x2 4 = 12 4 = 1 ,故选A.
|FP| |FQ| x1 2 x2 2 x1x2 2(x1 x2 ) 4 4 2 12 4 2
解法二:由题意知k≠0.
(3)定义中定点与定直线的位置关系为:定点F不能在定直线l上.若定点F在 定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线,因此在用抛物线 定义解决动点轨迹问题前,应首先判断定点与定直线的位置关系. 2.抛物线的标准方程 在抛物线中,记焦点F到准线l的距离为p,以抛物线的焦点F到准线l的垂线 段的中点为坐标原点,以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系,可以得到抛物线 的四种不同形式的标准方程y2=±2px,x2=±2py,其中p>0.
1⊥l于点B1,MM1⊥l于点M1,由抛物线的方程知p=12 ,由抛物线定义知|AA1|+|
BB1|=|AF|+|BF|=3,所以点M到y轴的距离为|MM1|-
p 2
=1
2
(|AA1|+|BB1|)-
p 2
=
1 2
×3-
1 = 5 ,故选C.
44
(2)设抛物线的焦点为F.如图所示,作PM⊥l2于点M,PN⊥l1于点N,由抛物线y 2=4x知其准线方程为x=-1,由抛物线定义可知点P到直线l1:x=-1的距离|PN| 等于点P到焦点F的距离|PF|,∴点P到直线l1的距离与点P到直线l2的距离之 和|PM|+|PN|=|PM|+|PF|,当P,M,F三点共线时,|PM|+|PF|取得最小值,为点F
2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第八章 8.8 抛物线 (含解析)
§8.8抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质概念方法微思考1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线．2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则PQ 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，PQ ＝PF ＋QF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A ．2 B.135 C.145 D ．3答案 A解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)． 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 题组三 易错自纠5．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x答案 D解析 由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)． 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p 2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .故选D.6．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线的焦点的距离可以是( ) A.6564 B.54 C.94 D.98答案 AB解析 若抛物线的焦点在x 轴上，则设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，由点A 在抛物线上，得⎝⎛⎭⎫142＝a ，即a ＝116，得y 2＝116x ，由抛物线的定义可知，点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到抛物线焦点的距离为x A ＋164＝1＋164＝6564；若抛物线的焦点在y 轴上，则设抛物线的方程为x 2＝by (b ≠0)，由点A 在抛物线上，得1＝14b ，即b ＝4，得x 2＝4y ，由抛物线的定义可知，点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到抛物线焦点的距离为y A ＋1＝14＋1＝54.7．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________． 答案 [－1,1]解析 Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3,2)，则PB＋PF的最小值为________．答案 4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则P1Q＝P1F.则有PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，即PB＋PF的最小值为4.本例中的B点坐标改为(3,4)，则PB＋PF的最小值为________．答案2 5解析由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵PB＋PF的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴PB＋PF≥BF＝22＋42＝25，即PB＋PF的最小值为2 5.若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．答案32－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝PF－1，所以d1＋d2＝d2＋PF－1.易知d 2＋PF 的最小值为点F 到直线l 的距离， 故d 2＋PF 的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1. 命题点2 求标准方程例2 (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－12y 或y 2＝16x B ．x 2＝12y 或y 2＝－16x C ．x 2＝9y 或y 2＝12x D ．x 2＝－9y 或y 2＝－12x答案 A解析 对于直线方程3x －4y －12＝0， 令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 则p2＝3，所以p ＝6， 此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则p2＝4，所以p ＝8， 此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ， 故选C.思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．跟踪训练1 (1)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________． 答案5解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小，显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.(2)(2019·衡水中学调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x 答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10.①因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.②由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .抛物线的几何性质例3 (1)(2019·广西四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．4 B ．9 C ．10 D ．18 答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2. 由题意可得4＋p2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.(2)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0， 因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得 4y 2－123y －9＝0， 则y A ＋y B ＝33，y A y B ＝－94，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12OF ·|y A －y B |＝12×34×6＝94. 方法二 联立直线方程与抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0， 故x A ＋x B ＝212. 根据抛物线的定义有AB ＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为d ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12AB ·d ＝94. (3)(2020·华中师大附中月考)如图，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则△ABF 的周长的取值范围是________．答案 (8,12)解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，由抛物线定义可得AF ＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为点(2,0)，半径为4，∴△F AB 的周长为AF ＋AB ＋BF ＝x A ＋2＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，∴x B ∈(2,6)，∴6＋x B ∈(8,12)．∴△ABF 的周长的取值范围是(8,12)．思维升华 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练2 (1)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝9，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为( ) A.627 B.1827 C.427 D.227答案 C解析 设P (x 0，y 0)，由抛物线y 2＝4x ，可知其焦点F 的坐标为(1,0)，故PM ＝x 0＋1＝9，解得x 0＝8，故P 点坐标为(8,42)，所以k PF ＝0－421－8＝427. (2)(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点A 是抛物线y ＝14x 2的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF ＝m ·P A ，则m 的最小值为________．答案 22解析 过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得PN ＝PF ，∵PF ＝m ·P A ，∴PN ＝m ·P A ，则PN P A＝m ， 设P A 的倾斜角为α，则sin α＝m ，当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线P A 与抛物线相切，设直线P A 的方程为y ＝kx －1，代入x 2＝4y ，可得x 2＝4(kx －1)，即x 2－4kx ＋4＝0，∴Δ＝16k 2－16＝0，∴k ＝±1，∴m 的最小值为22. 直线与抛物线例4 (2019·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若AF ＋BF ＝4，求l 的方程；(2)若AP →＝3PB →，求AB .解 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由题设可得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋32， 又AF ＋BF ＝4，所以x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 令Δ>0，得t <12， 则x 1＋x 2＝－12(t －1)9. 从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78，即12x －8y －7＝0.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3，代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13， 即A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1，故AB ＝4133. 思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．(4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. ②弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． ③以弦AB 为直径的圆与准线相切．④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．跟踪训练3 (2020·汉中模拟)已知点M 为直线l 1：x ＝－1上的动点，N (1,0)，过M 作直线l 1的垂线l ，l 交MN 的中垂线于点P ，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (k ≠0)与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线l 2的方程．解 (1)由已知可得，PN ＝PM ，即点P 到定点N 的距离等于它到直线l 1的距离，故点P 的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝2－km k 2， y 0＝kx 0＋m ＝2k ，即D ⎝⎛⎭⎫2－km k 2，2k ， ∵直线l 2与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ， ∴DE 2＝6，且DE ⊥l 2，从而⎝⎛⎭⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，k DE ·k ＝－1， 即⎩⎨⎧ 2－km k 2－3＝－2，⎝⎛⎭⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，整理可得⎝⎛⎭⎫2k 2＝2，即k ＝±2，∴m ＝0， 故直线l 2的方程为2x －y ＝0或2x ＋y ＝0.。
高中三年级数学第一轮复习抛物线的定义性质与标准
高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。
它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。
2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：其中为抛物线上任一点。
3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。
4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，，，，，，。
说明：1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
【解题方法指导】例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。
解析：设所求抛物线的方程为或设交点（y1>0）则，∴，代入得∴点在上，在上∴或，∴故所求抛物线方程为或。
例2. 设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。
解析：证法一：由题意知抛物线的焦点故可设过焦点的直线的方程为由，消去得设，则∵∥轴，且在准线上∴点坐标为于是直线的方程为要证明经过原点，只需证明，即证注意到知上式成立，故直线经过原点。
证法二：同上得。
又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。
于是，知三点共线，从而直线经过原点。
证法三：如图，设轴与抛物线准线交于点，过作，是垂足则∥∥，连结交于点，则又根据抛物线的几何性质，∴因此点是的中点，即与原点重合，∴直线经过原点。
高考数学一轮复习第8章解析几何第7讲抛物线
第七讲 抛物线知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等__； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ∉l __． 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质标准 方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝__1__ 准线 方程 __x ＝－p 2____x ＝p 2____y ＝－p 2____y ＝p 2__范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P (x 0,y 0)) |PF |＝__x 0＋p2__|PF |＝__－x 0＋p2__|PF |＝__y 0＋p2__|PF |＝__－y 0＋p2__重要结论抛物线焦点弦的处理规律直线AB 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如图．(1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝p 24． (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ,x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ,即当x 1＝x 2时,弦长最短为2p ． (3)1|AF |＋1|BF |＝2p． (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ,B 在准线上射影的张角为90°． (7)A 、O 、D 三点共线；B 、O 、C 三点共线．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0,准线方程是x ＝－a4．( × ) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2＝p24,y 1y 2＝－p 2,弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ．( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a ．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 69例4)(2021·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( B )A ．9B ．8C ．7D ．6[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x ＝－1．根据题意可得,|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8．3．(2021·河南郑州名校调研)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( B ) A ．－1716B ．－1516C ．716D ．1516[解析] 由抛物线的方程y ＝－4x 2,可得标准方程为x 2＝－14y ,则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－116,准线方程为y ＝116,设M (x 0,y 0),则由抛物线的定义可得－y 0＋116＝1,解得y 0＝－1516．故选B ． 题组三 走向高考4．(2019·课标全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p ＝( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8[解析] ∵抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0, ∴椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0, ∴3p －p ＝p 24,∴p ＝8．故选D ．5．(2020·新课标Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p ＝( C )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,故有：9＋p2＝12⇒p ＝6；故选C ．考点突破·互动探究考点一 抛物线的定义及应用——多维探究 角度1 轨迹问题例1 (1)动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切,且和直线x ＝1相切,则动圆圆心的轨迹是( D ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线[解析] 设动圆的圆心为C ,则C 到定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1的圆心的距离等于r ＋1,而动圆的圆心到直线x ＝1的距离等于r ,所以动圆到直线x ＝2距离为r ＋1,即动圆圆心到定点(－2,0)和定直线x ＝2的距离相等,根据抛物线的定义知,动圆的圆心轨迹为抛物线,所以答案为D ．角度2 到焦点与到定点距离之和最小问题(2)①(2021·河北保定七校联考)已知M是抛物线x2＝4y上一点,F为其焦点,C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心,则|MF|＋|MC|的最小值为(B)A．2 B．3C．4 D．5②(2021·山西运城联考)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F,O为原点,点P是抛物线C的准线上的一动点,点A在抛物线C上,且|AF|＝4,则|P A|＋|PO|的最小值为(B)A．4 2 B．213C．313 D．4 6[解析]①设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1,C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心,所以C的坐标为(－1,2),过M作l的垂线,垂足为E,根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|,所以问题求|MF|＋|MC|的最小值,就转化为求|ME|＋|MC|的最小值,由平面几何的知识可知,当C,M,E在一条直线上时,此时CE⊥l,|ME|＋|MC|有最小值,最小值为|CE|＝2－(－1)＝3,故选B．②由抛物线的定义知|AF|＝y A＋p2＝y A＋2＝4,∴y A＝2,代入x2＝8y,得x A＝±4,不妨取A(4,2),又O关于准线y＝－2的对称点为O′(0,－4),∴|P A|＋|PO|＝|P A|＋|PO′|≥|AO′|＝(－4－2)2＋(0－4)2＝213,当且仅当A、P、O′共线时取等号,故选B．[引申]本例(2)①中,(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值为__2__；最小值为__－2__；(ⅱ)若N为⊙C上任一点,则|MF|＋|MN|的最小值为__2__．角度3到准线与到定点距离之和最小问题(3)已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0,抛物线y2＝8x的准线为l,设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d,则d＋|PC|的最小值为(A)A．41 B．7C．6 D．9[解析]由题意得圆的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4,圆心C的坐标为(－3,－4)．由抛物线定义知,当d＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点间的距离,即d ＋|PC |＝(－3－2)2＋(－4)2＝41．角度4 到两定直线的距离之和最小问题(4)(2021·北京人大附中测试)点P 在曲线y 2＝4x 上,过P 分别作直线x ＝－1及y ＝x ＋3的垂线,垂足分别为G ,H ,则|PG |＋|PH |的最小值为( B )A ．322B ．2 2C ．322＋1D ．2＋2[解析] 由题可知x ＝－1是抛物线的准线,焦点F (1,0),由抛物线的性质可知|PG |＝|PF |,∴|PG |＋|PH |＝|PF |＋|PH |≤|FH |＝|1－0＋3|2＝22,当且仅当H 、P 、F 三点共线时取等号,∴|PG |＋|PH |的最小值为22．故选B ．名师点拨利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线． (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点,看到焦点想准线,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 〔变式训练1〕(1)(角度1)到定点A (0,2)的距离比到定直线l ：y ＝－1大1的动点P 的轨迹方程为__x 2＝8y __． (2)(角度1)(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ,点A (4,3),P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△P AF 周长取最小值时,线段PF 的长为( B )A ．1B ．134C ．5D ．214(3)(角度2)(2021·山西大学附中模拟)已知点Q (22,0)及抛物线y ＝x 24上一动点P (x ,y ),则y ＋|PQ |的最小值是__2__．(4)(角度3)(2021·上海虹口区二模)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1,抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( C )A ．3716B ．115C ．2D ．74[解析] (1)由题意知P 到A 的距离等于其到直线y ＝－2的距离,故P 的轨迹是以A 为焦点,直线y ＝－2为准线的抛物线,所以其方程为x 2＝8y ．(2)求△P AF 周长的最小值,即求|P A |＋|PF |的最小值,设点P 在准线上的射影为D ,根据抛物线的定义,可知|PF |＝|PD |,因此,|P A |＋|PF |的最小值,即|P A |＋|PD |的最小值．根据平面几何知识,可得当D ,P ,A 三点共线时|P A |＋|PD |最小,此时P (94,3),且|PF |＝94＋1＝134,故选B ．(3)抛物线y ＝x 24即x 2＝4y ,其焦点坐标为F (0,1),准线方程为y ＝－1．因为点Q 的坐标为(22,0),所以|FQ |＝(22)2＋12＝3．过点P 作准线的垂线PH ,交x 轴于点D ,如图所示．结合抛物线的定义,有y ＋|PQ |＝|PD |＋|PQ |＝|PH |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1＝3－1＝2,即y ＋|PQ |的最小值是2．(4)直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线,抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ,过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线,和抛物线的交点就是点P ,所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离,所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2,故选C ．考点二 抛物线的标准方程——自主练透例2 (1)过点P (－3,2)的抛物线的标准方程为__y 2＝－43x 或x 2＝92y __．(2)焦点在直线x －2y －4＝0上的抛物线的标准方程为__y 2＝16x 或x 2＝－8y __,准线方程为__x ＝－4或y ＝2__．(3)如图,过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ,B ,C ,若|BC |＝2|BF |,且|AF |＝3,则抛物线的方程为( B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x[解析] (1)设所求抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)． ∵过点(－3,2),∴4＝－2p ·(－3)或9＝2p ·2． ∴p ＝23或p ＝94．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ．(2)令x ＝0,得y ＝－2,令y ＝0,得x ＝4． ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,－2)． 当焦点为(4,0)时,p2＝4,∴p ＝8,此时抛物线方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0,－2)时,p2＝2,∴p ＝4,此时抛物线方程为x 2＝－8y ．∴所求的抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y , 对应的准线方程分别是x ＝－4,y ＝2．(3)如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,分别交准线于点E ,D ,设|BF |＝a ,则由已知得|BC |＝2a ,由定义得|BD |＝a ,故∠BCD ＝30°． 在直角三角形ACE 中,∵|AE |＝|AF |＝3,|AC |＝3＋3a ,2|AE |＝|AC |, ∴3＋3a ＝6,从而得a ＝1．∵BD ∥FG ,∴|BD ||FG |＝|BC ||FC |,即1p ＝23,求得p ＝32,因此抛物线的方程为y 2＝3x ．名师点拨求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法,若焦点位置确定,因为未知数只有p ,所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量．一般焦点在x 轴上的抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)；焦点在y 轴上的抛物线的方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．〔变式训练2〕(1)(2021·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,过点(p,0)且垂直于x 轴的直线与抛物线C 在第一象限内的交点为A ,若|AF |＝1,则抛物线C 的方程为( A )A ．y 2＝43xB ．y 2＝2xC ．y 2＝3xD ．y 2＝4x(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,其上的点P (m ,－3)到焦点的距离为5,则抛物线方程为( D )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y[解析] (1)由题意知x A ＝p ,又|AF |＝x A ＋p 2＝3p 2＝1,∴p ＝23,∴抛物线C 的方程为y 2＝43x ,故选A ．(2)由题意可知抛物线的焦点在y 轴负半轴上,故设其方程为x 2＝－2py (p ＞0),所以3＋p2＝5,即p ＝4,所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ,故选D ．考点三 抛物线的几何性质——师生共研例3 (1)(2021·广西四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为( C )A ．4B ．9C ．10D ．18(2)(2021·四川眉山模拟)点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点,过F 的直线交抛物线C 于A ,B 两点(点A 在第一象限),过A 、B 分别作抛物线C 的准线的垂线段,垂足分别为M 、N ,若|MF |＝4,|NF |＝3,则直线AB 的斜率为( D )A ．1B ．724C ．2D ．247[解析] (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0,准线方程为x ＝－p 2．由题意可得4＋p2＝9,解得p ＝10,所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．故选C ．(2)由抛物线定义知|AM |＝|AF |,|BN |＝|BF |,∴∠AFM ＋∠BFM ＝360°－∠MAF －∠NBF2＝90°,∴∠MFN ＝90°, 又|MF |＝4,|NF |＝3, ∴|MN |＝5,∴p ＝|KF |＝|MF |·|NF ||MN |＝125, 又∠AFM ＝∠AMF ＝∠MFK ,∴k AB ＝tan(180°－2∠MFK )＝－2tan ∠MFK 1－tan 2∠MFK ＝－831－⎝⎛⎭⎫432＝247．故选D ．名师点拨在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．〔变式训练3〕(1)(2021·广东茂名五校联考)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1,0),过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,若|AF |＝4|BF |,则|AB |＝__254__．(2)(2021·湖北荆州模拟)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |＝9,设抛物线的焦点为F ,则直线PF 的斜率为( C )A ．627B ．1827C ．427D ．227[解析] (1)∵p2＝1,∴p ＝2,不妨设直线AB 方程为x ＝my ＋1, A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my ＋1,得y 2－4my －4＝0, ∴y 1y 2＝－4,又|AF |＝4|BF |,∴y 1＝－4y 2, ∴y 2＝－1,从而x 2＝14,∴|BF |＝1＋14＝54,∴|AB |＝5|BF |＝254．(2)设P (x 0,y 0),由抛物线y 2＝4x , 可知其焦点F 的坐标为(1,0), 故|PM |＝x 0＋1＝9,解得x 0＝8, 故P 点坐标为(8,42), 所以k PF ＝0－421－8＝427．故选C ．考点四 直线与抛物线的综合问题——师生共研例4 (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 212－y 24＝1的一个焦点重合,直线y ＝x －4与抛物线交于A ,B 两点,则|AB |等于( B )A ．28B ．32C ．20D ．40(2)(2021·陕西师大附中期中)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点,则弦AB 所在直线的方程是( B )A ．y ＝x －1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－x ＋2D ．y ＝－2x ＋3(3)(2021·湖南五市十校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),直线y ＝x －1与C 相交所得的长为8． ①求p 的值；②过原点O 的直线l 与抛物线C 交于M 点,与直线x ＝－1交于H 点,过点H 作y 轴的垂线交抛物线C 于N 点,求证：直线MN 过定点． [解析] (1)双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0),故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)．因此p ＝8,故抛物线方程为y 2＝16x ,易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．设A 、B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，y ＝x －4，可得x 2－24x ＋16＝0,故x 1＋x 2＝24． 故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝24＋8＝32．故选B ．(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴y 1＋y 2＝2,由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2,知k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2, ∴AB 的方程为y －1＝2(x －1),即2x －y －1＝0,故选B ．(3)①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x －1,消x 可得y 2－2py －2p ＝0,∴y 1＋y 2＝2p ,y 1y 2＝－2p ,∴弦长为1＋12·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2·4p 2＋8p ＝8,解得p ＝2或p ＝－4(舍去),∴p ＝2,②由①可得y 2＝ 4x ,设M ⎝⎛⎭⎫14y 20，y 0, ∴直线OM 的方程y ＝4y 0x , 当x ＝－1时,∴y H ＝－4y 0, 代入抛物线方程y 2＝4x ,可得x N ＝4y 20, ∴N ⎝⎛⎭⎫4y 20，－4y 0, ∴直线MN 的斜率k ＝y 0＋4y 0y 204－4y 20＝4y 0y 20－4, 直线MN 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4⎝⎛⎭⎫x －14y 20,整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1), 故直线MN 过点(1,0)．名师点拨(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要将两方程联立,消元,用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上),可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ,若不过焦点,则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解．〔变式训练4〕(1)(2021·甘肃诊断)直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点,且交抛物线于A ,B 两点,交其准线于C 点,已知|AF |＝4,CB →＝3BF →,则p ＝( C )A ．2B ．43C ．83D ．4(2)(2021·安徽皖南八校模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到直线x －y ＋1＝0的距离为2． ①求抛物线C 的方程；②过点F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,交y 轴于点P ．若|AB →|＝3|BP →|,求直线l 的方程．[解析] (1)过A ,B 分别作准线的垂线交准线于E ,D 两点,设|BF |＝a ,根据抛物线的性质可知,|BD |＝a ,|AE |＝4,根据平行线段比例可知|BD ||AE |＝|CB ||AC |, 即a 4＝3a 3a ＋a ＋4,解得a ＝2, 又|BD ||GF |＝|BC ||CF |,即a p ＝3a 4a, 解得p ＝43a ＝83,故选C ．(2)①由抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),可得焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0,因为焦点到x －y ＋1＝0的距离为2,即⎪⎪⎪⎪p 2＋12＝2,解得p ＝2,所以抛物线C 的方程y 2＝4x ．②由①知焦点F (1,0),设直线l ：y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ,整理得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0,所以x 1＋x 2＝2＋4k2, ① x 1x 2＝1,②又由|AB →|＝3|BP →|,得AB →＝3BP →,可得x 1＝4x 2,③ 由②③,可得x 1＝2,x 2＝12, 代入①,可得2＋4k 2＝52,解得k ＝±22, 所以直线l 的方程为22x － y －22＝0或22x ＋y －22＝0．名师讲坛·素养提升巧解抛物线的切线问题例5 (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p ＝( D )A ．316B ．38C ．233D ．433(2)(2019·新课标Ⅲ,节选)已知曲线C ：y ＝x 22,D 为直线y ＝－12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B ．证明：直线AB 过定点．[解析] (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2,双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0),两点连线的方程为y ＝－p 4(x －2),联立⎩⎨⎧ y ＝－p 4(x －2)，y ＝12p x 2，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0．设点M 的横坐标为m ,易知在M 点处切线的斜率存在,则在点M 处切线的斜率为y ′⎪⎪⎪⎪x ＝m ＝⎝⎛⎭⎫12p x 2′x＝m ＝m p． 又双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0,其与切线平行,所以m p ＝33,即m ＝33p ,代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0,得p ＝433或p ＝0(舍去)． (2)设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12,A (x 1,y 1),则x 21＝2y 1,由于y ′＝x , ∴切线DA 的斜率为x 1,故y 1＋12x 1－t＝x 1, 整理得：2tx 1－2y 1＋1＝0．设B (x 2,y 2),同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0．故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0,即y －12＝tx ． ∴直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12．名师点拨利用导数工具解决抛物线的切线问题,使问题变得巧妙而简单,若用判别式解决抛物线的切线问题,计算量大,易出错．注意：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件,过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．〔变式训练5〕(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),过点M ⎝⎛⎭⎫－p 2，0作C 的切线,则切线的斜率为__±1__． (2)已知抛物线x 2＝8y ,过点P (b,4)作该抛物线的切线P A ,PB ,切点为A ,B ,若直线AB 恒过定点,则该定点为( C )A ．(4,0)B ．(3,2)C ．(0,－4)D ．(4,1)[解析] (1)设斜率为k ,则切线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p 2代入y 2＝2px 中得k 2x 2＋p (k 2－2)x ＋k 2p 24＝0． Δ＝0,即p 2(k 2－2)2－4·k 2·k 2p 24＝0．解得k 2＝1,∴k ＝±1．(2)设A ,B 的坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),∵y ＝x 28,y ′＝x4,∴P A ,PB 的方程y －y 1＝x 14(x －x 1),y －y 2＝x 24(x －x 2),由y 1＝x 218,y 2＝x 228,可得y ＝x 14x －y 1,y ＝x 24x －y 2,∵切线P A ,PB 都过点P (b,4),∴4＝x 14×b －y 1,4＝x 24×b －y 2,故可知过A ,B 两点的直线方程为4＝b4x －y ,当x ＝0时,y ＝－4,∴直线AB 恒过定点(0,－4)．故选C ．。
高考数学一轮总复习课件：抛物线(二)
2．(课本习题改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x
仅有一个公共点，这样的直线有( C )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析 两条切线，另一条平行于对称轴．
3．(2020·辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条
【解析】 设斜率为k，则切线为y＝k x＋p2 ，代入y2＝2px 中，得k2x2＋p(k2－2)x＋k24p2＝0.
Δ＝0，即p2(k2－2)2－4·k2·k24p2＝0.解得k2＝1，∴k＝±1.
(2)(2021·河南新乡市模拟)若抛物线x2＝ay(a≠0)的准线与抛
物线y＝－x2－2x＋1相切，则a＝( B )
＝2.故选C.
5．(2021·湖南长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛
物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆
的位置关系为( B )
A．相离
B．相切
C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心
解析 设圆心为M，过点A，B，M分别作准线l的垂线，垂
足分别为A1，B1，M1(图略)，则|MM1|＝
【证明】 (1)∵y2＝2px(p>0)的焦点为Fp2，0， 当k不存在时，直线方程为x＝p2. 这时y1＝p，y2＝－p，则y1y2＝－p2，x1x2＝p42.
当k存在时，设直线方程为y＝kx－p2(k≠0)． 由y＝kx－p2，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.①
y2＝2px ∴y1y2＝－p2，x1x2＝（y41py22）2＝p42. 因此，总有y1y2＝－p2，x1x2＝p42成立．
斜角为
π 6
的直线交C于A，B两点．若线段AB中点的纵坐标为
2021年高考数学一轮复习 第二讲 抛物线讲练 理 新人教A版
2021年高考数学一轮复习 第二讲 抛物线讲练 理 新人教A 版一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．二、抛物线的标准方程与几何性质抛物线的焦半径抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0的距离|PF |＝x 0＋p2.基础自测1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78D ．0 【解析】 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.【答案】 B2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x 【解析】 因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x . 所以选B. 【答案】 B3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2【解析】 设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由题意知p2＋2＝4，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝－8y ， ∴m 2＝16，∴m ＝±4. 【答案】 C4．双曲线x 23－16y 2p2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________．【解析】 双曲线的左焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 216，0，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴－3＋p 216＝－p2，∴p 2＝16， 又p ＞0，则p ＝4. 【答案】 4 5．(xx·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 【答案】 B6．(xx·北京高考)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________．【解析】 ∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∴准线方程为x ＝－p2.又抛物线焦点坐标为(1,0)，故p ＝2，准线方程为x ＝－1.【答案】 2 x ＝－1考点一 抛物线的定义及标准方程 例 (1)设圆C 与圆C ′：x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆（2）(xx·山东高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：(1)设圆C 的半径为r ，又圆x 2＋(y －3)2＝1的圆心C ′(0,3)，半径为1. 依题意|CC ′|＝r ＋1，圆心C 到直线y ＝0的距离为r ， ∴|CC ′|等于圆心C 到直线y ＝－1的距离(r ＋1)． 故圆C 的圆心轨迹是抛物线．(2)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为|3×0±p2|2＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .方法技巧 若Px 0，y 0为抛物线y 2＝2px p ＞0上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A x 1，y 1，B x 2，y 2，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.跟踪练习 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x【解析】 由抛物线方程知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴直线l 为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4， 与y 轴交点A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2.∴S △OAF ＝12|OA |·|OF |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＝a216＝4. ∴a ＝±8，∴抛物线方程为y 2＝±8x . 【答案】 B考点二 抛物线的几何性质例 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，当x ＝p2时，y 2＝p 2，∴|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6，又点P 到AB 的距离始终为6，∴S △ABP ＝12×12×6＝36.跟踪练习（2011辽宁）已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.答案：C考点三 直线与抛物线位置关系例 (xx·陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．【思路点拨】 (1)利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．图①【尝试解答】 (1)如图①，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |. 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝x 2＋42又|O 1A |＝x －42＋y 2， ∴x －42＋y 2＝x 2＋42.化简得，y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .图②(2)证明：如图②，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0. 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2，① x 1x 2＝b2k2.②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， ∴2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③并整理得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线过定点(1,0)．,规律方法3 解决抛物线与直线的相交问题，一般采取下面的处理方法：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程2m ≠0 Δ＞0 直线与抛物线有两个公共点Δ＝0 直线与抛物线只有一个公共点Δ＜0 直线与抛物线没有公共点m ＝0 直线与抛物线只有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴跟踪练习 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解】 (1)将A (1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0. T426499 6783 枃32134 7D86 綆_34813 87FD 蟽31857 7C71 籱23204 5AA4 媤26330 66DA 曚33558 8316 茖j29624 73B8 玸@32303 7E2F 縯。
抛物线课件高三数学一轮复习
＝0，解得 p ＝－42（舍去）或 p ＝6.故选C.
法二
根据抛物线的定义及题意得，点 A 到 C 的准线 x ＝－ 的距离为
2
12，因为点 A 到 y 轴的距离为9，所以 ＝12－9，解得 p ＝6.故选C.
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. （2024·全国乙卷13题）已知点 A （1， 5 ）在抛物线 C ： y 2＝2 px
1｜≥3，故点 M 到 x 轴的距离 d ≥2，故最短距离为2.
目录
高中总复习·数学（提升版）
抛物线的标准方程与几何性质
【例3】 （1）已知 F 为抛物线 C ： y 2＝2 px （ p ＞0）的焦点，过 F
作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 M ， N 两点，以 MN 为直径的圆交 y 轴
于 C ， D 两点，且｜ CD ｜＝3，则抛物线方程为（
上，则 A 到 C 的准线的距离为
9
4
.
解析：∵点 A （1， 5 ）在抛物线 y 2＝2 px 上，∴5＝2 p ，得 p ＝
5
5
9
，∴点 A 到准线的距离为 xA ＋ ＝1＋ ＝ .
2
2
4
4
目录
高中总复习·数学（提升版）
直线与抛物线的位置关系
【例4】 （多选）（2024·新高考Ⅱ卷10题）设 O 为坐标原点，直线 y
2. 抛物线性质的应用技巧
（1）利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程
化成标准方程；
（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性Байду номын сангаас简化运算.
目录
高中总复习·数学（提升版）
高考数学一轮复习全套课时作业8-8抛物线(一)
作业8.8抛物线（一）一、单项选择题1．(2021·南昌市一模)抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离是()A．2B．1 C.12D.1 42．若抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标是(0，1)，则a＝()A．1 B.12C．2 D.143．抛物线y＝4x2关于直线x－y＝0对称的抛物线的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－116C．x＝－1D．x＝－1164．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－43B．－1C．－34D．－125．(2021·云南昆明市高三三诊)已知F为抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，点P为抛物线上一点，以线段PF为直径的圆与x轴相切于点M，且满足|MF|＝|PM|，|PF|＝2，则p的值为()A．4B．3C．2D．16．(2021·青海西宁市高三复习检测)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为()A．3B．4C．5 D.2＋17．(2016·课标全国Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．88．(2021·福建厦门第二次质量检查)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与曲线C交于A，B 两点，|AB|＝6，则AB中点到y轴的距离是()A．1B．2C．3D．49．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足FA→＋FB→＋FC→＝0，则1k AB＋1k BC＋1k CA＝()A．0B．1C．2D．2p10．(2021·南昌市二模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，P是抛物线上一点，若|PF|＝5，则△PKF的面积为()A．4B．5C．8D．10二、多项选择题11．(2021·沧州七校联考)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程可以是()A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x12．(2021·山东菏泽一模)已知直线l过抛物线C：y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于M，N两点．若线段MN 的长是16，MN 的中点到y 轴的距离是6，O 是坐标原点，则()A ．抛物线C 的方程是y 2＝－8xB ．抛物线C 的准线方程是y ＝2C ．直线l 的方程是x －y ＋2＝0D ．△MON 的面积是82三、填空题与解答题13．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF|＝________．14．(2021·九师联盟)已知F 为抛物线C ：y 2＝x 的焦点，点A ，B 在抛物线上，且分别位于x 轴的上、下两侧，若△BFO 的面积是12(O 为坐标原点)，且OA →·OB →＝12，则直线AB 的斜率是________．15．抛物线y 2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．16．(2021·湖北恩施一中开学考)长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴距离的最小值是________．17．(2021·南宁市模拟)已知点A(－1，0)，B(1，0)，过点A 的直线与抛物线y 2＝4x 相交于P ，Q 两点．若点P 为AQ 中点，则|PB||QB|＝________．18．(2021·哈尔滨市三中模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是抛物线C 上的两个动点，若x 1＋x 2＋2＝2|MN|，则∠MFN 的最大值为________．19．(2018·上海春季高考题)利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O ，A ，B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC ⊥AB 于C ，AB ＝3米，OC ＝4.5米．(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB ，DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的正弦值(精确到0.001)．作业8.8抛物线（一）参考答案1．答案D解析抛物线标准方程x 2＝2py(p>0)中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14，故选D.2．答案D解析因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，则有14a ＝1，a ＝14，故选D.3．答案D解析抛物线x 2＝14y 的准线方程为y ＝－116，关于x ＝y 对称的准线方程x ＝－116为所求．4．答案C解析由已知得，抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，且过点A(－2，3)，故－p2＝－2，则p ＝4，F(2，0)，则直线AF 的斜率k ＝3－0－2－2＝－34.故选C.5．答案C 解析如图所示，设线段PF 的中点为点N ，由题意可知，圆N 与x 轴相切于点M ，则MN ⊥x 轴，又∵|MF|＝|PM|，N 为PF 的中点，∴MN ⊥PF ，∴PF ∥x 轴，由于|PF|＝2，则点P 的坐标代入抛物线方程得2p·p2＝4，即p 2＝4，∵p>0，解得p ＝2.故选C.6．答案A解析N 恰好为抛物线的焦点，|PN|等于点P 到准线的距离，要想|PQ|＋|PN|最小，过圆心(3，1)作抛物线y 2＝4x 的准线x ＝－1的垂线交抛物线于点P ，交圆于Q ，则|PQ|＋|PN|的最小值等于圆心(3，1)到准线x ＝－1的距离减去半径，即|PQ|＋|PN|的最小值为4－1＝3.7．答案B解析由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取－p 2，设O 为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，故选B.8．答案B解析由y 2＝4x ，得F(1，0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AF|等于点A 到准线x ＝－1的距离x 1＋1；同理，|BF|等于点B 到准线x ＝－1的距离x 2＋1.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝6，得x 1＋x 2＝4，AB 中点横坐标为x 0＝x 1＋x 22＝2，所以AB 中点到y 轴的距离是|x 0|＝2，故选B.9．答案A解析设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，1－p 2，y 2－p 2，3－p 2，(0，0)，故y 1＋y 2＋y 3＝0.∵1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p （y 22－y 12）y 2－y 1＝y 2＋y 12p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 3＋y 12p ，∴1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝2（y 1＋y 2＋y 3）2p＝0.10．答案A解析由抛物线y 2＝4x ，知p2＝1，则焦点F(1，0)．设点|PF|＝55，解得y 0＝±4，所以S △PKF ＝12×p ×|y 0|＝12×2×4＝4，故选A.11．答案BD解析方法一：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x 0＋p 2＝5，则x 0＝5－p2.又点F MF 为直径的圆的方程为(x －x 0(y －y 0)y ＝0.将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即y 022－4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.由y 02＝2px 0，得16＝p ＝2或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.方法二：由已知得抛物线的焦点A(0，2)，抛物线上点M(x 0，y 0)，则AF →AM →＝y 0－由已知，得AF →·AM →＝0，即y 02－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，由抛物线定义可知，|MF|＝8p ＋p2＝5.又p>0，解得p ＝2或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.12．答案AD解析本题考查直线与抛物线的位置关系．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，根据抛物线的定义，知|MN|＝－(x 1＋x 2)＋p ＝16.又MN 的中点到y 轴的距离为6，∴－x 1＋x 22＝6，∴x 1＋x 2＝－12，∴p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝－8x ，故A 正确；抛物线C 的准线方程是x ＝2，故B 错误；设直线l 的方程是x ＝my －2，联2＝－8x ，＝my －2，消去x 得y 2＋8my －16＝01＋y 2＝－8m ，1·y 2＝－16，∴x 1＋x 2＝－8m 2－4＝－12，解得m ＝±1，故直线l 的方程是x －y ＋2＝0或x ＋y ＋2＝0，故C 错误；抛物线C 的焦点为F(－2，0)，S △MON ＝12·|OF|·|y 1－y 2|＝12×2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝64＋64＝82，故D 正确．故选AD.13．答案43解析设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝233.设P(x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF|＝|PA|＝y 0＋1＝43.14．答案－13解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由抛物线y 2＝x 得S △BFO ＝12×14×(－y 2)＝12，得y 2＝－4，则x 2＝16，由OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝16x 1－4y 1＝12，得4x 1－y 1＝3，又y 12＝x 1，结合y 1>0，解得y 1＝1，x 1＝1，所以直线AB 的斜率是－13.15．答案y 2＝4x解析设抛物线y 2＝2px(p>0)的内接直角三角形为Rt △AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，则另一直角边所在直线方程为y ＝－12x.＝2x ，2＝2px ，可得点A＝－12x ，2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p)．∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝513，p (64p 2＋16p 2)＝325.∴p ＝2，∴所求的抛物线方程为y 2＝4x.16．答案34解析设抛物线y 2＝x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B ，M 在l 上的射影分别为点C ，D ，N ，连接AC ，BD ，MN ，如图．由梯形的中位线定理，可得|MN|＝12(|AC|＋|BD|)．连接AF ，BF ，根据抛物线的定义得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|.根据平面几何知识，可得|AF|＋|BF|≥|AB|，当且仅当点F 在AB 上时取等号，∴|AC|＋|BD|≥|AB|＝2，∴|MN|＝12(|AC|＋|BD|)≥12|AB|＝1.设点M 的横坐标为a ，抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14，则|MN|＝a ＋14≥1，解得a ≥34.因此，当且仅当线段AB 为经过抛物线焦点的弦时，AB 的中点M 到y 轴的距离最小，最小值为34.17．答案12解析易知抛物线y 2＝4x 的焦点为B ，准线为x ＝－1.分别作点P ，Q 到准线的垂线段，垂足分别为点D ，C.根据抛物线的定义，有|PB|＝|PD|，|QB|＝|QC|，因为PD ∥QC ，且P 为AQ 中点，所以PD 是△AQC 的中位线，|PD|＝12|QC|，即|PB|＝12|QB|.故|PB||QB|＝12.18．答案π3解析抛物线C ：y 2＝4x 的准线方程为：x ＝－1，所以由已知x 1＋x 2＋2＝2|MN|，得|MF|＋|NF|＝2|MN|，因为cos ∠MFN ＝|MF|2＋|NF|2－|MN|22|MF|·|NF|＝34（|MF|2＋|NF|2）－12|MF|·|NF|2|MF|·|NF|≥34×2|MF|·|NF|－12|MF|·|NF|2|MF|·|NF|＝|MF|·|NF|2|MF|·|NF|＝12，因为∠MFN ∈(0，π)，所以∠MFN ，π3，因此∠MFN 的最大值为π3.19．答案(1)14(2)0.167解析(1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为y 轴，建系．∴B(1.5，－4.5)．设抛物线方程为x 2＝－2py(p>0)．点B(1.5，－4.5)在抛物线上．∴p ＝14.∴焦点到准线的距离为14.(2)如图，∵C 为DE 中点，OC ∥SD ，∴O 为SE 中点．∵SC ⊥DE ，OC ＝4.5，∴SE ＝2OC ＝9.∵DE ＝AB ＝3，∴CE ＝1.5.∴sin ∠CSE ＝CE SE ＝1.59≈0.167.∴圆锥的母线与轴的夹角的正弦值均为0.167.。
2021届高中数学一轮复习抛物线课件(15张PPT)
子，可得 x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4k（k y1＋y2）＝－8k＋8
＝0.所以 kBM＋kBN＝0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，所以 ∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.
栏目 导引
第九章 平面解析几何
课堂小结
知识小结： 1.抛物线的定义 2.抛物线的标准方程 3.抛物线的几何性质 4.直线和抛物线的位置关系
C.
D.
栏目 导引
(2) 如 图 ， 过 抛 物 线
，若
，且
第九章 平面解析几何
的焦点 的直线依次交抛物线及准线于点 ，则抛物线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
栏目 导引
对点训练 1： （1）已知抛物线
第九章 平面解析几何
的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线
与抛物线 的一个交点，若
，则
（）
A.
B.
C.
D.
（2）设抛物线
的焦点为 ，点 在 上，若以
圆过点 ，则抛物线 的方程为（
）
为直径的
A.
B.
C.
D.
栏目 导引
第九章 平面解析几何
例 2 已知 为抛物线
的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ，直
线 与 交于 两点，直线 与 交于
（）
A. 16
B. 14
C. 12 D.10
两点，则
的最小值为
所以∠ABM＝∠ABN.
当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1>0，x2>0. 由yy＝2＝k2（x x－2），得 ky2－2y－4k＝0， 可知 y1＋y2＝2k，y1y2＝－4. 直线 BM，BN 的斜率之和为 kBM＋kBN＝x1y＋1 2＋x2y＋2 2＝x2（y1＋x1x＋1y22）＋（2（x2y＋1＋2）y2）.① 将 x1＝yk1＋2，x2＝yk2＋2 及 y1＋y2，y1y2 的表达式代入①式分
9.7抛物线-2021届高三数学(新高考)一轮复习PPT教学课件(36页)
（ 教 学 提 纲 ）9.7抛 物线- 2021届 高三数 学（新 高考） 一轮复 习获奖 课件(共 36页P PT)（免 费下载 ）
第7节 抛物线
【教材ห้องสมุดไป่ตู้扣】
1．抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的 焦点 ， 直线 l 叫做抛物线的 准线
2．抛物线的图象和性质 图形
标准 方程
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
(p>0)
(p>0) (p>0) (p>0)
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
焦点
离心率 准线 方程
焦半径
通径长
Fp2，0
x＝－p2 x0＋p2
F－p2，0 F0，p2 e＝1
x＝p2
y＝－p2
－x0＋p2
y0＋p2
2p
F0，－p2
y＝p2 －y0＋p2
【教材提炼】
一、教材改编
1．[选修一·P72 练习 T1]过点 P(－2,3)的抛物线的标准方程是
（ 教 学 提 纲 ）9.7抛 物线- 2021届 高三数 学（新 高考） 一轮复 习获奖 课件(共 36页P PT)（免 费下载 ）
4．设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是________．
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课题10 抛物线
一、知识概述
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
标准y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)
x2
＝－
2py(p>0)
方程
图形
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点O(0,0)
对称轴x轴y轴
焦点F⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
0,
2
p
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-0,
2
p
F⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
2
,0
p
F⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
2
,0
p
F
离心率e＝1
准线方程x＝－
p
2
x＝
p
2
y＝－
p
2
y＝
p
2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下
焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋
p
2
|PF|＝－x0＋
p
2
|PF|＝y0＋
p
2
|PF|＝－y0＋
p
2
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角．则
(1)x1x2＝
p2
4
，y1y2＝－p2.
(2)|AF|＝
p
1－cos α
，|BF|＝
p
1＋cos α
.
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝
2p
sin2α
.
(4)
1
|AF|
＋
1
|BF|
＝
2
p
.
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
考点一抛物线的定义及应用
例(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为( ) A.
1
2
B．1 C.
3
2
D．2
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
变式：1．若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点A(x0，2)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p 等于( )
A.
1
2
B．1 C.
3
2
D．2
2.变条件若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
3．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________． 考点二 抛物线的标准方程及性质
例 (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－x B ．x 2＝－8y C ．y 2＝－8x 或x 2＝－y D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y (2)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
变式：1．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A ．y 2＝12x
B ．y 2＝－12x
C ．x 2＝－12y
D ．x 2＝12y
2．若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是________．
3．已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________________． 考点三 直线与抛物线的综合问题
考法(一) 直线与抛物线的交点问题 例 已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .若N 在以AB 为直径的圆上，则p 的值为________．
考法(二) 抛物线的焦点弦问题
例 设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
变式：1．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为2
3
的直线与C 交于M ，N 两点，则
FM ―→·FN ―→
＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2．已知抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，过F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝6，则|BF |＝________.
练习：
1．已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )
A.92
B.32
C.118
D.16
2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( )
A ．y 2＝－92x 或x 2＝43y
B ．y 2＝92x 或x 2＝43y
C ．y 2＝92x 或x 2＝－43y
D ．y 2＝－92x 或x 2＝－4
3y
3．若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线
AB 的距离为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5 4．已知抛物线C ：y ＝x 2
8
的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )
A ．2
B ．±2
C ．4
D ．±4
5．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )
A ．y 2＝－12x
B ．y 2＝－8x
C ．y 2＝－6x
D ．y 2＝－4x
6．已知点A (0,2)，抛物线C 1：y 2＝ax (a ＞0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为( )
A.14
B.12
C ．1
D ．4 7．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与准线l 相切于点Q ，Q 点的纵坐标为3p ，
E (5,0)是圆M 与x 轴不同于
F 的另一个交点，则p ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8.抛物线x 2＝－10y 的焦点在直线2mx ＋my ＋1＝0上，则m ＝________. 9．已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则△AOB 的边长是________． 10.已知抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 2
3
－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象
限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为________．
11．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．
12．已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.
13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．
14.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|
＝|PB|，求△FAB的面积．
15.已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴
的交点．
(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；
(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．。